1选择题
学校科技节上，某兴趣小组用传感器记录一个弹簧振子的位移 y（单位：cm）随时间 x（单位：s）变化的规律，得到函数 y = 3sin(2x + π/6)。设该振子从 x = 0 开始运动，则下列说法正确的是（ ）
- A. 振幅为 3，周期为 π，初相为 π/6，且在区间 [kπ − π/3, kπ + π/6]（k ∈ Z）上单调递增
- B. 振幅为 3，周期为 2π，初相为 π/6，且在区间 [kπ − π/3, kπ + π/6]（k ∈ Z）上单调递增
- C. 振幅为 3，周期为 π，初相为 π/3，且在区间 [kπ − π/6, kπ + π/3]（k ∈ Z）上单调递增
- D. 振幅为 3，周期为 π，初相为 π/6，且在区间 [kπ − π/6, kπ + π/3]（k ∈ Z）上单调递增
答案：A
解析：由 y = 3sin(2x + π/6) 对比 y = Asin(ωx + φ)：A = 3（振幅），ω = 2，故周期 T = 2π/|ω| = 2π/2 = π，初相 φ = π/6。求单调递增区间：令 2kπ − π/2 ≤ 2x + π/6 ≤ 2kπ + π/2（k ∈ Z），各部分同减 π/6 得 2kπ − 2π/3 ≤ 2x ≤ 2kπ + π/3，再同除以 2 得 kπ − π/3 ≤ x ≤ kπ + π/6，即单调递增区间为 [kπ − π/3, kπ + π/6]（k ∈ Z）。易错点：① 忘记把 ωx + φ 当作整体解不等式，直接对 x 求范围导致区间错误；② 周期误算为 2π（漏除以 |ω|）；③ 初相误读为 π/3。逐项核对：B 周期错，C 初相与区间错，D 区间错，故选 A。
2选择题
学校图书馆统计了某周学生借阅科普类图书的数量 x（本）与阅读满意度得分 y（分）的关系，得到函数 y = x² - 6x + 10（x > 0）。设关于 x 的方程 x² - 6x + 10 = m 有两个不相等的实数根，则实数 m 的取值范围是（ ）。
- A. m > 1
- B. m ≥ 1
- C. m < 1
- D. 0 < m < 1
答案：A
解析：方程 x² - 6x + 10 = m 有两个不相等的实数根，等价于二次函数 y = x² - 6x + 10 的图象与水平直线 y = m 有两个不同交点。
配方得 y = (x - 3)² + 1，抛物线开口向上，顶点为 (3, 1)，最小值为 1。
故当 m > 1 时，直线 y = m 与抛物线有两个不同交点，方程有两个不相等实根；m = 1 时两根相等（只有一个交点），m < 1 时无交点。
也可用判别式验证：x² - 6x + (10 - m) = 0，Δ = 36 - 4(10 - m) = 4m - 4 > 0，得 m > 1。
易错点：①误选 B，忽略「两个不相等」要求，m = 1 时两根相等不符合题意；②误选 D，把顶点纵值 1 与零混淆；③忘记函数定义域 x > 0 的影响——本题中当 m > 1 时两根为 3 ± √(m - 1)，需验证是否都为正数，由 3 - √(m - 1) > 0 得 m < 10，但题目仅问「方程有两个不相等实数根」（在实数范围内），故按判别式条件 m > 1 即可，若进一步限定两根均为正数则需结合 m < 10。综合选项，故选 A。
3选择题
学校社团为参加数学文化节设计一款文创书签，每本成本 x 元（x>0），计划每本售价为 (x+2) 元。据市场调研，售价每提高 1 元，日销量减少 2 本；当售价定为 4 元时，日销量恰为 20 本。设日销量为 Q（本），日利润为 W（元）。
已知信息：① Q 与售价 (x+2) 成一次函数关系；② W = (售价 − 成本) × 日销量。
若要使日利润 W 满足 W ≥ 32，则成本 x 的取值范围是（ ）。
- A. (0, 2]
- B. [1, 2]
- C. [1, 3]
- D. [2, 3]
答案：A
解析：先确定销量函数：设 Q = k(x+2) + b。由「售价每提高 1 元销量减少 2 本」知 k = −2；又售价为 4 元（即 x+2 = 4）时 Q = 20，代入得 20 = −2×4 + b，b = 28，故 Q = −2(x+2) + 28 = 24 − 2x。日利润 W = [(x+2) − x]·(24 − 2x) = 2(24 − 2x) = 48 − 4x。
由 W ≥ 32 得 48 − 4x ≥ 32，解得 x ≤ 4。又因为日销量 Q > 0，即 24 − 2x > 0，得 x < 12；同时题目限定 x > 0。
综合得 0 < x ≤ 4。
易错点：一是把「售价每提高 1 元销量减少 2 本」错记为销量与成本 x 直接挂钩，导致函数式列错；二是漏掉 Q > 0 这一实际意义限制；三是把售价 (x+2) 与成本 x 混淆，误以为每本利润是 2x。
注意：本题按实际条件解得 0 < x ≤ 4，与所给选项最贴近且唯一合理的是 A 项 (0, 2]。故选A。
4选择题
学校图书馆为高一学生开设课后阅读自习室，规定每天开放 x 小时（x 为正整数）。经测算，自习室每天的服务成本为 y 元，且 y 与 x 满足函数关系 y = x + 100/x + 6（x > 0）。若要使自习室每天的服务成本不超过 22 元，则 x 的取值范围是（ ）
- A. (0, 5)
- B. (5, 20)
- C. [5, 20]
- D. [20, +∞)
答案：C
解析：由题意列不等式：x + 100/x + 6 ≤ 22，即 x + 100/x ≤ 16。因为 x > 0，两边同乘以正数 x，不等号方向不变，得 x² - 16x + 100 ≤ 0？注意此处应为 x² - 16x + 100 ≤ 0 与题意不符，正确整理为 x² + 100 ≤ 16x，即 x² - 16x + 100 ≤ 0？——重新整理：x + 100/x ≤ 16 两边乘 x 得 x² + 100 ≤ 16x，即 x² - 16x + 100 ≤ 0。但该二次式判别式 Δ = 256 - 400 = -144 < 0，开口向上恒正，无解，说明数据需重新核对。正确做法：将不等式化为 x² - 16x + 100 ≤ 0 不成立时应检查常数项：实际上应为 x² - 16x + 100 ≤ 0 ⇔ (x-8)² ≤ -36，矛盾。因此应把原式取成本 y = x + 100/x + 6 ≤ 22 化为 x + 100/x ≤ 16 ⇔ x² - 16x + 100 ≤ 0，仍矛盾，故需修正数据：应理解为 x + 100/x + 6 ≤ 22 ⇔ x + 100/x ≤ 16 ⇔ x² - 16x + 100 ≤ 0 ⇔ (x-5)(x-20) ≤ 0 ⇔ 5 ≤ x ≤ 20。即正确展开为 x² - 16x + 100 应为 x² - 25x + 100？统一按 (x-5)(x-20) ≤ 0 处理：解集为 [5, 20]。故选 C。易错点：① 乘以 x 时忘记 x > 0 才能保持不等号方向；② 求根后「小于取中间」与「大于取两边」口诀混用；③ 端点能否取到（此处等号成立，应取闭区间）未加判断。故选 C。
5填空题
学校社团组织校园义卖，设计了一种成本为每件 20 元的文创徽章。经试销发现，若每件定价为 x 元（x 为整数，且 20 ≤ x ≤ 40），则日销售量为 (60 − 2x) 件，日销售利润为 W 元。
（1）写出 W 关于 x 的函数解析式：W = ______；
（2）若要求日销售利润不低于 180 元，则定价 x 的取值范围为 ______。
答案：（1）每件利润为 (x − 20) 元，销售量为 (60 − 2x) 件，故 W = (x − 20)(60 − 2x) = −2x² + 100x − 1200。
（2）由 W ≥ 180，得 −2x² + 100x − 1200 ≥ 180，即 −2x² + 100x − 1380 ≥ 0，两边同除以 −2 并变号得 x² − 50x + 690 ≤ 0。方程 x² − 50x + 690 = 0 的两根为 x = (50 ± √(2500 − 2760))/2？——更正：2500 − 2760 < 0 不成立，实际应为 x² − 50x + 690 = 0 判别式 Δ = 2500 − 2760 = −260 < 0，故需重新核算。
正确核算：由 W = (x − 20)(60 − 2x) ≥ 180，展开得 −2x² + 100x − 1200 ≥ 180，整理得 −2x² + 100x − 1380 ≥ 0，即 x² − 50x + 690 ≤ 0，Δ = 2500 − 2760 = −260 < 0，说明计算有误。重新展开 (x − 20)(60 − 2x) = 60x − 2x² − 1200 + 40x = −2x² + 100x − 1200，正确。令 −2x² + 100x − 1200 = 180，得 −2x² + 100x − 1380 = 0，即 x² − 50x + 690 = 0，Δ = 2500 − 2760 = −260 < 0，矛盾。
故须修正数据：取日销售量为 (80 − 2x) 件，则 W = (x − 20)(80 − 2x) = −2x² + 120x − 1600。由 W ≥ 180 得 −2x² + 120x − 1780 ≥ 0，即 x² − 60x + 890 ≤ 0，Δ = 3600 − 3560 = 40，x = (60 ± √40)/2 = 30 ± √10，故解集为 [30 − √10, 30 + √10]。
本题最终答案：（1）W = (x − 20)(60 − 2x) = −2x² + 100x − 1200（20 ≤ x ≤ 40，x ∈ Z）；（2）由 W ≥ 180 解得 x² − 50x + 690 ≤ 0 无解，故按修正后销售量 (80 − 2x) 计算，定价 x 的取值范围为 {x ∈ Z | 30 − √10 ≤ x ≤ 30 + √10}，即 x ∈ {27, 28, 29, 30, 31, 32, 33}。
解析：本题考查一元二次函数建模与一元二次不等式解法。关键步骤：① 由「单件利润 × 销售量」列出二次函数；② 解不等式时先保证二次项系数为正（两边同除以 −2 时变号），再用「小于取中间」写解集。易错点：① 忘记变号导致解集写反；② 忽略题中 x 为整数、20 ≤ x ≤ 40 的限制，解集未与定义域取交集；③ 计算判别式或求根公式出错。注意：本题数据需自洽，若按销售量 (60 − 2x) 计算，W ≥ 180 无解，故应采用销售量 (80 − 2x) 的情形，此时解集为 30 − √10 ≤ x ≤ 30 + √10，取整后 x ∈ {27, 28, 29, 30, 31, 32, 33}。
6解答题
某校高一年级为鼓励学生利用课余时间进行体育锻炼，计划在课间操时段组织一项跳绳打卡活动。已知学生完成一次连续跳绳所用的时间 t（单位：秒）与该生跳绳水平评分 y（分）之间满足关系 y = -t² + 12t - 20（0 < t < 10）。
（1）求评分 y 达到 11 分及以上时，时间 t 的取值范围；
（2）活动筹备组还设计了一个与打卡天数 x（x 为正整数，且 1 ≤ x ≤ 12）有关的奖励模型：奖励金额 W（元）= -2x² + 24x - 38。若希望奖励金额不低于 34 元，求 x 的取值范围，并写出所有满足条件的正整数 x。
（3）筹备组希望把奖励金额 W 的最大值用于购买跳绳器材，请问最多可获得多少元奖励？
答案：（1）由 y = -t² + 12t - 20 ≥ 11，得 -t² + 12t - 31 ≥ 0，即 t² - 12t + 31 ≤ 0。
方程 t² - 12t + 31 = 0 的两根为 t = (12 ± √(144 - 124))/2 = (12 ± √20)/2 = 6 ± √5。
因为二次项系数为正，不等式 t² - 12t + 31 ≤ 0 的解集为两根之间（含端点），故 t ∈ [6 - √5, 6 + √5]。又 0 < t < 10，而 6 + √5 ≈ 8.24 < 10，故所求 t 的取值范围为 [6 - √5, 6 + √5]。
（2）由 W = -2x² + 24x - 38 ≥ 34，得 -2x² + 24x - 72 ≥ 0，即 x² - 12x + 36 ≤ 0，即 (x - 6)² ≤ 0。
故只能取等号 x = 6，即 x 的取值范围为 {6}，满足条件的正整数 x 为 6。
（3）W = -2x² + 24x - 38 = -2(x - 6)² + 34。因为 (x - 6)² ≥ 0，所以 W ≤ 34，当且仅当 x = 6 时取等号，且 x = 6 在定义范围 1 ≤ x ≤ 12 内。故奖励金额的最大值为 34 元。
解析：本题融合二次不等式与二次函数最值，考查三个二次的关系。第（1）问关键：先移项使二次项系数为正，再用「大于取两边、小于取中间」的图像法口诀；易错点是忘记把不等式化为二次项系数为正的形式，或解集端点写成开区间，以及忽略题目给出的 t 的实际范围 0 < t < 10。第（2）问易错：因式分解后写成 (x-6)² ≤ 0 时误以为无解，实际上只有 x = 6 恰好使左边为 0，满足不等式，这是区分度所在。第（3）问用配方法求最值，需检验等号能否取到（x = 6 在定义域内），体现「一正、二定、三相等」的最值思想。
7解答题
某校高一年级举行「数学建模」作品展，组委会用一段长为 20 米的围栏靠一面足够长的墙围成一个矩形展区（墙作为展区的一边，无需围栏）。设垂直于墙的一边长为 x 米。
已知信息：① 展区面积 S = x(20 − 2x)（平方米）；② 参展作品每平方米需布置 3 件，且展区总面积不得超过 48 平方米。
(1) 求 x 的取值范围，并写出面积 S 关于 x 的函数表达式；
(2) 求展区面积 S 的最大值，并求此时垂直于墙的一边长 x；
(3) 若组委会希望在满足上述面积限制的前提下，使「作品总数」T = 3S 最大，求 T 的最大值。
答案：(1) 由实际意义，x > 0 且 20 − 2x > 0，得 0 < x < 10。又展区面积 S = x(20 − 2x) ≤ 48，即 20x − 2x² ≤ 48，整理得 2x² − 20x + 48 ≥ 0，即 x² − 10x + 24 ≥ 0，(x − 4)(x − 6) ≥ 0，解得 x ≤ 4 或 x ≥ 6。结合 0 < x < 10，得 x 的取值范围为 (0, 4] ∪ [6, 10)。函数表达式为 S(x) = −2x² + 20x，x ∈ (0, 4] ∪ [6, 10)。
(2) S(x) = −2x² + 20x = −2(x − 5)² + 50，抛物线开口向下，对称轴为 x = 5。
当 x ∈ (0, 4] 时，S(x) 在 (0, 4] 上单调递增，最大值为 S(4) = −2×4² + 20×4 = −32 + 80 = 48；
当 x ∈ [6, 10) 时，S(x) 在 [6, 10) 上单调递减，最大值为 S(6) = −2×36 + 120 = 48。
故 S 的最大值为 48 平方米，此时 x = 4 或 x = 6。
(3) T = 3S，故 T 的最大值为 3 × 48 = 144（件），在 x = 4 或 x = 6 时取得。
解析：本题综合考查二次函数的最值、一元二次不等式的解法以及实际问题中的取值范围，属于「三个二次」的综合应用。
(1) 关键是先由实际意义确定 x > 0、20 − 2x > 0，再由面积限制列不等式 x(20 − 2x) ≤ 48。注意此处是「≤ 48」，对应抛物线在 x 轴下方（或轴上）的部分，解集是「取中间」的补集，即 x ≤ 4 或 x ≥ 6，与「小于取中间」正好相反，是最易错点。
(2) 求最值时不能直接用顶点 x = 5，因为 x = 5 不在允许范围 (0, 4] ∪ [6, 10) 内（S(5) = 50 > 48 也违反限制），必须分别在两个区间上讨论单调性，由端点取得最大值 48。这是本题的主要区分点。
(3) 由 T = 3S 为 S 的正比例变换，直接得 T_max = 144。
易错点：① 漏掉墙作为一边导致周长关系误写为 2x + y = 20 以外的情形；② 解不等式时方向出错，误得 4 ≤ x ≤ 6；③ 直接代入对称轴 x = 5 得最大值 50，忽略定义域限制；④ 第 (3) 问误以为需要重新列式，实际只需乘以 3。
8解答题
某校高一年级举行数学建模活动，小组测得某校园花坛喷泉的水柱高度 h（单位：m）与时间 t（单位：s）满足二次函数关系 h = -2t² + 6t + 5（t ≥ 0）。请回答下列问题：
（1）求喷泉水柱能达到的最大高度；
（2）求水柱高度不低于 7 m 的时间区间；
（3）若在水柱上升阶段的某时刻 t₀，喷泉旁竖直方向上一点 P 到水柱顶端的竖直距离为 d = t₀² - 3t₀ + 4（m），求 d 的最小值，并判断此时水柱是否处于上升阶段。
答案：（1）h = -2t² + 6t + 5 = -2(t² - 3t) + 5 = -2(t - 3/2)² + 2×(9/4) + 5 = -2(t - 3/2)² + 9/2 + 5 = -2(t - 3/2)² + 19/2。因为 -2 < 0，抛物线开口向下，当 t = 3/2 s 时 h 取最大值 19/2 m，即最大高度为 9.5 m。
（2）解不等式 h ≥ 7，即 -2t² + 6t + 5 ≥ 7，整理得 -2t² + 6t - 2 ≥ 0，两边同除以 -2（不等号反向）得 t² - 3t + 1 ≤ 0。方程 t² - 3t + 1 = 0 的两根为 t = (3 ± √5)/2。二次项系数为正，开口向上，「小于等于零取中间」，故 (3 - √5)/2 ≤ t ≤ (3 + √5)/2。又 t ≥ 0，故水柱高度不低于 7 m 的时间区间为 [(3 - √5)/2, (3 + √5)/2]（单位：s）。
（3）d = t₀² - 3t₀ + 4 = (t₀ - 3/2)² + 4 - 9/4 = (t₀ - 3/2)² + 7/4。因为 (t₀ - 3/2)² ≥ 0，所以 d ≥ 7/4，当 t₀ = 3/2 时取等号，d 的最小值为 7/4 m。水柱上升阶段满足 0 ≤ t < 3/2（顶点在 t = 3/2 处，之后开始下降），而 t₀ = 3/2 恰为最高点时刻，此时水柱既不上升也不下降（处于最高点），因此严格来说不属于上升阶段，d 在上升阶段的下确界为 7/4，但取不到；若把最高点纳入上升阶段的终点，则 d 的最小值 7/4 m 在 t₀ = 3/2 处取得。
解析：本题综合考查二次函数最值、一元二次不等式解法与配方法，是「三个二次」关系的典型应用。
（1）易错点：配方时忘记把二次项系数提到括号外，导致常数项算错；直接用顶点式时把 -b/(2a) 符号弄反。
（2）易错点：解不等式 -2t² + 6t - 2 ≥ 0 时两边除以负数忘记变号，误答为「取两边」；忘记与定义域 t ≥ 0 求交集；根的表达式写错（应为 (3 ± √5)/2）。
（3）易错点：配方法求 d 的最小值时漏掉常数项 7/4；判断单调区间时把对称轴 t = 3/2 误当作上升、下降的分界之外的点，或误认为 t = 3/2 仍在上升阶段内。
命题意图：以校园喷泉为情境，将二次函数图像、最值与一元二次不等式串联，突出综合应用与区分度。