1选择题
某连锁奶茶店为了解顾客对一款新品甜度的满意情况，计划从三家门店共抽取60名顾客进行问卷调查。已知甲、乙、丙三家门店当日顾客数之比为3∶2∶1，且各门店顾客的满意情况差异较大。现采用分层抽样的方法按比例抽取样本，其中丙门店应抽取的顾客数为（ ）。
答案：A
解析：本题考查分层抽样按比例分配样本。三家门店顾客数之比为3∶2∶1，总份数为3+2+1=6，丙门店占1/6，故丙门店应抽取60×(1/6)=10人。易错点：①误将比例直接当成人数，未按总样本量分配；②混淆各层占比，用3/6或2/6算错；③误以为分层抽样是等量抽取（即每家20人），忽略了分层抽样的核心是按比例抽取，这样才能保证样本结构与总体一致。故选A。
2选择题
某社区为了解居民每月网购支出情况，采用分层抽样的方法从全体居民中抽取样本。已知该社区青年、中年、老年三层居民人数之比为 3:5:2，若样本中青年层有 15 人，则样本容量为（ ）
答案：C
解析：分层抽样按各层在总体中的比例抽取样本。青年、中年、老年三层人数之比为 3:5:2，故青年层占总体的 3/(3+5+2)=3/10。设样本容量为 n，则样本中青年人数为 (3/10)n。由题意 (3/10)n=15，解得 n=50。易错点：一是把「青年层15人」误当作「青年层占15人份比例」，直接用 3:5:2 中的 3 份对应 15 人算出每份 5 人，再算总份数 10 份得 50 人，这种方法其实正确但容易漏乘总份数；二是混淆各层比例与各层实际人数，把比例中的 3 当成样本中青年人数占比之外的量；三是忘记分层抽样要求各层按同一比例抽取，从而错误地用人数比例直接相加。故选 C。
3选择题
某校为了解学生每周课外阅读时间，从高一年级1200名学生中抽取一个容量为60的样本。已知高一年级男、女生人数之比为3∶2，抽取的样本中男生人数为36人。若把样本中每周课外阅读时间（单位：小时）整理成频率分布直方图，其中阅读时间在[4,6)这一组的小矩形高为0.15，组距为2。下列说法正确的是：
- A. 该抽样为分层抽样，且[4,6)这一组的频率为0.15
- B. 该抽样为分层抽样，且[4,6)这一组的频率为0.30
- C. 该抽样为简单随机抽样，且[4,6)这一组的频率为0.30
- D. 该抽样为系统抽样，且[4,6)这一组的频率为0.30
答案：B
解析：第一问判断抽样方法：总体中男、女生人数之比为3∶2，样本容量为60，若按比例分层抽取，男生应抽60×3/5=36人，与题设一致，因此这是按比例从各层抽取的分层抽样，排除C、D。第二问计算频率：频率分布直方图的纵轴是频率÷组距，不是频率本身，小矩形的面积才等于该组的频率。本组面积=高×组距=0.15×2=0.30，故该组频率为0.30，而不是0.15，排除A。易错点：一是把纵轴数值0.15误当成频率；二是误判抽样方法，忘记「按比例从各层抽取」是分层抽样的特征。故选B。
4填空题
某文具店记录了一周内每天售出笔记本的数量（单位：本），数据如下：12，15，10，18，14，16，15。
(1) 这组数据的平均数是 ______ 本；
(2) 若另一家分店一周售出笔记本数量的平均数与这组数据相同，但方差为 4，则该分店这一周售出数量的波动程度比这家文具店 ______（填「大」或「小」）。
答案：(1) 平均数 x̄ = (12+15+10+18+14+16+15)/7 = 100/7 ≈ 14.29（本），即 100/7 本。
(2) 先求方差：各数据与平均数 100/7 的差的平方和为：
(12-100/7)²+(15-100/7)²+(10-100/7)²+(18-100/7)²+(14-100/7)²+(16-100/7)²+(15-100/7)²
= (-16/7)²+(5/7)²+(-30/7)²+(26/7)²+(-2/7)²+(12/7)²+(5/7)²
= (256+25+900+676+4+144+25)/49 = 2030/49 ≈ 41.43。
方差 s² = (2030/49)/7 = 2030/343 ≈ 5.92 > 4。
因为本店方差约 5.92 大于分店方差 4，方差越大波动越大，故分店售出数量的波动程度比这家文具店小。
答案：(1) 100/7（约 14.29）；(2) 小。
解析：本题考查平均数与方差的计算及方差的实际意义。平均数是所有数据之和除以数据个数：7 天数据求和得 100，再除以 7，得 100/7 ≈ 14.29。方差是各数据与平均数之差的平方的平均数，计算时先求差、再平方、求和、最后必须除以数据个数 7（此处易漏除，导致方差被放大 7 倍）。比较波动大小时，方差越小数据越集中、波动越小；本店方差约 5.92，分店方差为 4，4 < 5.92，故分店波动更小。易错点：① 求和或除数出错；② 计算方差时忘记除以数据个数；③ 混淆方差大小与波动大小的对应关系，误以为方差小波动大。
5解答题
某中学为了解高一年级学生每周零花钱的使用情况，从全年级学生中按比例抽取了40名学生进行调查，统计得到他们本周零花钱支出数据如下（单位：元）：
60，80，100，100，120，120，120，140，140，140，140，160，160，160，160，160，180，180，180，180，200，200，200，200，200，220，220，220，220，240，240，240，260，260，280，280，300，300，320，340。
(1)求这40名学生零花钱支出的平均数（结果保留整数）；
(2)已知这组数据的方差为4800，若将每名学生的零花钱支出都增加10元，求新数据的平均数与方差，并说明方差变化的实际含义；
(3)若将这40个数据按[60，120)、[120，180)、[180，240)、[240，300)、[300，360]分成5组，画出频率分布直方图后，纵轴应表示什么？请写出[180，240)这一组在频率分布直方图中对应小矩形的面积。
答案：(1)数据总和：60+80+100×2+120×3+140×4+160×5+180×4+200×5+220×4+240×3+260×2+280×2+300×2+320+340
=60+80+200+360+560+800+720+1000+880+720+520+560+600+320+340=7120。
平均数 x̄ =7120÷40=178（元）。
(2)每名学生的支出都增加10元，即每个数据都加10，故新数据的平均数为178+10=188（元）；数据整体平移不改变各数据相对于平均数的离散程度，故方差不变，仍为4800。
实际含义：全班零花钱支出水平整体提高了10元，但学生之间支出的差异程度（波动大小）没有变化。
(3)频率分布直方图的纵轴应表示「频率÷组距」，而不是频率本身。
[180，240)这一组的数据为180，180，180，180，200，200，200，200，200，220，220，220，220，共13个，频率为13/40=0.325；该组组距为60，故对应小矩形的面积等于该组频率，即0.325（小矩形的高为0.325÷60≈0.0054）。
解析：(1)考查平均数的计算：平均数=所有数据之和÷数据个数。本题数据较多，易错点是求和时漏算或重复计数，可按频数分组累加（如140出现4次则计560），最后用总和7120÷40=178。
(2)考查方差的意义与平移变换：数据整体加常数c时，平均数也加c，而方差不变，因为每个数据与平均数的偏差不变。易错点：①误认为方差也增加10或增加10²；②忘记方差反映的是离散程度，与数据整体水平高低无关。
(3)本问是频率分布直方图的核心易错点：纵轴表示「频率/组距」，不是频率；每个小矩形的面积=组距×(频率/组距)=该组频率，所有小矩形面积之和为1。易错点：①把纵轴误当成频率；②直接用频率0.325当小矩形的高；③算[180，240)组频数时漏数180或220的个数。注意本组数据个数为13，频率13/40=0.325，面积即为0.325。
6解答题
某电商平台为了解高一年级学生每周网购消费支出情况，从全校高一年级学生中抽取容量为 60 的样本进行调查。已知高一年级共有学生 1200 人，其中男生 720 人，女生 480 人，现采用分层抽样的方法抽取样本。
(1) 男生、女生各应抽取多少人？
(2) 调查后得到样本中 60 名学生每周网购支出（单位：元）的频率分布表如下：
分组 频率
--------- ----
[0,50) 0.15
[50,100) 0.25
[100,150) 0.30
[150,200) 0.20
[200,250] 0.10
已知频率分布直方图中，纵轴表示“频率 ÷ 组距”。请根据上表完成下列问题：
(i) 求频率分布直方图中支出在 [100,150) 这一组对应小矩形的纵坐标（即频率 ÷ 组距）的值；
(ii) 若各组数据均以该组的组中值作为代表，估计样本的平均支出，并据此估计该校高一年级学生每周网购支出的总额。
答案：(1) 抽样比为 60÷1200 = 1/20，故男生抽取 720 × 1/20 = 36（人），女生抽取 480 × 1/20 = 24（人）。
(2) (i) 各组组距均为 50。[100,150) 这一组的频率为 0.30，故纵坐标 = 频率 ÷ 组距 = 0.30 ÷ 50 = 0.006。
(ii) 各组组中值依次为 25, 75, 125, 175, 225，样本平均支出为
x̄ = 25×0.15 + 75×0.25 + 125×0.30 + 175×0.20 + 225×0.10
= 3.75 + 18.75 + 37.5 + 35 + 22.5 = 117.5（元）。
故估计高一年级学生每周网购支出总额为 117.5 × 1200 = 141000（元）。
解析：本题考查分层抽样与频率分布直方图的综合应用。
(1) 分层抽样的关键是“按比例抽取”，抽样比 = 样本容量 ÷ 总体容量 = 60÷1200 = 1/20，再分别乘各层人数。易错点：误用男女比例 720:480 直接分配而忘记按总体抽样比计算。
(2) (i) 频率分布直方图的纵轴是“频率 ÷ 组距”，不是频率本身，故应为 0.30÷50 = 0.006。易错点：直接填 0.30，把纵轴当成频率。
(ii) 用组中值加权平均估计平均数：x̄ = Σ(组中值 × 频率)。易错点：①误用组中值×频数而不除以总数；②漏掉某一组；③估计总额时误用样本容量 60 而非总体 1200。
所有小矩形面积之和 = 各组频率之和 = 0.15+0.25+0.30+0.20+0.10 = 1，可作验算。
7解答题
某超市开展“满额抽奖”促销活动，规则如下：顾客当日消费每满 100 元即可获得一次抽奖机会（不足 100 元部分不计）。抽奖箱中有 6 个完全相同的小球，其中 3 个红球、2 个黄球、1 个蓝球，每次抽奖从箱中随机摸出 1 个球后放回。
(1) 某顾客当日消费 300 元，获得 3 次抽奖机会。求 3 次抽奖中恰好摸到 2 次红球的概率；
(2) 该超市对顾客的抽奖结果计分：摸到红球得 2 分，摸到黄球得 1 分，摸到蓝球得 0 分。某顾客获得 2 次抽奖机会，设其总得分为 X。
(i) 求随机变量 X 的分布列；
(ii) 求 X 的数学期望 E(X)，并说明该顾客两次抽奖平均可得多少分。
答案：(1) 每次摸到红球的概率 p = 3/6 = 1/2，摸不到红球的概率为 1/2。由于是有放回抽取，各次相互独立，故 3 次中恰好 2 次摸到红球的概率为
P = C(3,2) × (1/2)² × (1/2)¹ = 3 × 1/8 = 3/8。
(2) 单次抽奖：P(红) = 3/6 = 1/2，P(黄) = 2/6 = 1/3，P(蓝) = 1/6；对应得分 2, 1, 0。
(i) X 的可能取值为 0, 1, 2, 3, 4。
X = 0：两次都得 0 分（蓝、蓝），P(X=0) = 1/6 × 1/6 = 1/36；
X = 1：一次 1 分（黄）一次 0 分（蓝），P(X=1) = 2 × (1/3 × 1/6) = 2/18 = 4/36；
X = 2：两次都得 1 分（黄、黄），或一次 2 分（红）一次 0 分（蓝），P(X=2) = (1/3)² + 2 × (1/2 × 1/6) = 1/9 + 1/6 = 5/18 = 10/36；
X = 3：一次 2 分（红）一次 1 分（黄），P(X=3) = 2 × (1/2 × 1/3) = 1/3 = 12/36；
X = 4：两次都得 2 分（红、红），P(X=4) = (1/2)² = 1/4 = 9/36。
分布列为：
X 0 1 2 3 4
- ---- ---- ----- ----- ----
P 1/36 4/36 10/36 12/36 9/36
（验证：1+4+10+12+9 = 36，概率之和为 1。）
(ii) E(X) = 0×1/36 + 1×4/36 + 2×10/36 + 3×12/36 + 4×9/36
= (0 + 4 + 20 + 36 + 36)/36 = 96/36 = 8/3。
故该顾客两次抽奖平均可得 8/3 分（约 2.67 分）。
解析：本题考查古典概型（有放回抽取的有序计数）与离散型随机变量的分布列、数学期望。
(1) “有放回”意味着每次摸球相互独立，是有序问题，应按乘法原理与二项分布计数 C(3,2)(1/2)²(1/2)。易错点：①误用无放回的组合数 C(6,…) 或超几何分布；②忘记乘组合数 C(3,2)，只算一种顺序。
(2) 关键是把得分规则转化为概率：红 2 分（概率 1/2）、黄 1 分（概率 1/3）、蓝 0 分（概率 1/6）。
(i) X 的取值由两次得分相加得到，0,1,2,3,4 各值的构成方式要分清：X=2 有两种情形（黄黄、红蓝）容易漏掉一种；X=1、X=3 属于“一黄一蓝”“一红一黄”的有序组合，要乘 2。易错点：漏算或重算某种情形，导致概率和不等于 1，应养成验算 ΣP = 1 的习惯。
(ii) 期望按定义 E(X) = ΣxᵢPᵢ 计算。易错点：①直接把可能取值平均 (0+1+2+3+4)/5 = 2，这是错误做法，期望是按概率加权的平均；②计算时分数通分出错。也可用期望的可加性 E(X) = 2×E(单次得分) = 2 × (2×1/2 + 1×1/3 + 0×1/6) = 2 × 4/3 = 8/3 验证。
8解答题
某社区为了解居民每月线上支付次数，从该社区抽取了一个容量为50的样本，数据整理如下：
已知信息：样本中居民每月线上支付次数分成5组，各组组中值分别为4、8、12、16、20次，对应各组的频率分别为0.08、0.24、0.36、0.20、0.12。
（1）求样本中居民每月线上支付次数的平均数；
（2）若另一社区同样抽取容量为50的样本，其居民每月线上支付次数的平均数与（1）相同，但方差为16。请结合平均数与方差的意义，比较两个社区居民每月线上支付次数的集中趋势与波动大小。
（3）若该社区共有2000户居民，估计每月线上支付次数不少于12次的居民户数。
答案：（1）平均数 x̄ = 4×0.08 + 8×0.24 + 12×0.36 + 16×0.20 + 20×0.12
= 0.32 + 1.92 + 4.32 + 3.20 + 2.40 = 12.16（次）。
（2）先求本社区样本的方差：
s² = (4−12.16)²×0.08 + (8−12.16)²×0.24 + (12−12.16)²×0.36 + (16−12.16)²×0.20 + (20−12.16)²×0.12
= 66.5856×0.08 + 17.3056×0.24 + 0.0256×0.36 + 14.7456×0.20 + 61.4656×0.12
= 5.326848 + 4.153344 + 0.009216 + 2.94912 + 7.375872 ≈ 19.81。
因为两社区平均数相同（均为12.16次），说明两社区居民每月线上支付次数的集中趋势相同；又本社区方差约19.81 > 16，故本社区数据波动更大、更分散，另一社区数据更集中、更稳定。
（3）每月线上支付次数不少于12次的频率为 0.36 + 0.20 + 0.12 = 0.68，
估计户数为 2000 × 0.68 = 1360（户）。
解析：（1）用频率加权求平均数，公式为 x̄ = Σ(组中值×频率)，注意各组频率之和为1，可作验算：0.08+0.24+0.36+0.20+0.12=1。易错点是用组中值直接除以5求平均，忽略了频率权重。
（2）方差公式为各数据与平均数之差的平方的平均，用频率加权即 s² = Σ(组中值−x̄)²×频率。易错点：一是忘记「除以数据个数」（加权形式即乘以频率而非直接求和）；二是只比较数值大小而不结合平均数、方差的实际意义表述。平均数反映集中趋势，方差反映离散程度，方差越小数据越集中、波动越小。
（3）由频率分布估计总体，先求对应频率之和再乘以总体容量，易错点是漏掉「不少于12次」所包含的12次所在组（12次属于[10,14)组，组中值12），导致频率漏加。