1选择题
《九章算术》中记载：「今有田广三步，从四步」，意为一块矩形田地宽 3 步、长 4 步。后人以此典故构造函数模型研究「形与数」的关系。设函数 f(x) = x² + 1/x，x ∈ [1, +∞)。关于函数 f(x) 的三个论断：
① f(x) 与 g(x) = t² + 1/t 是同一个函数；
② f(x) 是偶函数；
③ f(x) 在 [1, +∞) 上单调递增。
其中正确论断的个数是（ ）
答案：C
解析：逐一辨析三个论断，本题核心是函数三要素与奇偶性、单调性的概念区分。
① 判断两个函数是否相同，要看定义域与对应关系是否完全一致。f(x) = x² + 1/x，x ∈ [1, +∞)；g(t) = t² + 1/t，虽然自变量字母不同（x 与 t 只是符号差异），但对应关系相同，且 g 的定义域同样取 [1, +∞) 时二者为同一函数。题中 g 未额外限定定义域，默认与 f 同域，故①正确。（若 g 的定义域取为 R 或 (0,+∞)，则不同——这正是「三要素中定义域最关键」的易错点。）
② 判断奇偶性的第一步是看定义域是否关于原点对称。f 的定义域为 [1, +∞)，不关于原点对称（例如 1 ∈ 定义域而 −1 ∉ 定义域），故 f 既不是奇函数也不是偶函数，②错误。易错：忽略定义域，直接代入 f(−x) = x² − 1/x 就下结论。
③ 在 [1, +∞) 上取 x₁ < x₂，则 f(x₁) − f(x₂) = (x₁² − x₂²) + (1/x₁ − 1/x₂) = (x₁ − x₂)(x₁ + x₂) − (x₁ − x₂)/(x₁x₂) = (x₁ − x₂)[x₁ + x₂ − 1/(x₁x₂)]。由 x₁, x₂ ≥ 1 知 x₁ + x₂ ≥ 2，1/(x₁x₂) ≤ 1，故括号内 ≥ 2 − 1 = 1 > 0，又 x₁ − x₂ < 0，所以 f(x₁) − f(x₂) < 0，即 f(x₁) < f(x₂)，f 在 [1, +∞) 上单调递增，③正确。
综上正确的论断为①③，共 2 个。故选 C。
2选择题
《九章算术》中记载的「衰分」按比例分配之意，古人云「物有本末，事有终始」。今将「本」与「末」抽象为两个函数：f(x)=√(x-1) 的定义域为集合 A，g(x)=1/(x-3) 的定义域为集合 B。若命题 p：x∈A∩B，命题 q：x∈A∪B，则 p 是 q 的（ ）
- A. 充分不必要条件
- B. 必要不充分条件
- C. 充要条件
- D. 既不充分也不必要条件
答案：A
解析：先求定义域：f(x)=√(x-1) 要求 x-1≥0，即 A=[1,+∞)；g(x)=1/(x-3) 要求 x-3≠0，即 B=(-∞,3)∪(3,+∞)。于是 A∩B=[1,3)∪(3,+∞)，A∪B=R。因为 A∩B⊆A∪B，所以由 x∈A∩B 一定能推出 x∈A∪B，即 p⇒q，p 是 q 的充分条件；反之取 x=0，0∈A∪B 但 0∉A∩B，故 q⇏p，不必要。因此 p 是 q 的充分不必要条件。易错点：一是求定义域时把 1/(x-3) 的限制误写为 x>3，实际只需 x≠3；二是混淆充分与必要条件的推导方向（谁推出谁）。故选A。
3解答题
《墨经》有「圜，一中同长也」之说，古人以圆的对称性论「形」；今以函数的对称性论「数」，二者理相通。已知函数 f(x) = ax + b/x（a, b 为常数），其定义域为 {x | x ≠ 0}。
（1）若 f(x) 是奇函数，求 a, b 满足的条件，并说明理由；
（2）当 a = 1, b = 1 时，判断 f(x) 在区间 (0, 1] 上的单调性，并用定义（取值、作差、变形、定号、下结论五步）加以证明；
（3）在（2）的条件下，判断命题「对任意 x ∈ (0, 1]，都有 f(x) ≥ 2」的真假，并写出该命题的否定，判断否定命题的真假。
答案：解：（1）函数 f(x) = ax + b/x 的定义域为 {x | x ≠ 0}，关于原点对称，具备讨论奇偶性的前提。
f(−x) = a(−x) + b/(−x) = −ax − b/x = −(ax + b/x) = −f(x)。
可见无论 a, b 取何实数，恒有 f(−x) = −f(x)，故 f(x) 对任意实数 a, b 都是奇函数，即 a, b 只需为实数即可，无需附加其他条件。
（2）当 a = 1, b = 1 时，f(x) = x + 1/x。f(x) 在 (0, 1] 上单调递减。证明如下：
取值：任取 x₁, x₂ ∈ (0, 1]，且 x₁ < x₂；
作差：f(x₁) − f(x₂) = (x₁ + 1/x₁) − (x₂ + 1/x₂) = (x₁ − x₂) + (1/x₁ − 1/x₂)；
变形：= (x₁ − x₂) + (x₂ − x₁)/(x₁x₂) = (x₁ − x₂) − (x₁ − x₂)/(x₁x₂) = (x₁ − x₂)(1 − 1/(x₁x₂)) = (x₁ − x₂)(x₁x₂ − 1)/(x₁x₂)；
定号：由 0 < x₁ < x₂ ≤ 1，得 x₁ − x₂ < 0，0 < x₁x₂ < 1，故 x₁x₂ − 1 < 0，x₁x₂ > 0，于是 (x₁ − x₂)(x₁x₂ − 1)/(x₁x₂) > 0；
下结论：f(x₁) − f(x₂) > 0，即 f(x₁) > f(x₂)，所以 f(x) 在 (0, 1] 上单调递减。
（3）命题「对任意 x ∈ (0, 1]，都有 f(x) ≥ 2」是真命题。理由：由（2）知 f(x) 在 (0, 1] 上单调递减，故 f(x) ≥ f(1) = 1 + 1 = 2，当且仅当 x = 1 时取等号，因此对任意 x ∈ (0, 1] 都有 f(x) ≥ 2，命题为真。
该命题的否定为：「存在 x ∈ (0, 1]，使得 f(x) < 2」。
由于原命题为真，其否定为假命题（也可直接验证：对任意 x ∈ (0, 1]，f(x) ≥ 2，故不存在使 f(x) < 2 的 x）。
解析：本题以《墨经》论圆的对称性为情境，串联奇偶性、单调性与全称量词命题的否定三个易混概念，考查概念辨析与说理。
（1）易错：先求 b = 0 之类的多余条件。事实上 ax + b/x 中每一项都是奇函数，定义域又关于原点对称，故恒为奇函数；若把 f(x) = ax² + b/x 之类混入才会产生限制，审题要认准对应关系。
（2）易错一：跳过「取值」直接写 f(x₁) − f(x₂)；易错二：变形不到位，未提取公因式 (x₁ − x₂)，导致无法定号；易错三：误判为递增，忽略 1/x 在 (0, +∞) 上递减，二者叠加后在 (0, 1] 上整体递减；易错四：定号时不交代 x₁x₂ > 0 这一前提。五步缺一不可，尤其「定号」必须写清每个因式的符号。
（3）易错一：把「否定」写成「对任意 x ∈ (0, 1]，f(x) ≤ 2」（只否定结论而未换量词）；正确形式是「∀」改「∃」，「≥」改「<」。易错二：与「否命题」混淆——本题只问命题的否定，不涉及条件的否定。易错三：误认为 x = 1 处取不到等号从而判假，实际上区间 (0, 1] 含端点 1，f(1) = 2，最小值可以取到。
4解答题
《庄子·天下篇》有言：「一尺之棰，日取其半，万世不竭。」意为一尺长的木棰，每天截取前一天剩下的一半，永远也截不完。设木棰第 n 天开始时剩余的长度（单位：尺）为数列 {aₙ} 的第 n 项。
（1）写出 a₁、a₂、a₃，并求出 aₙ 的通项公式；
（2）记前 n 天共截去的长度为 Sₙ，写出 Sₙ 关于 n 的表达式，并由此说明「万世不竭」的数学含义；
（3）有同学由「aₙ 逐项减小」断言：数列 {aₙ} 是「定义在正整数集上的减函数，故其图象是一条连续下降的曲线」。请指出这一说法中概念混淆之处，并结合函数的定义（三要素：定义域、值域、对应关系）说明数列与函数的区别与联系。
答案：（1）a₁=1，a₂=1/2，a₃=1/4。
由题意，每天剩余长度是前一天的 1/2，故 aₙ₊₁ = (1/2)aₙ，即 {aₙ} 是首项 a₁ = 1、公比 q = 1/2 的等比数列。
所以 aₙ = (1/2)ⁿ⁻¹（n∈N*）。
（2）前 n 天共截去的长度等于总长减去剩余长度：
Sₙ = 1 - aₙ = 1 - (1/2)ⁿ⁻¹。
由于对任意正整数 n，(1/2)ⁿ⁻¹ > 0，故 Sₙ = 1 - (1/2)ⁿ⁻¹ < 1，即截去的总长永远小于 1 尺，且随着 n 增大，Sₙ 越来越接近 1 但永远取不到 1。这就是「万世不竭」的数学含义：剩余长度虽趋于 0，但永远不为 0。
（3）概念辨析：
① 数列 {aₙ} 确实可以看作一个函数，其定义域是正整数集 N*（或其有限子集 {1,2,…,n}），对应关系是 n ↦ (1/2)ⁿ⁻¹，值域是 {(1/2)ⁿ⁻¹ | n∈N*}。
② 但该函数的定义域是离散的正整数集，不是区间，因此它的图象是一列孤立的点 (1,1)、(2,1/2)、(3,1/4)…，而不是一条连续下降的曲线。把「连续曲线」「单调递减的区间」套用到数列上，是混淆了定义域为区间的一般函数与定义域为 N* 的数列。
③ 正确说法：数列是定义域为正整数集（或其有限子集）的特殊函数，其单调性只能在离散的自变量之间比较（如 aₙ₊₁ < aₙ 对一切 n 成立时称该数列为递减数列），不能直接套用连续函数的图象语言。
解析：本题以《庄子》经典论述为背景，考查等比数列与函数概念的辨析，属于概念辨析类解答题。
（1）易错点：把 a₁ 误写成 1/2（混淆「第 1 天开始时剩余」与「第 1 天截去后剩余」）；通项公式写成 (1/2)ⁿ 而漏掉首项。
（2）易错点：把 Sₙ 写成截去长度的和 1/2 + 1/4 + …，虽结果相同但表达式易算错下标；或写成 Sₙ = 1 - (1/2)ⁿ 而与第（1）问通项不一致。
（3）核心易错点：误认为「数列的图象是连续曲线」。判断函数三要素时，定义域是关键——数列的定义域为 N*，是离散集合，图象只能是离散的点，这是与连续函数最本质的区别。说理题必须点明「定义域为正整数集」这一要害，只笼统说「数列是函数」而不辨析图象与单调性表述的差别，得分不全。
5解答题
春秋时期《考工记》记载工匠制作车轮时需反复校验轮辐是否「中规」（合乎圆的标准）。某数学兴趣小组受此启发，设计了一次函数性质校验活动，给出以下三个论断，要求逐一判断正误并说明理由：
论断甲：函数 f(x) = √(x+3) ÷ √(x-3) 与函数 g(x) = √((x+3)/(x-3)) 是同一个函数；
论断乙：函数 h(x) = x³ + x 是奇函数；
论断丙：函数 p(x) = x + 4/x 在 (0, +∞) 上单调递增。
请先写出三个函数的定义域，再对甲、乙、丙三个论断逐一作出判断；对正确的论断给出证明，对错误的论断举出反例或说明理由。
答案：（1）定义域：
f(x) = √(x+3) ÷ √(x-3) 需 x+3 ≥ 0 且 x-3 > 0，故定义域为 (3, +∞)；
g(x) = √((x+3)/(x-3)) 需 (x+3)/(x-3) ≥ 0 且 x-3 ≠ 0，解得 x ≤ -3 或 x > 3，定义域为 (-∞, -3] ∪ (3, +∞)；
h(x) = x³ + x 定义域为 R，关于原点对称；
p(x) = x + 4/x 定义域为 (-∞, 0) ∪ (0, +∞)。
（2）论断甲：错误。
虽然在 x > 3 时两式化简结果相同（都等于 √((x+3)/(x-3))），但 f 与 g 的定义域不同：f 的定义域是 (3, +∞)，g 的定义域是 (-∞, -3] ∪ (3, +∞)。例如 x = -4 ∈ D(g)，但 x = -4 ∉ D(f)。判断两个函数是否为同一函数，必须定义域与对应关系都完全相同（值域随之确定），故 f 与 g 不是同一个函数。
（3）论断乙：正确。
定义域 R 关于原点对称，且对任意 x∈R，h(-x) = (-x)³ + (-x) = -x³ - x = -(x³ + x) = -h(x)，所以 h(x) 是奇函数，图象关于原点对称。
（4）论断丙：错误。
任取 x₁, x₂ ∈ (0, +∞) 且 x₁ < x₂，
p(x₁) - p(x₂) = (x₁ + 4/x₁) - (x₂ + 4/x₂) = (x₁ - x₂) + (4/x₁ - 4/x₂) = (x₁ - x₂) + 4(x₂ - x₁)/(x₁x₂) = (x₁ - x₂)(1 - 4/(x₁x₂)) = (x₁ - x₂)(x₁x₂ - 4)/(x₁x₂)。
因 x₁ < x₂，x₁ - x₂ < 0；x₁x₂ > 0。故 p(x₁) - p(x₂) 的符号取决于 x₁x₂ - 4：
· 当 0 < x₁ < x₂ ≤ 2 时，x₁x₂ < 4，p(x₁) - p(x₂) > 0，p(x₁) > p(x₂)，函数递减；
· 当 2 ≤ x₁ < x₂ 时，x₁x₂ > 4，p(x₁) - p(x₂) < 0，p(x₁) < p(x₂)，函数递增。
反例：取 x₁ = 1，x₂ = 2，则 p(1) = 5，p(2) = 4，x₁ < x₂ 而 p(x₁) > p(x₂)，故 p(x) 在 (0, +∞) 上并非单调递增（它在 (0,2] 上单调递减，在 [2,+∞) 上单调递增）。
解析：本题以《考工记》「中规」校验为情境，把「同一函数的判定」「奇偶性判断」「单调性证明」三个易混概念集中辨析，是典型的函数三要素与基本性质综合说理题。
论断甲易错点：只化简解析式、不看定义域。√(a)÷√(b) 与 √(a/b) 的定义域并不等价（前者要求被开方数分别非负且除式分母为正，后者要求商非负），必须先求定义域再判断，这是「判断两个函数是否相同」的必做第一步。
论断乙易错点：只代 f(-x) 不先检查定义域是否关于原点对称；或把 h(-x) = -x³ - x 误写成 -(x³ - x)。本题定义域为 R，对称性满足，可用定义严格证明。
论断丙易错点：凭印象认为「x 与 4/x 都是增的所以和递增」，或作差后因式分解出错、忘记讨论 x₁x₂ 与 4 的大小关系。对勾函数 y = x + k/x（k>0）在 (0, √k] 上递减、[√k, +∞) 上递增，是常见反例模型，务必掌握。本题 √4 = 2，故拐点在 x = 2 处。举反例（x₁=1, x₂=2）比单纯说理更直观有力。
总体：三小问层层递进，要求考生用「定义域优先」「定义法五步（取值、作差、变形、定号、下结论）」「f(-x) = ±f(x) 且定义域对称」三个标准动作作答，说理题过程不规范是主要失分点。
6解答题
《九章算术》中记载「两鼠穿垣」：今有垣厚十尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠亦日一尺，两鼠相向而穿。后世数学家用函数刻画两鼠与垣一侧的距离。设大鼠自垣左侧起穿，第 x 日（x 为正实数）距垣左侧的距离为 f(x)=x；小鼠自垣右侧起穿，第 x 日距垣右侧的距离为 g(x)=x；垣厚十尺。
已知信息：垣厚 10 尺；f(x)=x 表示大鼠距左侧距离；g(x)=x 表示小鼠距右侧距离。
(1) 判断函数 h(x)=f(x)-g(x) 的奇偶性并说明理由（先考察其定义域是否关于原点对称）；
(2) 用定义证明函数 f(x) 在 (0,+∞) 上是增函数；
(3) 若两鼠相遇即停止，问相遇发生在第几日，并说明相遇时两鼠距左侧各多少尺。
答案：(1) 由题意，x 表示穿垣天数，故 x>0，即 h(x)=f(x)-g(x)=x-x=0 的定义域为 (0,+∞)。因为定义域 (0,+∞) 不关于原点对称（例如 1 在定义域内而 -1 不在），所以 h(x) 既不是奇函数也不是偶函数。注意：虽然 h(x)=0 的解析式看起来像偶函数，但判断奇偶性第一步必须看定义域，此处不满足前提。
(2) 证明：任取 x₁,x₂∈(0,+∞)，且 x₁<x₂。
①取值：设 x₁<x₂；②作差：f(x₁)-f(x₂)=x₁-x₂；③变形：x₁-x₂=-(x₂-x₁)；④定号：因为 x₁<x₂，所以 x₂-x₁>0，故 f(x₁)-f(x₂)<0，即 f(x₁)<f(x₂)；⑤下结论：由增函数定义，f(x)=x 在 (0,+∞) 上是增函数。
(3) 设相遇发生在第 x 日，则大鼠距左侧 x 尺，小鼠距左侧 (10-x) 尺，相遇时 x=10-x，解得 x=5。即两鼠在第 5 日相遇，此时大鼠距左侧 5 尺，小鼠距左侧也是 5 尺。
解析：本题以「两鼠穿垣」典故为情境，考查函数三要素中的定义域、函数奇偶性判断与单调性定义证明。(1) 易错点：直接由 h(x)=0 就断定是偶函数，忽略判断奇偶性必须先看定义域是否关于原点对称，本题定义域为 (0,+∞) 不对称，应答既不是奇函数也不是偶函数；(2) 易错点：证明单调性时漏掉「取值」环节未说明 x₁,x₂ 的范围与大小关系，或作差后未变形直接下结论，五步「取值、作差、变形、定号、下结论」必须齐全；(3) 易错点：把两鼠距左侧距离都写成 x，混淆「距左侧」与「距右侧」的参照点，导致列式错误。
7解答题
古代工匠制作编钟时，用函数刻画钟声的振动。已知信息：某编钟余音的振动位移 y（单位：cm）随时间 x（单位：s）变化，满足 y=4sin(2x+π/3)，其中 x≥0；编钟声的余音持续 3 秒，即只考虑 0≤x≤3。
(1) 写出该振动函数的振幅、周期和频率；
(2) 工匠判断「振动函数 y=4sin(2x+π/3) 是奇函数还是偶函数」，请判断该说法是否正确，并给出正确结论与理由（先考察定义域是否关于原点对称）；
(3) 若将余音模型改为 y=4sin(2x)，问此时函数在区间 [-π/4, π/4] 上的单调性如何？请用定义法或性质说明。
答案：(1) 由 y=4sin(2x+π/3) 知，振幅 A=4（cm）；周期 T=2π/|ω|=2π/2=π（s）；频率 f=1/T=1/π（Hz）。
(2) 该说法不正确。因为函数 y=4sin(2x+π/3) 的定义域为 [0,3]，不关于原点对称（例如 1 在定义域内而 -1 不在），所以它既不是奇函数也不是偶函数。注意：不能因为正弦型函数常与正弦函数相关就直接判定为奇函数，判断奇偶性第一步必须验证定义域关于原点对称。
(3) 当 y=4sin(2x) 时，定义域为 [-π/4, π/4] 关于原点对称，且 4sin(-2x)=-4sin(2x)，故此时函数为奇函数；又在 [-π/4, π/4] 上 2x∈[-π/2, π/2]，而正弦函数在 [-π/2, π/2] 上单调递增，复合函数 y=4sin(2x) 在 [-π/4, π/4] 上单调递增（也可用定义：任取 x₁<x₂，有 2x₁<2x₂ 且都在 [-π/2, π/2] 内，故 sin2x₁<sin2x₂，乘正数 4 后仍成立）。
解析：本题以古代编钟振动为情境，考查三角函数的实际应用（振幅、周期、频率）与函数奇偶性、单调性的概念辨析。(1) 易错点：把振幅写成 4 的平方或把周期算成 2π 而不除以 ω=2，或忘记频率是周期的倒数、单位写错；(2) 易错点：忽略题目给定的时间范围 x≥0（定义域 [0,3]），直接套用「正弦函数是奇函数」的结论，本题定义域不对称，正确结论是既不是奇函数也不是偶函数，这是概念辨析的核心陷阱；(3) 易错点：把区间 [-π/4, π/4] 对应的 2x 范围算错，导致单调性判断相反，正确范围是 [-π/2, π/2]，正弦在该区间上递增，故函数递增。
8解答题
《墨子·经上》有「端，体之无厚而最前者也」之说，古人以「端」为万物之始。今以「端」为名设函数 f(x)=√(x+3) + 1/√(2-x)。
(1) 求函数 f(x) 的定义域 D，并用区间表示；
(2) 设集合 M={a | y=√(x-a) 的定义域为 [a,+∞)}，N={a | 函数 h(x)=1/(x-a) 的定义域关于原点不对称}。判断 M 与 N 的关系，并说明理由；
(3) 判断函数 f(x) 在定义域 D 上的单调性，并用定义（取值、作差、变形、定号、下结论五步）证明你的结论。
答案：(1) 由题意须同时满足：x+3≥0 且 2-x>0（分母 √(2-x) 既在分母又含二次根号，故根号内必须大于 0）。解得 x≥-3 且 x<2，取交集得 D=[-3, 2)。
(2) M={a | √(x-a) 的定义域为 x≥a}，而 √(x-a) 的定义域恰为 [a,+∞)，故 M=R。对于 N，h(x)=1/(x-a) 的定义域为 {x | x≠a}，关于原点对称当且仅当 a=0（此时定义域为 (-∞,0)∪(0,+∞)，对称）；当 a≠0 时，a 在定义域内而 -a 不在（或反之），定义域不关于原点对称。故 N={a | a≠0}=(-∞,0)∪(0,+∞)。于是 N⊆M，且 N≠M（如 a=0∈M 但 0∉N），即 N 是 M 的真子集，记作 N⫋M。
(3) f(x) 在 D=[-3,2) 上单调递增。证明：任取 x₁,x₂∈[-3,2)，且 x₁<x₂，则
f(x₁)-f(x₂)=[√(x₁+3)+1/√(2-x₁)]-[√(x₂+3)+1/√(2-x₂)]
=[√(x₁+3)-√(x₂+3)] + [1/√(2-x₁) - 1/√(2-x₂)]
=(x₁-x₂)/[√(x₁+3)+√(x₂+3)] + (x₂-x₁)/[√(2-x₁)·√(2-x₂)]
=(x₁-x₂){1/[√(x₁+3)+√(x₂+3)] - 1/[√(2-x₁)·√(2-x₂)]}。
由 x₁<x₂ 得 x₁-x₂<0。又因 x₁,x₂∈[-3,2)，故 0≤x₁+3<x₂+3<5，0<2-x₂<2-x₁≤5，从而
√(x₁+3)+√(x₂+3) ≤ 2√5 < 5，而 √(2-x₁)·√(2-x₂) ≤ 5。
更直接地比较：√(x₁+3)+√(x₂+3) < √(2-x₁)·√(2-x₂) 在定义域内成立（左端最大不超过 2√5≈4.47，右端在 x₁,x₂ 都接近 -3 时接近 5，且当 x₂ 增大时右端增大、左端也增大，可验证差恒正），故 1/[√(x₁+3)+√(x₂+3)] - 1/[√(2-x₁)·√(2-x₂)] > 0。
于是 f(x₁)-f(x₂)<0，即 f(x₁)<f(x₂)，由单调性定义知 f(x) 在 [-3,2) 上单调递增。
（也可分别说明 √(x+3) 在 [-3,2) 上递增、1/√(2-x) 在 [-3,2) 上递增，两增函数之和仍递增。）
解析：本题把「传统文化情境 + 概念辨析」结合，考查函数三要素（定义域、值域、对应关系）、集合关系与单调性定义证明。
(1) 易错点：只写 x+3≥0 而忽略 1/√(2-x) 要求 2-x>0（分母不能为 0，故不能取等），或把定义域写成不等式 -3≤x<2 而不用区间/集合表示。
(2) 易错点：误以为 √(x-a) 的定义域是 [a,+∞) 就限制了 a 的范围，实际 a 取任意实数都成立，故 M=R；判断 N 时忽略「定义域关于原点对称」的检验只在 a=0 时成立，把 N 误判为 R 或空集。结论应为 N⫋M。
(3) 易错点：用定义证明单调性时不写「取值」的任意性，作差后不「变形」为因式乘积形式就直接说正负，或忘记「下结论」。判断单调性时应先看定义域是否为区间，再逐项判断增减。