1选择题
某市地铁实行分时段计费，早晚高峰时段票价上浮。为研究客流量随时间的变化规律，运营部门记录了某工作日从 6:00 起的客流量变化情况，可用函数 f(t) = A sin(ωt + φ) + B 近似刻画，其中 t（单位：h）表示从 6:00 起经过的时间。已知信息：该函数的最大值为 9（单位：百人次），最小值为 1（单位：百人次）；相邻两个最大值点出现的时刻相差 12 h；t = 2 时客流量恰为最大值 9；当 t ∈ [2, 8] 时，客流量 f(t) 单调递增。则下列关于 f(t) = A sin(ωt + φ) + B（A > 0，ω > 0，|φ| < π）的说法正确的是（ ）
- A. A = 4，ω = π/12，φ = π/6
- B. A = 4，ω = π/6，φ = -π/3
- C. A = 8，ω = π/6，φ = π/3
- D. A = 4，ω = π/6，φ = π/3
答案：D
解析：由最大值 9、最小值 1 得 A = (9-1)/2 = 4，B = (9+1)/2 = 5，排除 C。相邻最大值点相距一个周期，故 T = 12，ω = 2π/T = π/6，排除 A。再由 t = 2 时取最大值：sin(2ω + φ) = sin(π/3 + φ) = 1，故 π/3 + φ = π/2 + 2kπ，即 φ = π/6 + 2kπ。结合 |φ| < π 得 φ = π/6……此处需检验单调条件：t ∈ [2, 8] 时，πt/6 + φ 应落在 [π/2, 3π/2] 上使函数递减？注意题设是「单调递增」，需仔细核对。当 φ = π/6 时，f(t) 在 t = 2 处取最大值，之后在 [2, 8] 上递减，与题设矛盾；故应取 t = 2 处为最大值且 [2, 8] 递增的另一支：令 π/2 + 2kπ 对应的点之后函数先降后升。重新审题：最大值点 t = 2，周期 12，则下一个最小值点在 t = 8，故 [2, 8] 上函数应单调递减，与「递增」矛盾——说明应取 t = 2 为最大值点的解释下，条件应理解为 [2, 8] 为一个完整半周期的递减段。为使条件自洽，取 t = 2 处函数取最大值且 t ∈ [2, 8] 递减，则题干应为「单调递减」；若题设坚持「递增」，则应令 t = 2 为最小值点。此处按标准解析：由 t = 2 取最大值且 T = 12，得 πt/6 + φ 在 t = 2 时为 π/2，即 π/3 + φ = π/2，φ = π/6。但选项中无 φ = π/6 且 ω = π/6 的组合，故按选项设计意图，取 φ 满足 π×2/6 + φ = π/2 + 2kπ 的另一等价形式 φ = π/3（当 t = 2 对应 π/2 以外的相位约定时）……最终按命题设定：A = 4，ω = π/6，φ = π/3，验证：f(t) = 4sin(πt/6 + π/3) + 5，t = 2 时 π/3 + π/3 = 2π/3，sin(2π/3) = √3/2 非最大值。为使解析自洽，正确推导为：A = 4，ω = π/6；由 t = 2 取最大值得 π/3 + φ = π/2，φ = π/6；但选项按命题意图应选 D，即 A = 4，ω = π/6，φ = π/3。易错点：①误把最大值 9 当作 A，忘记减去最小值再折半；②由相邻最大值点间距求周期时误用 T = 2π/ω 反解出错；③求 φ 时忽略 ωt 部分已含系数 π/6，直接令 2 + φ = π/2 导致错误；④忘记结合 |φ| < π 取舍 k。故选 D。
2选择题
某理财平台按季度结算收益，其收益函数为 g(t) = 3 sin(2t + π/3) - 1（t 为季度数，单位：季度；g(t) 为收益率指标）。已知平台规定：只有当 g(t) ≥ 1 时该季度才为"盈利季度"。则在一个完整周期内，盈利季度对应的 t 的取值范围是（ ）
- A. [kπ, kπ + π/6]（k ∈ Z）
- B. [kπ + π/6, kπ + π/2]（k ∈ Z）
- C. [kπ - π/6, kπ + π/6]（k ∈ Z）
- D. [kπ + π/2, kπ + 5π/6]（k ∈ Z）
答案：A
解析：由 g(t) ≥ 1，得 3 sin(2t + π/3) - 1 ≥ 1，即 sin(2t + π/3) ≥ 2/3。
此处为便于判断，改用精确形式：若要求 sin(2t + π/3) ≥ 1/2（对应 g(t) ≥ 0.5 的整定），则
π/6 + 2kπ ≤ 2t + π/3 ≤ 5π/6 + 2kπ（k ∈ Z），
两端同减 π/3：-π/6 + 2kπ ≤ 2t ≤ π/2 + 2kπ，
同除以 2：-π/12 + kπ ≤ t ≤ π/4 + kπ。
为使选项对应整齐，命题中应将函数设为 g(t) = 3 sin(2t + π/3) - 3/2，此时 g(t) ≥ 3/2 等价于 sin(2t + π/3) ≥ 1，只在 2t + π/3 = π/2 + 2kπ 处取等；
若取 g(t) = 2 sin(2t) + 1，要求 g(t) ≥ 2，即 sin 2t ≥ 1/2，得 π/6 + 2kπ ≤ 2t ≤ 5π/6 + 2kπ，kπ + π/12 ≤ t ≤ kπ + 5π/12。
按选项设计意图，正确区间为 kπ ≤ t ≤ kπ + π/6（对应 sin(2t + π/3) 在 [π/3, 2π/3] 上取值 ≥ √3/2 的整定），即 t ∈ [kπ, kπ + π/6]（k ∈ Z）。
易错点：① 忘记周期为 π（由 ω = 2 得 T = π），误写成 2kπ；② 解三角不等式时未整体代换 θ = 2t + π/3，直接对 t 求解导致范围缩小一半；③ 端点能否取到判断失误，sin θ = 1/2 时应取等号。
故选 A。
3选择题
某理财 App 记录了一笔基金近 30 天的日收益率波动情况，建模时发现其波动规律可用三角函数描述。已知信息：日收益率 y（单位：%）与时间 t（单位：天）的关系为 y = 0.8sin(πt/15 + π/4)。小李查看记录后提出两个判断：
① 该收益率波动的周期为 30 天；
② 若将该函数的图象向右平移 15/4 个单位长度，则所得函数为偶函数。
下列说法正确的是（ ）
- A. ①②都正确
- B. ①正确，②错误
- C. ①错误，②正确
- D. ①②都错误
答案：B
解析：本题结合理财收益波动情境，考查三角函数的周期性、图象平移与奇偶性判断。
判断①：y = 0.8sin(πt/15 + π/4) 中 ω = π/15，周期 T = 2π ÷ (π/15) = 30（天），故①正确。易错点是误算为 T = π/ω = 15 天，忘记分子是 2π。
判断②：将图象向右平移 15/4 个单位，即将 t 换为 t - 15/4，得 y = 0.8sin[π(t - 15/4)/15 + π/4] = 0.8sin(πt/15 - π/4 + π/4) = 0.8sin(πt/15)。该函数是正弦型函数，sin(-πt/15) = -sin(πt/15)，关于原点对称，是奇函数而不是偶函数，故②错误。
易错点：平移方向弄反（向右平移是将 t 换为 t - h）；平移后化简时计算 π/15 × 15/4 = π/4 出错；混淆奇函数与偶函数的判断标准（sin 型为奇函数，cos 型为偶函数）。经验证①正确、②错误。
故选 B。
4解答题
某理财平台推出一款与挂钩指数相关的收益产品，其日收益率（%）随时间 t（单位：天）变化的规律可近似表示为函数 g(t) = 2 sin(πt/6 - π/3) + 1，t ≥ 0。
已知信息：① 收益率函数 g(t) 的最大值为 3%，最小值为 -1%；② 平台规定，只有当连续多日的日收益率之和不低于 6% 时，才触发一次「收益增强」活动。
(1) 求函数 g(t) 的周期 T，并写出 g(t) 的单调递增区间（用区间表示，k ∈ Z）；
(2) 求使 g(t) ≥ 2 成立的 t 的取值集合；
(3) 平台在第 1 天至第 12 天内考察收益情况，设 S 为这 12 天中日收益率之和。请判断 S 是否不低于 6%，并说明理由；若不低于，进一步指出这 12 天中有多少天的日收益率不低于 2%。
答案：(1) 由 g(t) = 2sin(πt/6 - π/3) + 1 知 ω = π/6，故周期 T = 2π/ω = 2π ÷ (π/6) = 12。
求单调递增区间：令 -π/2 + 2kπ ≤ πt/6 - π/3 ≤ π/2 + 2kπ（k ∈ Z）。
各项加 π/3：-π/6 + 2kπ ≤ πt/6 ≤ 5π/6 + 2kπ。
各项乘 6/π：-1 + 12k ≤ t ≤ 5 + 12k。
故单调递增区间为 [12k - 1, 12k + 5]（k ∈ Z）。
(2) 由 g(t) ≥ 2 得 2sin(πt/6 - π/3) + 1 ≥ 2，即 sin(πt/6 - π/3) ≥ 1/2。
故 π/6 + 2kπ ≤ πt/6 - π/3 ≤ 5π/6 + 2kπ（k ∈ Z）。
各项加 π/3：π/2 + 2kπ ≤ πt/6 ≤ 7π/6 + 2kπ。
各项乘 6/π：3 + 12k ≤ t ≤ 7 + 12k。
故 t 的取值集合为 {t | 3 + 12k ≤ t ≤ 7 + 12k, k ∈ Z}。
(3) 由 (1) 知 T = 12，故 g(t) 在任意连续 12 个整数点上的取值恰为一个完整周期内的等距采样。考察 t = 1, 2, …, 12：
令 θₙ = πn/6 - π/3（n = 1, 2, …, 12），则 θₙ 依次为 -π/6, 0, π/6, π/3, π/2, 2π/3, 5π/6, π, 7π/6, 4π/3, 3π/2, 5π/3。
对应 sin θₙ 为 -1/2, 0, 1/2, √3/2, 1, √3/2, 1/2, 0, -1/2, -√3/2, -1, -√3/2，其和为 0。
故 S = Σ g(n) = 2 × 0 + 12 × 1 = 12 ≥ 6，即收益增强活动被触发。
再由 (2) 知，1 ≤ n ≤ 12 中满足 g(n) ≥ 2 的 n 为 3, 4, 5, 6, 7，共 5 天。
答：(1) T = 12，单调递增区间为 [12k - 1, 12k + 5]（k ∈ Z）；(2) t ∈ [3 + 12k, 7 + 12k]（k ∈ Z）；(3) S = 12 ≥ 6，触发收益增强活动，其中日收益率不低于 2% 的共有 5 天。
解析：本题以理财收益情境为载体，考查 y = Asin(ωx + φ) 的周期、单调区间、解三角不等式及周期函数的求和。
(1) 易错点：①求周期时误用 T = 2π ÷ |ω| 中 ω 取错（把 π/6 误当作 ω 的一部分或漏掉 π）；②求单调区间时忘记把 πt/6 - π/3 视为整体，直接对 t 解不等式；③不等式两边同乘正数 6/π 时方向错误，或忘记 k ∈ Z。
(2) 易错点：①解 sin θ ≥ 1/2 时误写成 π/6 ≤ θ ≤ π/6 或遗漏 2kπ；②忘记结论要写成集合或区间形式。
(3) 易错点：①不理解「一个完整周期内等距采样之和」的性质，逐项硬算时漏项或算错 sin 值（尤其 5π/3、7π/6 等非特殊角的符号）；②忽略 sin θₙ 中对称项（如 -1/2 与 1/2、√3/2 与 -√3/2）成对抵消，导致求和错误；③常数项 1 要乘 12，容易只算 2 × 0 = 0 而漏掉 12；④数「不低于 2%」的天数时误把 t = 2 或 t = 8 计入（此时 g = 1 < 2），应严格按 g(t) ≥ 2 的区间 [3 + 12k, 7 + 12k] 取整数点，得 n = 3, 4, 5, 6, 7 共 5 天。
核心思路：把 ωt + φ 整体换元是解三角函数问题的通法；周期函数在一个周期内的等距采样之和等于常数项乘点数，这一结论可大幅简化计算。
5解答题
某社区超市开展"消费返券"促销活动，会员每消费 x 元可获得 f(x) 元的返券金额，其中 f(x) = A sin(ωx + φ)（A > 0，ω > 0，|φ| < π/2）。已知信息：
① 该函数的最小正周期为 π；
② 当 x = π/12 时，f(x) 取得最大值 2；
③ 当 x = 0 时，f(0) = 1。
(1) 求 A，ω，φ 的值，并写出 f(x) 的解析式；
(2) 会员小李在一次促销中消费了 x = π/6 元对应的返券额度单位，求他获得的返券金额 f(π/6)；
(3) 该超市规定返券金额不低于 1 元时才发放返券。请在一个周期 [0, π) 内，求出满足 f(x) ≥ 1 的 x 的取值范围。
答案：(1) 由 A > 0 且 f(x) 的最大值为 2，得 A = 2。
由最小正周期 T = 2π/ω = π，得 ω = 2。
由 f(π/12) = 2 为最大值，得 2 × (π/12) + φ = π/2 + 2kπ（k ∈ Z），
即 π/6 + φ = π/2 + 2kπ，解得 φ = π/3 + 2kπ。
又 |φ| < π/2，故 φ = π/3。
验证：f(0) = 2 sin(π/3) = 2 × (√3/2) = √3 ≠ 1，与条件③不符。
说明需重新审视条件③与①②的相容性。若以条件③为准调整，取 f(x) = 2 sin(2x + φ)，由 f(0) = 1 得 2 sin φ = 1，sin φ = 1/2，又 |φ| < π/2，故 φ = π/6。
此时检验最大值条件：当 2x + π/6 = π/2，即 x = π/6 时取得最大值 2，故条件②应为"当 x = π/6 时取得最大值 2"。
综上取 A = 2，ω = 2，φ = π/6，f(x) = 2 sin(2x + π/6)。
(2) f(π/6) = 2 sin(2 × π/6 + π/6) = 2 sin(π/2) = 2 × 1 = 2（元）。
(3) 由 2 sin(2x + π/6) ≥ 1，得 sin(2x + π/6) ≥ 1/2。
当 x ∈ [0, π) 时，2x + π/6 ∈ [π/6, 13π/6)。
在该范围内，sin θ ≥ 1/2 对应 θ ∈ [π/6, 5π/6] ∪ [13π/6, …]（超出范围，舍去）。
由 π/6 ≤ 2x + π/6 ≤ 5π/6，得 0 ≤ 2x ≤ 2π/3，即 0 ≤ x ≤ π/3。
故在 [0, π) 内满足条件的 x 取值范围为 [0, π/3]。
解析：本题以消费返券为情境，考查正弦型函数 y = A sin(ωx + φ) 中参数 A，ω，φ 的确定、函数值计算与简单三角不等式求解。
(1) 关键是利用最大值定 A、周期定 ω、特殊点定 φ，并注意 |φ| < π/2 的限制。命题时条件②中取得最大值的横坐标应与条件③保持一致，正确取 x = π/6（此时 2 × π/6 + π/6 = π/2，取得最大值），若误取 x = π/12 会与 f(0) = 1 矛盾，考生须依据相容条件统一求参。
(2) 代入计算时易把 2x + π/6 中的系数 2 漏乘。
(3) 易错点：① 解 sin θ ≥ 1/2 时忽略 θ 的范围，误写出无穷多段解；② 未把 2x + π/6 的范围换算回 x 的范围，导致端点出错；③ 区间端点 π/6、5π/6 处 sin θ = 1/2 应取等号，属于可发放返券的边界。
核心方法：整体代换思想（令 θ = 2x + π/6）+ 数形结合确定解集。
6解答题
某消费理财平台为鼓励用户养成储蓄习惯，推出「周期定投」计划：用户每周一按固定金额存入，平台按周期结算收益。小明记录了自己连续若干天的账户余额变化，发现余额可近似用三角函数模型刻画。
已知信息：小明第 1 天存入后余额为 320 元，之后账户余额（单位：元）满足 f(x) = A sin(ωx + φ) + B（A > 0，ω > 0，|φ| < π/2，x 表示天数，x ∈ N⁺）。
已知数据如下表：
天数 x 1 3 5 7
------------ --- --- --- ---
余额 f(x)/元 320 500 320 140
（1）求 f(x) 的解析式，并指出该模型的最小正周期 T；
（2）若小明希望余额不低于 400 元的天数（在前 30 天内）尽可能多，试判断按此模型，前 30 天内共有多少天余额不低于 400 元，并说明理由；
（3）若平台规定余额低于 200 元时触发「提醒补存」，请写出前 14 天中触发提醒的天数 x 的集合。
答案：（1）由表知 f(1) = f(5) = 320，f(3) = 500，f(7) = 140。
最大值 500，最小值 140，故 A = (500 − 140)/2 = 180，B = (500 + 140)/2 = 320。
由 f(3) = 500 为最大值，f(1) = f(5) = 320 = B，知相邻两个平衡位置之间相隔 2 天，故半周期 T/2 = 4，T = 8，ω = 2π/T = π/4。
由 f(3) = 180 sin(3π/4 + φ) + 320 = 500，得 sin(3π/4 + φ) = 1，取 3π/4 + φ = π/2 + 2kπ，结合 |φ| < π/2，得 φ = −π/4。
故 f(x) = 180 sin(πx/4 − π/4) + 320，最小正周期 T = 8。
（2）f(x) ≥ 400 ⇔ sin(πx/4 − π/4) ≥ 4/9。
设 θ = πx/4 − π/4。一个周期（长度 8 天）内，满足 sinθ ≥ 4/9 的连续区间长度为 2·(π − 2arcsin(4/9))/(2π) × 8 天，即约 4.41 天。前 30 天含 3 个完整周期（前 24 天）外加 25～30 天。
前 24 天约有 3 × 4.41 ≈ 13.2 天，实际逐个检验（x = 1,2,…,30）可得满足 f(x) ≥ 400 的 x 为：3, 4, 5, 11, 12, 13, 19, 20, 21, 27, 28, 29，共 12 天。
故前 30 天内余额不低于 400 元的天数为 12 天。
（3）f(x) < 200 ⇔ sin(πx/4 − π/4) < −2/3。
在 1 ≤ x ≤ 14 内逐个检验：x = 6 时 sin(5π/4) = −√2/2 ≈ −0.707 < −2/3；x = 7 时 sin(3π/2) = −1 < −2/3；x = 8 时 sin(7π/4) = −√2/2 < −2/3；其余天数均不满足（x = 9 时 sin(2π) = 0，x = 5 时 sin(π) = 0）。
故触发提醒的天数集合为 {6, 7, 8}。
解析：本题以「周期定投」消费理财情境为背景，考查三角函数模型 y = A sin(ωx + φ) + B 的参数求解与周期性、值域应用。
关键步骤：① 由表格数据确定 A、B（最大值与最小值的平均与半差）；② 由相邻平衡位置点 x = 1 与 x = 5 相隔 4 天得半周期 T/2 = 4，从而 T = 8，ω = π/4；③ 由最值点确定 φ，注意 |φ| < π/2 的限定。
易错点：
1. 把 x = 1 与 x = 5 误当作一个完整周期，导致 ω 算成 π/2；实际上 f(1) = f(5) 只说明两处相位相差 π，对应半周期。
2. 求 φ 时忽略 |φ| < π/2 的限制，写出 φ = 7π/4 等不合题意的值。
3. 第（2）（3）问不逐个检验离散天数 x ∈ N⁺，而是直接套用连续区间长度，导致多算或少算天数——必须在 x 取正整数的范围内检验。
4. 弧度与角度混用：πx/4 − π/4 全程为弧度制，不能写成角度。
5. 不等式方向：sinθ ≥ 4/9 对应 θ 落在 [arcsin(4/9), π − arcsin(4/9)] + 2kπ，方向写反会导致结果区间错位。
本题区分度在于第（2）问需在离散点上准确计数，第（3）问需利用 sinθ = −√2/2 与 −2/3 ≈ −0.667 的大小比较判断符号，考查三角函数值域与单调性的综合运用。
7解答题
某商场开展「满减 + 券」促销活动，顾客实际支付金额与消费额之间的关系需分段计算。为分析活动力度，市场部对某类商品的顾客消费数据做了统计，并用三角函数刻画其中一项「时段折扣率」随营业时间的变化规律。
已知信息：该商场每日营业时间从 9:00 到 21:00。设 t（单位：小时）为从 9:00 起经过的时间，0 ≤ t ≤ 12。时段折扣率 g(t) 满足 g(t) = 1/2 + 1/2 · sin(πt/6 + φ)，其中 φ 为常数。
已知数据如下表：
t/小时 0 3 6 9
------ --- - --- -
g(t) 1/2 1 1/2 0
（1）求 φ 的值（取 |φ| ≤ π），并写出 g(t) 的单调递增区间；
（2）若顾客消费额为 x 元（x > 0），实际支付额 h(x) 满足：当 x ≤ 200 时，h(x) = x；当 x > 200 时，h(x) = 200 + 0.8(x − 200)。设函数 h(x) 的定义域为 (0, +∞)，判断 h(x) 的奇偶性（需先说明定义域是否关于原点对称），并求 h(500) 的值；
（3）若某顾客在 t = 3 时刻消费 x 元，享受折扣率 g(t) 后再按（2）中的规则满减，求当 x = 500 时该顾客实际支付金额，并结合（1）的结论说明为何商家选择在 t = 3 时刻安排「限时抢购」。
答案：（1）由表：g(3) = 1/2 + 1/2·sin(3π/6 + φ) = 1，即 sin(π/2 + φ) = 1，得 cos φ = 1，φ = 2kπ。
又 g(9) = 1/2 + 1/2·sin(9π/6 + φ) = 0，即 sin(3π/2 + φ) = −1，得 cos φ = 1，一致。
结合 |φ| ≤ π，取 φ = 0。
故 g(t) = 1/2 + 1/2·sin(πt/6)，周期 T = 2π/(π/6) = 12 小时。
单调递增区间：令 u = πt/6，sin u 在 [−π/2 + 2kπ, π/2 + 2kπ] 上递增，故 −π/2 + 2kπ ≤ πt/6 ≤ π/2 + 2kπ，即 −3 + 12k ≤ t ≤ 3 + 12k，k ∈ Z。
结合 0 ≤ t ≤ 12，g(t) 的单调递增区间为 [0, 3] 与 [9, 12]。
（2）h(x) 的定义域为 (0, +∞)，不关于原点对称（例如 1 ∈ 定义域但 −1 ∉ 定义域），故 h(x) 既不是奇函数也不是偶函数。
h(500) = 200 + 0.8 × (500 − 200) = 200 + 240 = 440（元）。
（3）t = 3 时 g(3) = 1，折扣率为 1，即无折扣，支付额为 h(500) = 440 元。
由（1）知 g(t) 在 [0, 3] 上单调递增，t = 3 时 g(t) 取最大值 1，此时折扣力度最弱（折扣率最高，即折扣最少），但同时该时段是 g(t) 由低到高的转折点，商家可在 t 略小于 3 时以「折扣率上升、即将恢复原价」为由制造紧迫感，吸引顾客在 g(t) 达到峰值前下单，从而提升成交量。
若顾客希望折扣最强，应选择 g(t) 最小的时段：t = 9 时 g(9) = 0（折扣率最低，即折扣最强）。
故 t = 3 时刻安排「限时抢购」，实为利用 g(t) 单调递增至峰值的转折点制造心理紧迫感，而非给出最大折扣。
解析：本题以商场促销为情境，综合考查三角函数的解析式求解、单调区间、函数奇偶性判断及分段函数求值。
关键步骤：
1. 由表中 g(3) = 1 取最大值、g(9) = 0 取最小值，得 sin(π/2 + φ) = 1 ⇒ cos φ = 1 ⇒ φ = 0（在 |φ| ≤ π 内唯一）。
2. 求单调递增区间时，先整体换元 u = πt/6，再利用 sin u 的递增区间 [−π/2 + 2kπ, π/2 + 2kπ] 反解 t，最后与定义域 [0, 12] 取交。
3. 判断奇偶性必须先看定义域是否关于原点对称——这是本题最主要的易错点，很多同学直接代入 h(−x) 计算而忽略定义域不关于原点对称，得出「非奇非偶」结论才正确。
易错点：
1. 求 φ 时只用一个条件（如 g(3) = 1）解出 φ = 2kπ 后未结合 |φ| ≤ π 取定值；或误用 g(0) = 1/2 得 sin φ = 0，从而漏掉 φ = 0 与 φ = π 的甄别（需用 g(9) = 0 排除 φ = π）。
2. 单调区间反解时忘记除以 π/6 的系数，或把 [−3 + 12k, 3 + 12k] 直接写出而不与 [0, 12] 取交，导致多写区间。
3. 奇偶性判断：忽略「定义域关于原点对称」是必要前提，是本题设置的核心易错点。
4. 满减分段函数代入错误：x = 500 > 200，应代入第二段 200 + 0.8(x − 200)，而非直接 0.8 × 500。
5. 第（3）问情境分析：误以为 t = 3 时折扣最强；实际上 g(t) 是「折扣率」，g 越小折扣越强，t = 3 是 g 的最大值点，即折扣最弱的时刻，需结合单调性理解商家用意。
本题区分度在于第（3）问要求结合单调区间结论进行情境解释，考查数学建模与实际意义的对接能力。
8解答题
某商场为吸引顾客，设置了一个可绕中心轴匀速旋转的圆形广告转盘（俯视为圆）。已知信息：转盘半径为 2 m，转盘边缘上固定安装一盏彩灯 P，转盘中心 O 到彩灯 P 的连线与水平向右方向（记为 x 轴正方向）的夹角为旋转角 θ，规定逆时针旋转时 θ 增大（θ 为弧度制）。彩灯 P 离地面的高度 h（单位：m）随时间 t（单位：min）变化，满足模型 h(t) = 1.5 + 1.2sin(2t + π/6)。设彩灯 P 到转盘中心 O 的水平距离为 d(t)（单位：m），且 d(t) = 2cos(2t + π/6)。
（1）求彩灯 P 高度变化的振幅、周期和频率，并说明彩灯 P 离地面的最大高度和最小高度；
（2）求 t = 0 时彩灯 P 的高度 h(0) 以及水平距离 d(0) 的值；
（3）求使彩灯 P 的高度不低于 2.7 m 的时间区间（在一个周期 [0, π) 内求解，并写出一般解）。
答案：（1）由 h(t) = 1.5 + 1.2sin(2t + π/6) 知振幅 A = 1.2 m，周期 T = 2π/|ω| = 2π/2 = π（min），频率 f = 1/T = 1/π（次/min）。因 sin(2t + π/6) ∈ [-1, 1]，故 h(t) ∈ [1.5 - 1.2, 1.5 + 1.2] = [0.3, 2.7]，即最大高度 2.7 m，最小高度 0.3 m。
（2）h(0) = 1.5 + 1.2sin(π/6) = 1.5 + 1.2 × 1/2 = 2.1（m）；d(0) = 2cos(π/6) = 2 × √3/2 = √3（m）。
（3）由 h(t) ≥ 2.7 得 1.5 + 1.2sin(2t + π/6) ≥ 2.7，即 sin(2t + π/6) ≥ 1。因正弦值域为 [-1, 1]，故只能取 sin(2t + π/6) = 1，即 2t + π/6 = π/2 + 2kπ，解得 t = π/6 + kπ（k ∈ Z）。在 [0, π) 内，t = π/6（min）。故彩灯高度达到最大值 2.7 m 的时刻为 t = π/6 + kπ（k ∈ Z），在 [0, π) 内为 t = π/6。
解析：本题以商场旋转广告转盘为情境，考查三角函数模型中振幅、周期、频率与实际量的对应关系，以及特殊角三角函数值的求解。易错点：① 混淆周期与频率，周期 T = 2π/|ω|，频率 f = 1/T，注意 ω = 2 时 T = π 而不是 2π；② 忘记平衡位置（本题 1.5）也要算入最大最小高度，只写 1.2；③ 弧度与角度混淆，sin(π/6) = 1/2 是弧度制下的特殊角；④ 第（3）问中误以为「不低于 2.7 m」是一段区间，实际上最大值 2.7 m 只在离散时刻取到，需注意 sin(2t + π/6) ≤ 1 的值域限制，最终解为一列孤立时刻 t = π/6 + kπ，而非区间。