1选择题
已知复数 z = (3 + 4i) ÷ i，i 为虚数单位，则复数 z 的模 |z| 等于（ ）
答案：A
解析：先化简 z：z = (3 + 4i) ÷ i = (3 + 4i) × (-i) ÷ (i × (-i))，也可以直接分子分母同乘 -i（i 的共轭是 -i）：
(3 + 4i) ÷ i = (3 + 4i)(-i) ÷ [i × (-i)] = (-3i - 4i²) ÷ (-(i²)) = (-3i + 4) ÷ 1 = 4 - 3i。
因此 |z| = √(4² + (-3)²) = √(16 + 9) = √25 = 5。
另解：利用模的性质 |z₁ ÷ z₂| = |z₁| ÷ |z₂|，|3 + 4i| = √(3² + 4²) = 5，|i| = 1，故 |z| = 5 ÷ 1 = 5。
易错点：一是除以 i 时忘记乘共轭或把 i 的共轭误当作 i 本身；二是算模时把 4² + (-3)² 误算成 25 之外的数，或直接把 √25 写成 25 而选 C；三是误以为模可以为负或写成 1/5。故选 A。
2选择题
已知复数 z = (3 + 4i) ÷ (1 - 2i)，则复数 z 在复平面内对应的点位于（ ）
- A. 第一象限
- B. 第二象限
- C. 第三象限
- D. 第四象限
答案：B
解析：先化简复数：z = (3 + 4i) ÷ (1 - 2i) = (3 + 4i)(1 + 2i) ÷ [(1 - 2i)(1 + 2i)]。分子展开：(3 + 4i)(1 + 2i) = 3 + 6i + 4i + 8i² = 3 + 10i - 8 = -5 + 10i；分母：(1 - 2i)(1 + 2i) = 1 - 4i² = 1 + 4 = 5。故 z = (-5 + 10i) ÷ 5 = -1 + 2i。对应点为 (-1, 2)，横坐标为负、纵坐标为正，位于第二象限。
【修正说明】上述化简中分子展开应为：(3 + 4i)(1 + 2i) = 3 + 6i + 4i + 8i² = 3 + 10i - 8 = -5 + 10i，故 z = -1 + 2i，对应点 (-1, 2) 在第二象限。因此正确结论应为 B。
易错点：① 除法运算忘记乘分母的共轭复数；② 展开时把 i² 写成 1 而不是 -1，导致实部算错；③ 共轭复数符号写错，把 1 - 2i 的共轭写成 1 - 2i。最终结论：z = -1 + 2i，对应点 (-1, 2) 位于第二象限，故选B。
3选择题
已知复数 z = 1 + i，则 |z² - 2z| =（ ）
答案：C
解析：先计算 z² = (1 + i)² = 1 + 2i + i² = 1 + 2i - 1 = 2i。再算 2z = 2(1 + i) = 2 + 2i。于是 z² - 2z = 2i - (2 + 2i) = -2，其模 |z² - 2z| = |-2| = 2。
因此正确答案应为 C。
易错点：① 把 (1 + i)² 误算为 1 + i² = 0，漏掉中间项 2i；② 求模时只看虚部或漏掉绝对值；③ 混淆「复数的模」与「实数的绝对值」，对实数 -2 应取 |−2| = 2。故选C。
4选择题
已知复数 z = (3 + 4i) ÷ (1 - i)，其中 i 为虚数单位，则复数 z 的模 |z| 等于（ ）
- A. 5√2/2
- B. 5
- C. 5√2
- D. 25/2
答案：A
解析：先求 |3 + 4i| = √(3² + 4²) = √25 = 5；再求 |1 - i| = √(1² + (−1)²) = √2。复数除法中模相除：|z| = |3 + 4i| ÷ |1 - i| = 5 ÷ √2 = 5√2/2。也可先化简 z = (3+4i)(1+i) ÷ [(1−i)(1+i)] = (3+4i)(1+i) ÷ 2 = (3 + 3i + 4i + 4i²) ÷ 2 = (−1 + 7i) ÷ 2，故 |z| = √[(-1/2)² + (7/2)²] = √(1+49)/2 = √50/2 = 5√2/2。易错点：① 误认为 |z₁ ÷ z₂| = |z₁| ÷ |z₂| 会得到 5/√2 后忘记有理化，或直接算成 5；② 化简时忘记 i² = −1，把 4i² 写成 +4，从而得到 (7+7i)/2 等错误结果；③ 把模误写成 a + b 而非 √(a² + b²)。故选A。
5解答题
已知复数 z₁ = 2 + 3i，z₂ = 1 - i，i 为虚数单位。
（1）求 z₁ + z₂ 与 z₁ × z₂；
（2）求 z₁ ÷ z₂，并写出结果的实部与虚部；
（3）在复平面内，设复数 z₁ 对应点 P，求线段 OP 的长度（O 为原点），并判断点 P 位于第几象限。
答案：（1）z₁ + z₂ = (2 + 3i) + (1 - i) = (2 + 1) + (3 - 1)i = 3 + 2i。
z₁ × z₂ = (2 + 3i)(1 - i) = 2 - 2i + 3i - 3i² = 2 + i + 3 = 5 + i（此处用 i² = -1）。
（2）z₁ ÷ z₂ = (2 + 3i) ÷ (1 - i) = (2 + 3i)(1 + i) ÷ [(1 - i)(1 + i)] = (2 + 2i + 3i + 3i²) ÷ (1 - i²) = (2 + 5i - 3) ÷ (1 + 1) = (-1 + 5i) ÷ 2 = -1/2 + (5/2)i。
故实部为 -1/2，虚部为 5/2。
（3）z₁ = 2 + 3i 对应点 P(2, 3)，|z₁| = √(2² + 3²) = √(4 + 9) = √13，即 OP = √13。
由于实部 2 > 0、虚部 3 > 0，点 P 在第一象限。
解析：（1）加法按实部、虚部分别相加；乘法按多项式展开后把 i² 换成 -1，易错点是漏掉 i² = -1 这一步导致符号错误。
（2）除法必须分子分母同乘分母的共轭复数 1 + i，把分母化为实数 2；常见错误是只乘分子不乘分母，或忘记把 i² 变号，得到 -1/2 - (5/2)i 这样的错误结果。注意复数 z = a + bi 的虚部是 b（不含 i），因此虚部为 5/2 而不是 (5/2)i。
（3）模即复数对应点到原点的距离 √(a² + b²)，切忌写成 a + b 或 √a² + √b²；象限判断由实部、虚部符号共同决定。
6解答题
已知复数 z₁ = 1 + 2i，z₂ = 3 - 4i，i 为虚数单位。
（1）求 z₁ + z₂ 与 z₁ × z₂；
（2）求 z₁ ÷ z₂，并写出结果的实部与虚部；
（3）若复数 z 满足 z × z₂ = z₁，判断 z 在复平面上对应的点位于第几象限，并求 |z|。
答案：（1）z₁ + z₂ = (1 + 3) + (2 - 4)i = 4 - 2i。
z₁ × z₂ = (1 + 2i)(3 - 4i) = 3 - 4i + 6i - 8i² = 3 + 2i + 8 = 11 + 2i。
（2）z₁ ÷ z₂ = (1 + 2i) ÷ (3 - 4i) = [(1 + 2i)(3 + 4i)] ÷ [(3 - 4i)(3 + 4i)] = (3 + 4i + 6i + 8i²) ÷ (9 + 16) = (3 + 10i - 8) ÷ 25 = (-5 + 10i) ÷ 25 = -1/5 + (2/5)i。
实部为 -1/5，虚部为 2/5。
（3）由 z × z₂ = z₁ 得 z = z₁ ÷ z₂ = -1/5 + (2/5)i（与第（2）问结果相同）。
对应点坐标为 (-1/5, 2/5)，横坐标为负、纵坐标为正，故该点位于第二象限。
|z| = √[(-1/5)² + (2/5)²] = √(1/25 + 4/25) = √(5/25) = √5/5。
解析：本题直接考查复数的加法、乘法、除法与模，属于课本例题的直接应用与变形。（1）加法按“实部加实部、虚部加虚部”；乘法按多项式相乘并把 i² 换成 −1，易错点是漏掉 i² = −1 导致把 −8i² 写成 −8，从而误得 −5 + 2i。（2）除法必须分子分母同乘分母的共轭复数 3 + 4i，分母变成 3² + 4² = 25；易错点是只把分子乘共轭而分母不乘，或共轭取错符号写成 3 - 4i。（3）关键是由 z × z₂ = z₁ 反解出 z = z₁ ÷ z₂，实质与第（2）问相同，考查“复数除法即乘共轭”的熟练度；判断象限时要看对应点 (a, b) 的符号，此处 a = -1/5 < 0、b = 2/5 > 0，故在第二象限；求模时易错点是把模算成 |a| + |b| = 3/5，正确应为 √(a² + b²) = √5/5。注意虚部是 2/5 这个实数，不含 i。
7解答题
已知复数 z₁ = 3 + 4i，z₂ = 1 - 2i，其中 i 为虚数单位，i² = -1。
（1）求 z₁ + z₂ 与 z₁ - z₂；
（2）求 z₁ × z₂，并计算 |z₁|、|z₂|；
（3）求 z₁ ÷ z₂（写成 a + bi 的形式）；
（4）指出复数 z = (m² - 4) + (m - 2)i（m ∈ R）为纯虚数时 m 的取值。
答案：（1）z₁ + z₂ = (3 + 1) + (4 - 2)i = 4 + 2i；
z₁ - z₂ = (3 - 1) + (4 + 2)i = 2 + 6i。
（2）z₁ × z₂ = (3 + 4i)(1 - 2i) = 3 - 6i + 4i - 8i² = 3 - 2i + 8 = 11 - 2i。
|z₁| = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5；
|z₂| = √(1² + (-2)²) = √(1 + 4) = √5。
（3）z₁ ÷ z₂ = (3 + 4i)/(1 - 2i) = (3 + 4i)(1 + 2i)/[(1 - 2i)(1 + 2i)]
= (3 + 6i + 4i + 8i²)/(1² + 2²) = (3 + 10i - 8)/5 = (-5 + 10i)/5 = -1 + 2i。
（4）z 为纯虚数需实部为 0 且虚部不为 0：
m² - 4 = 0，得 m = ±2；
又 m - 2 ≠ 0，得 m ≠ 2；
故 m = -2。
解析：本题考查复数的四则运算、模的计算以及纯虚数的概念，均为课本例题的直接变形。
（1）加减法按「实部加实部、虚部加虚部」进行，易把 z₂ = 1 - 2i 的虚部 -2 当作 2，导致 z₁ - z₂ 虚部算成 2。
（2）乘法按多项式相乘展开，关键一步是 i² = -1，把 -8i² 写成 +8；常见错误是漏掉变号，写成 11 - 10i。模的公式是 √(a² + b²)，b = -2 时要先平方再相加，易误算为 √(1 - 4)。
（3）除法必须分子分母同乘分母的共轭复数 1 + 2i，分母化为 1² + 2² = 5。易错点：只乘分子不乘分母；把共轭复数写成 1 - 2i（与原分母相同）；分子展开时漏算 8i² = -8。
（4）纯虚数的定义是「实部为 0 且虚部不为 0」，只由 m² - 4 = 0 得 m = ±2 就作答是典型错误，必须排除 m = 2（此时 z = 0，是实数而非纯虚数）。
故答案依次为 4 + 2i 与 2 + 6i；11 - 2i，|z₁| = 5，|z₂| = √5；-1 + 2i；m = -2。
8解答题
已知复数 z = a + bi（a, b ∈ R，i 为虚数单位，i² = -1），且 |z| = 5，z 在复平面内对应的点位于直线 y = x 上（即 b = a）。
（1）求 a、b 的值，并写出对应的复数 z；
（2）求 z² 以及 z 与它的共轭复数 z̄ 的乘积；
（3）若 ω = z ÷ (1 + i)，求 ω 在复平面内对应的点到原点的距离；
（4）求满足 |z - 3i| = 5 的复数 z 的实部与虚部所满足的关系式。
答案：（1）由 b = a 及 |z| = √(a² + b²) = 5，得 √(2a²) = 5，即 2a² = 25，a² = 25/2，
故 a = ±5√2/2，b = a = ±5√2/2，
z = (5√2/2) + (5√2/2)i 或 z = -(5√2/2) - (5√2/2)i。
（2）z² = (a + ai)² = a²(1 + i)² = a² × 2i = (25/2) × 2i = 25i（两种取值下结果相同）。
z × z̄ = (a + bi)(a - bi) = a² + b² = |z|² = 25。
（3）ω = z ÷ (1 + i) = (a + ai)/(1 + i) = a(1 + i)/(1 + i) = a。
故 ω 是实数 a，对应点为 (a, 0)，到原点的距离为 |a| = 5√2/2。
（4）设 z = x + yi，则 z - 3i = x + (y - 3)i，
|z - 3i| = √[x² + (y - 3)²] = 5，
两边平方得 x² + (y - 3)² = 25，
即复数 z 的实部 x 与虚部 y 满足 x² + (y - 3)² = 25（以 (0, 3) 为圆心、5 为半径的圆）。
解析：本题把复数的几何意义（复平面上的点、模、距离）与四则运算结合，属于基础题的综合变形。
（1）由点在直线 y = x 上得 b = a，再用模公式 √(a² + b²) = 5。易错点：只取正值漏掉负值；把 √(2a²) = 5 误算为 a = 5/√2 而漏乘有理化系数，或误写 a² = 25 而不是 25/2。
（2）利用 b = a 可得 (1 + i)² = 1 + 2i + i² = 2i，这是「i² = -1」的直接应用，易错在于把 (1 + i)² 写成 1 + i² = 0（漏掉中间项 2i）。z × z̄ = |z|² = 25 是重要结论，可直接用，也可展开验证。
（3）除法同样要乘共轭复数：(a + ai)/(1 + i) = a(1 + i)(1 - i)/[(1 + i)(1 - i)] = a × 2/2 = a。易错点是把 ω 误当成复数 a + 0i 之外的虚数，或在化简时把 (1 + i)(1 - i) 算成 1 - i² = 0。
（4）|z - 3i| 表示点 (x, y) 到点 (0, 3) 的距离，几何意义是圆。易错点：把 z - 3i 的虚部写成 y + 3i；化简时忘记平方，写成 x² + (y - 3) = 25。
故答案为 a = b = ±5√2/2，z = ±(5√2/2)(1 + i)；z² = 25i，z z̄ = 25；|ω| = 5√2/2；x² + (y - 3)² = 25。