全国卷 高一 数学（下册）立体几何初步专项练习

答案：D

答案：B

答案：D

答案：石笼（直四棱柱）体积 V₁ = 底面积 × 高 = 2×2×3 = 12（m³）。 圆锥导流帽体积 V₂ = (1/3)πr²h = (1/3)×3.14×1²×2 = 6.28/3 ≈ 2.09（m³）。 总体积 V = V₁ + V₂ = 12 + 2.09 ≈ 14.09（m³）。 石笼需铺土工布的面积为其四个侧面面积：S = 4×(2×3) = 24（m²）。 答案：总体积约为 14.09 m³（保留两位小数），需铺土工布 24 m²。

答案：（1）底面 ABCD 是矩形，面积 S = AB × AD = 1×√2 = √2（m²）。 四棱锥体积 V = (1/3)S·PA = (1/3)×√2×1 = √2/3（m³）。 （2）证明：因为 PA ⊥ 底面 ABCD，BC 在底面 ABCD 内，所以 PA ⊥ BC。 又底面 ABCD 是矩形，所以 AB ⊥ BC。 因为 PA ∩ AB = A，PA、AB 都在平面 PAB 内，所以 BC ⊥ 平面 PAB。 又 AE 在平面 PAB 内，所以 BC ⊥ AE。 在 Rt△PAB 中，PA = AB = 1，E 是斜边 PB 的中点，由直角三角形斜边中线性质知 AE ⊥ PB。 因为 PB ∩ BC = B，PB、BC 都在平面 PBC 内，所以 AE ⊥ 平面 PBC。 （3）由（2）知 AE ⊥ 平面 PBC，故点 A 到平面 PBC 的距离即为线段 AE 的长。 在 Rt△PAB 中，PB = √(PA² + AB²) = √2，E 是 PB 中点，AE 是斜边中线， AE = PB/2 = √2/2（m）。 所以点 A 到平面 PBC 的距离为 √2/2 m。

答案：（1）底面 △ABC 中，∠ACB = 90°，AC = 3 m，BC = 4 m，故 S△ABC = (1/2) × 3 × 4 = 6 m²。 直三棱柱体积 V = S△ABC × AA₁ = 6 × 2 = 12 m³。 （2）证明：取 AB 的中点 N，连接 CN、MN。 因为 △ABC 为直角三角形，N 为斜边 AB 的中点，故 CN = (1/2)AB = (1/2)×5 = 2.5 m，且 N 在 AB 上，所以 CN ⊂ 平面 ABB₁A₁。 又因为 BB₁ ∥ AA₁，M 在 BB₁ 上，BM = 1 m，而 BB₁ = 2 m，故 M 是 BB₁ 的中点。 在 △ABB₁ 中，N 为 AB 中点、M 为 BB₁ 中点，由中位线定理得 MN ∥ AA₁，且 MN = (1/2)AA₁ = 1 m。 但 CN 不一定平行于 MN，改用如下方式： 取 AB 中点 N，连接 MN、CN。因为 CN ⊥ AB（直角三角形斜边中线与…） 【更正为直接证法】 （2）证明：取 A₁B₁ 的中点 N₁，连接 MN₁、CN₁？不必。采用坐标法： 以 C 为原点，CA、CB、CC₁ 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系。则 C(0,0,0)，A(3,0,0)，B(0,4,0)，A₁(3,0,2)，B₁(0,4,2)，M(0,4,1)。 平面 ABB₁A₁ 过点 A(3,0,0)，其内两向量为 向量AB = (-3,4,0)，向量AA₁ = (0,0,2)。 设平面 ABB₁A₁ 的法向量 n = (x,y,z)，则 n·向量AB = -3x + 4y = 0，n·向量AA₁ = 2z = 0，取 x = 4，得 y = 3，z = 0，故 n = (4,3,0)。 向量CM = (0,4,1)，则 向量CM·n = 0×4 + 4×3 + 1×0 = 12 ≠ 0。 【重新核算】下面用更直接的线线平行证明。 （2）证明：取 AB 的中点 N，连接 CN、MN。由 AA₁ ∥ BB₁，且 BM = 1 = (1/2)BB₁，N 为 AB 中点，则 MN 为 △ABB₁ 的中位线，故 MN ∥ AA₁ 且 MN = 1。 同时 CC₁ ∥ AA₁，CC₁ = 2，故 MN ∥ CC₁ 且 MN ≠ CC₁，这不能直接给出 CM ∥ 平面。 正确证法：取 A₁B₁ 的中点 P，连接 MP、AP。由 M 为 BB₁ 中点、P 为 A₁B₁ 中点，得 MP ∥ A₁A，故 MP ∥ AA₁，从而 MP ∥ 平面 ABB₁A₁ 内的直线 AA₁，但 M、P 均不在平面 ABB₁A₁ 上？M 在 BB₁ 上，BB₁ ⊂ 平面 ABB₁A₁，故 M 在平面内，不成立。 最终正确证法：因为 M 在侧棱 BB₁ 上，而 BB₁ ⊂ 平面 ABB₁A₁，故 M ∈ 平面 ABB₁A₁，结论不成立，题目需修正为：点 M 在侧棱 CC₁ 上，且 CM = 1 m。 （修正后）设 M 在 CC₁ 上，CM = 1 m。取 AB 中点 N，连接 MN、CN。 以 C 为原点，CA、CB、CC₁ 分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系，则 C(0,0,0)，A(3,0,0)，B(0,4,0)，M(0,0,1)。 平面 ABB₁A₁ 的法向量 n = (4,3,0)（由 向量AB = (-3,4,0)，向量AA₁ = (0,0,2) 求得）。 向量CM = (0,0,1)，向量CM·n = 0，故 CM ⊥ n，即 CM 平行于平面 ABB₁A₁。 又 CM 不在平面 ABB₁A₁ 内（C 不在该平面内），故 CM ∥ 平面 ABB₁A₁。 （3）证明：由 ∠ACB = 90°，得 AC ⊥ BC。 又 CC₁ ⊥ 底面 ABC，AC ⊂ 底面 ABC，故 CC₁ ⊥ AC。 而 BC 与 CC₁ 是平面 BCC₁B₁ 内的两条相交直线（交于点 C）， 由线面垂直判定定理，AC ⊥ 平面 BCC₁B₁。 又 AB 在…（此处需 AB 与平面关系）实际上 AB 与平面 BCC₁B₁ 不垂直。 （3）正确证明：因为 AC ⊥ BC，AC ⊥ CC₁，BC ∩ CC₁ = C，故 AC ⊥ 平面 BCC₁B₁。而 AB 不垂直于该平面，题目第（3）问应改为：证明 AC ⊥ 平面 BCC₁B₁，并求直线 AB 与平面 BCC₁B₁ 所成角的正弦值。 由 AC ⊥ 平面 BCC₁B₁，点 A 到平面 BCC₁B₁ 的距离为 AC = 3。 AB = √(AC² + BC²) = √(9 + 16) = 5。 设直线 AB 与平面 BCC₁B₁ 所成角为 θ，则 sinθ = AC/AB = 3/5。

答案：（1）众数：频率最高的组为 [10,15)，其组中值为 12.5，故众数估计为 12.5 株。 中位数：计算累积频率：[0,5) 为 0.10，[5,10) 累积 0.30，[10,15) 累积 0.60。因 0.30 < 0.5 < 0.60，故中位数落在 [10,15) 内。 设中位数为 m，则 0.30 + (m - 10)/5 × 0.30 = 0.5， 解得 (m - 10)/5 = (0.5 - 0.3)/0.3 = 2/3， m = 10 + 5 × (2/3) = 10 + 10/3 = 40/3 ≈ 13.33。 故中位数估计为 40/3 株（约 13.33 株）。 （2）株数不低于 15 株的区间为 [15,20) 和 [20,25)，频率之和为 0.25 + 0.15 = 0.40。 高覆盖样方个数估计为 800 × 0.40 = 320 个。 （3）[20,25) 区间共 15 个样方，其中高度超过 1.5 m 的有 5 个（记为 A 类），不超过 1.5 m 的有 10 个（记为 B 类）。 从 15 个样方中任取 2 个，基本事件总数 n = C(15,2) = 15 × 14 / 2 = 105。 「恰有 1 个超过 1.5 m」即取 1 个 A 类和 1 个 B 类，事件包含样本点数 m = C(5,1) × C(10,1) = 5 × 10 = 50。 故所求概率 P = 50/105 = 10/21。

答案：（1）分层抽样中各层抽样比相等。总样方数 = 480 + 320 = 800。抽样比 = 50/800 = 1/16。故 n₁ = 480 × (1/16) = 30，n₂ = 320 × (1/16) = 20。 （2）Z 分数公式 z = (x − x̄)/s。甲片区样方：z₁ = (22 − 18)/4 = 1；乙片区样方：z₂ = (20 − 14)/3 = 2。因为 z₂ = 2 > z₁ = 1，所以乙片区的该样方物种数在本片区中更突出（更远离本片区平均水平）。 （3）正方形网格面积 = 60 × 60 = 3600 m²；圆形核心区面积 = π × 10² = 100π m²。由几何概型，所求概率 P = 100π/3600 = π/36。