1选择题
《天工开物》中记载的弓弩射击过程可简化为如下物理模型：一根弓弦被拉伸后释放，将箭沿水平方向射出。关于其中的力学与运动学问题，下列说法正确的是（ ）
- A. 弓弦被拉开时，弦对箭的弹力大小与弦的伸长量成正比，方向沿弦指向弦收缩的方向
- B. 弓弦被拉开后保持静止时，弦的伸长量越大，弦对箭的弹力一定越大，故箭受到的静摩擦力也一定越大
- C. 箭被射出后在空中飞行时，若忽略空气阻力，箭在水平方向做匀速直线运动，在竖直方向做自由落体运动，其加速度恒为 g，方向竖直向下
- D. 箭射入竖直木桩后在木桩中滑行直至停止的过程中，木桩对箭的滑动摩擦力方向与箭的运动方向相同
答案：C
解析：A 选项：胡克定律 F = kx 只在弹性限度内、且是对弹簧/弹性体而言，弹力方向应沿弦指向恢复原状的方向（即指向弦收缩、恢复原长的方向）。表述看似正确，但「与伸长量成正比」的前提是形变在弹性限度内，题干未给出该前提；严格来说 A 表述不严谨，是易错干扰项。更重要的是，本题中箭在弦上并未被弦「沿弦收缩方向」直接作用于箭尾的表述存在歧义，命题意在考查胡克定律适用条件，故不选。
B 选项：混淆静摩擦力与滑动摩擦力。静摩擦力是被动力，大小由平衡条件决定，与正压力无直接关系；只有滑动摩擦力才满足 f = μN。故 B 错误。
C 选项：箭被射出后忽略空气阻力，只受重力，加速度恒为 g，方向竖直向下；水平方向不受力，做匀速直线运动，竖直方向初速度为零（水平射出），做自由落体运动。这是平抛运动的分解，表述正确。
D 选项：滑动摩擦力总是阻碍物体间的相对运动，方向应与箭相对木桩的运动方向相反，而不是相同。故 D 错误。
易错点：① 把静摩擦力误套 f = μN；② 摩擦力方向与运动方向混淆（应与「相对运动」方向相反）；③ 平抛运动分解时忽略加速度方向。
故选 C。
2选择题
我国古代工匠用「吊斗」从高处运送物料。如某次仿古实验，用两块竖直且平行的木板夹住一块质量 m = 4 kg 的方形木料（可视为质点），木料在两板之间保持静止。已知木料与每块木板之间的动摩擦因数均为 μ = 0.25，每块木板对木料的正压力大小均为 N = 100 N，重力加速度 g 取 10 m/s²。下列说法正确的是（ ）
- A. 木料受到的摩擦力合力大小为 20 N，方向竖直向上
- B. 木料受到的摩擦力合力大小为 40 N，方向竖直向上
- C. 每块木板对木料的摩擦力为滑动摩擦力，大小为 25 N，方向竖直向上
- D. 若增大两板间的压力，木料受到的摩擦力合力一定增大
答案：B
解析：木料静止，处于平衡状态，受力分析：
重力 G = mg = 4 × 10 = 40 N，方向竖直向下。
两块木板对木料各有一个水平方向的弹力（正压力）N = 100 N，方向相反，水平方向合力为零。
竖直方向：木料有向下运动趋势，故两块木板对木料的静摩擦力均竖直向上。设每块木板的摩擦力为 f，则由平衡条件：
2f = G = 40 N，故 f = 20 N，摩擦力合力大小为 40 N，方向竖直向上。
选项分析：
A. 摩擦力合力大小为 2f = 40 N，而非 20 N，A 错误。
（注：若题目问「每块木板的摩擦力」，则为 20 N。）
B. 摩擦力合力 = 2f = 40 N，方向竖直向上，正确。
C. 木料静止，木板对木料的摩擦力是静摩擦力，不是滑动摩擦力；μN = 0.25 × 100 = 25 N 是最大静摩擦力的近似值，实际静摩擦力只有 20 N，C 错误。
D. 增大压力，最大静摩擦力增大，但木料仍静止，静摩擦力仍等于重力的一半（20 N），合力仍为 40 N，不会增大，D 错误。
易错点：
① 把静摩擦力误算为滑动摩擦力 μN = 25 N，忽略静摩擦力由平衡条件决定，与正压力无关（只要不滑动）。
② 忘记有两块木板，只算一侧摩擦力，得出 20 N。
③ 认为增大压力就增大摩擦力，混淆「最大静摩擦力」与「实际静摩擦力」。
故选 B。
3选择题
古代工匠用辘轳从井中提水：一根轻绳一端系住水桶，另一端绕在水平轴上，绳竖直向下穿过井口的定滑轮。某次提水过程中，桶和水的总质量 m = 12 kg，绳中的拉力 F = 150 N，取 g = 10 m/s²，忽略绳与滑轮间的摩擦，桶在竖直方向上运动。下列说法正确的是（ ）
- A. 桶受到的合力大小为 30 N，方向竖直向上
- B. 桶受到的合力大小为 120 N，方向竖直向上
- C. 桶一定向上做匀速运动
- D. 桶的加速度大小为 2.5 m/s²，方向竖直向下
答案：A
解析：对水桶做受力分析（隔离法）：
① 重力 G = mg = 12 × 10 = 120 N，方向竖直向下；
② 绳的拉力 F = 150 N，方向竖直向上；
（忽略摩擦，桶不再受其他力。）
取竖直向上为正方向，合力 F合 = F − G = 150 − 120 = 30 N，方向竖直向上。
由牛顿第二定律 a = F合 ÷ m = 30 ÷ 12 = 2.5 m/s²，方向竖直向上。
因此：A 正确；B 选项把合力误当作拉力大小，错误；C 选项合力不为零，不可能匀速，且加速度方向向上时桶可能向上加速或向下减速，运动状态不能唯一确定，错误；D 选项加速度大小 2.5 m/s² 计算正确，但方向应为竖直向上而非向下，方向判断错误，故错误。
易错点：①漏掉重力或多加一个「上升力」；②把合力与拉力、重力混淆；③只算加速度大小而忽略方向（矢量性）。牛顿第二定律 F合 = ma 是矢量式，方向必须与合力方向一致。
故选A。
4解答题
我国古代有一种叫「桔槔」的汲水装置：一根轻杆可绕中点的支点 O 转动，杆的一端挂重物，另一端通过绳子悬挂水桶。为研究其平衡原理，现将其简化为如下力学模型并分步设问。
(1) 一个质量 m = 2 kg 的木桶用一根竖直轻绳悬挂在空中保持静止。取 g = 10 m/s²，求轻绳对木桶的拉力大小，并指出该拉力与木桶所受重力的关系属于什么性质的相互作用。
(2) 现用一根劲度系数 k = 200 N/m 的轻质弹簧代替上述轻绳竖直悬挂同一木桶，静止时弹簧伸长量 x = 0.10 m。求此时弹簧对木桶的弹力大小，并据此求木桶的质量（g = 10 m/s²）。
(3) 将该木桶放在水平地面上，用水平力 F = 12 N 推它，木桶仍保持静止。已知木桶与地面间的动摩擦因数 μ = 0.40，木桶对地面的压力大小 N = 20 N。求：
① 此时木桶受到的摩擦力大小和方向；
② 若改用水平力 F′ = 25 N 推木桶，木桶沿地面滑动，求滑动摩擦力的大小，并说明该摩擦力的方向与木桶相对地面运动方向的关系。
要求：写出每个研究对象的受力分析过程（按重力、弹力、摩擦力的顺序逐一分析），并说明每一步所依据的物理规律。
答案：(1) 以木桶为研究对象，木桶静止，受力分析：①重力 G = mg = 2 × 10 N = 20 N，方向竖直向下；②轻绳的拉力 T，方向竖直向上。由二力平衡得 T = G = 20 N。拉力是绳发生微小形变后对木桶产生的弹力，与木桶受到的重力是一对平衡力（不是相互作用力；相互作用力是木桶对绳的拉力与绳对木桶的拉力）。
(2) 弹簧静止悬挂木桶，木桶受重力 mg 与弹簧弹力 F弹 二力平衡。由胡克定律 F弹 = kx = 200 × 0.10 N = 20 N，方向竖直向上。由平衡条件 F弹 = mg 得 m = F弹/g = 20/10 = 2.0 kg。
(3) ① 木桶受力：重力 G 竖直向下，地面支持力 N′ 竖直向上（N′ = N = 20 N），推力 F 水平向右，静摩擦力 f。木桶静止，水平方向平衡，故 f = F = 12 N，方向水平向左（与推力方向相反，阻碍木桶相对地面的运动趋势）。注意：此处 f = 12 N 由平衡条件决定，不能用 f = μN 计算（μN = 0.40 × 20 N = 8 N 是滑动摩擦力，且 12 N < 8 N 的说法不成立，说明本情形中木桶尚未达到最大静摩擦力，实际数据中最大静摩擦力大于等于 12 N）。
② 木桶滑动时受滑动摩擦力 f′ = μN = 0.40 × 20 N = 8 N，方向水平向左，与木桶相对地面运动的方向（水平向右）相反，即滑动摩擦力总是阻碍物体间的相对运动。
解析：本题按「重力—弹力—摩擦力」顺序训练受力分析，并区分三种力的决定因素。
(1) 易错点：把「绳对桶的拉力」与「桶受到的重力」说成一对相互作用力。二者是同一物体（木桶）受到的两个力，是一对平衡力；相互作用力必须作用在两个不同物体上。
(2) 易错点：胡克定律中 x 是形变量（伸长量），不是弹簧长度；代入时单位要统一，x = 0.10 m 对应 20 N，不是 200 × 0.1 = 20 kN。
(3) 易错点：① 误用 f = μN 求静摩擦力。静摩擦力是被动力，大小由平衡条件决定，只有滑动摩擦力才用 f = μN；② 摩擦力方向判错。静摩擦力与「相对运动趋势」方向相反，滑动摩擦力与「相对运动」方向相反，本题中木桶有向右运动趋势/向右滑动，故摩擦力均水平向左，而不是与推力同向。
计算结果：(1) 20 N；(2) 20 N，2.0 kg；(3) ① 12 N，水平向左；② 8 N，与相对运动方向相反。
5解答题
我国古代水利工程中常用绞车牵引巨石上坡。某次复原试验中，工人用与斜面平行的绳索沿倾角θ=30°的斜面向上拉动一块质量m=100kg的石料，使其从静止开始沿斜面做匀加速直线运动。已知绳索拉力F=800N，石料与斜面间的动摩擦因数μ=0.2，石料与斜面间的正压力由其重力垂直斜面的分力提供，取g=10m/s²，sin30°=0.5，cos30°=0.866（保留三位有效数字）。求：
（1）石料所受滑动摩擦力的大小；
（2）石料沿斜面加速上滑的加速度大小；
（3）石料由静止开始经过t=2.0s时的速度大小，以及这2.0s内沿斜面上滑的位移大小。
答案：（1）受力分析：石料受重力G=mg、斜面支持力N、绳索拉力F和滑动摩擦力f。沿斜面方向建立x轴（沿斜面向上为正），垂直斜面方向建立y轴。
重力分解：Gx=mg·sin30°=100×10×0.5=500N（沿斜面向下），Gy=mg·cos30°=100×10×0.866=866N（垂直斜面向下）。
垂直斜面方向合力为零：N=Gy=866N。
滑动摩擦力：f=μN=0.2×866=173N（方向沿斜面向下，阻碍石料相对斜面向上运动）。
（2）沿斜面方向由牛顿第二定律：F−mg·sin30°−f=ma
代入数据：800−500−173=100a，即127=100a，得a=1.27m/s²。
（3）由匀变速直线运动规律：v=at=1.27×2.0=2.54m/s（保留三位有效数字约2.54m/s）。
x=½at²=½×1.27×2.0²=2.54m。
答：（1）滑动摩擦力大小为173N；（2）加速度大小为1.27m/s²；（3）2.0s末速度大小为2.54m/s，位移大小为2.54m。
解析：本题以古代水利绞车牵引石料为情境，考查牛顿第二定律的正交分解应用与滑动摩擦力计算，属基础—中档过渡题。
（1）关键步骤：先隔离石料，按重力、弹力、摩擦力的顺序受力分析，再沿斜面和垂直斜面建系分解重力。支持力N=mg·cosθ，而不是mg，这是最常见的错误。
（2）摩擦力方向必须沿斜面向下（阻碍石料相对斜面向上滑动），若误判方向会导致加速度算成F+…−…，结果错误。
（3）列牛顿第二定律方程时，三个沿斜面的力都要带入，漏掉任一项都会出错；求位移用x=½at²（初速度为零），不要误用x=vt。
（4）运算注意单位统一与有效数字。易错点：①把N写成mg；②摩擦力方向判反；③漏掉重力沿斜面的分力mg·sinθ；④把2.0s末速度与平均速度混淆。
6解答题
古代工匠常利用绳索与悬吊装置搬运重物。某次复原试验中，一根轻绳上端固定，下端悬挂一个质量m=20kg的木箱，木箱静止时绳的伸长量x₁=4.0cm；随后用水平风力缓慢推动木箱，使绳偏离竖直方向一个小角度后再次静止，此时绳的伸长量变为x₂=5.0cm。已知绳满足胡克定律F=kx，k为劲度系数，x为伸长量，取g=10m/s²。求：
（1）绳的劲度系数k；
（2）木箱静止悬吊时绳的拉力大小，并说明此时木箱所受重力与绳拉力的关系；
（3）绳伸长量为x₂=5.0cm时绳的拉力大小，以及水平风力的大小（结果保留两位有效数字，可用近似关系：此时绳与竖直方向夹角很小，绳拉力的竖直分力近似等于绳拉力本身）。
答案：（1）木箱静止悬吊时，受力为重力G=mg和绳的拉力T₁，二力平衡，故T₁=mg=20×10=200N。
由胡克定律T₁=k·x₁，得k=T₁/x₁=200÷0.040=5.0×10³N/m。
（2）绳的拉力大小为200N；此时木箱受重力与绳拉力两个力，二者大小相等、方向相反、作用在同一直线上，是一对平衡力（不是作用力与反作用力）。
（3）绳伸长量为x₂=5.0cm=0.050m时，绳的拉力T₂=k·x₂=5.0×10³×0.050=250N。
木箱再次静止时受三个力：重力G=200N（竖直向下）、水平风力F风（水平）、绳拉力T₂（沿绳方向）。竖直方向平衡：T₂·cosθ=mg=200N；水平方向平衡：F风=T₂·sinθ。
由T₂=250N，得cosθ=200/250=0.8，sinθ=0.6，故F风=250×0.6=150N。
（若按题给近似条件「绳拉力竖直分力近似等于绳拉力」处理，则T₂≈250N仍由胡克定律给出，水平风力可由勾股关系估算：F风=√(T₂²−mg²)=√(250²−200²)=√(62500−40000)=√22500=150N，结果一致。）
答：（1）k=5.0×10³N/m；（2）拉力为200N，与重力是一对平衡力；（3）拉力为250N，水平风力约为150N。
解析：本题以古代悬吊搬运装置为情境，综合考查胡克定律、受力分析与共点力平衡，属中档偏综合题，突出推理与运算步骤的完整性。
（1）劲度系数k的求法是关键：必须先由平衡条件得到绳拉力T₁=mg=200N，再用k=T₁/x₁。易错点：直接用k=mg/x₂（用错伸长量）；或者把x₁=4.0cm当成0.4m，单位换算出错。
（2）胡克定律中x是形变量（伸长量），不是绳长，也不是位移，这是概念易错点。
（3）绳拉力变大是因为伸长量变大，由kx₂=250N，而木箱重力仍是200N，多出的部分由水平风力平衡；若误以为绳拉力仍等于重力，就会得出风力为零的错误结论。
（4）三力平衡时用勾股关系或正交分解：T₂²=mg²+F风²，解得F风=150N。易错：①把平衡力误认为作用力与反作用力；②忽略水平风力而认为绳竖直；③三角函数或勾股运算出错；④有效数字处理不当。
7解答题
我国古代水利工程中常用绞盘提升重物。某次仿古实验中，工作人员用一根轻绳通过定滑轮将一质量为 M = 30 kg 的石块从深井中匀速提升，石块完全浸没在水中时，井水对石块的浮力大小为 F浮 = 100 N。已知石块与井壁之间存在摩擦，动摩擦因数 μ = 0.2，井壁竖直，石块在提升过程中始终与井壁接触且正压力大小恒为 N = 50 N，重力加速度 g 取 10 m/s²。
（1）求石块匀速上升时绳子拉力 T 的大小；
（2）若石块出水后继续匀速上升，此时浮力消失，求绳子拉力 T′ 的大小；
（3）若石块出水后，绳子拉力保持为 T′ 不变，求石块的加速度大小和方向。
答案：（1）石块匀速上升，处于平衡状态。受力分析：重力 Mg = 30 × 10 = 300 N，方向竖直向下；浮力 F浮 = 100 N，方向竖直向上；绳子拉力 T，方向竖直向上；井壁对石块的滑动摩擦力 f = μN = 0.2 × 50 = 10 N，方向竖直向下（阻碍石块相对井壁向上运动）。
由平衡条件：T + F浮 = Mg + f
T = Mg + f − F浮 = 300 + 10 − 100 = 210 N。
（2）石块出水后匀速上升，浮力消失，其余受力不变。
T′ = Mg + f = 300 + 10 = 310 N。
（3）拉力保持 T′ = 310 N，浮力为零，石块受重力 Mg = 300 N（向下）、拉力 T′ = 310 N（向上）、摩擦力 f = 10 N（向下）。
由牛顿第二定律：T′ − Mg − f = Ma
310 − 300 − 10 = 30a
0 = 30a，故 a = 0。
即石块仍做匀速直线运动，加速度为 0。（若拉力大于 310 N，石块才会有向上的加速度。）
解析：本题考查受力分析（重力、浮力、弹力、摩擦力）、滑动摩擦力 f = μN、共点力平衡条件及牛顿第二定律的综合应用。
受力分析要点：按重力、弹力、摩擦力顺序逐一分析，不重不漏。石块向上运动，滑动摩擦力方向向下（阻碍相对运动），这是易错点之一。
易错点：
① 摩擦力方向判错：误以为摩擦力向上「帮助」提升，实际摩擦力总是阻碍相对运动，石块相对井壁向上运动，故摩擦力向下。
② 漏掉浮力或浮力方向判错：浮力方向竖直向上，与重力方向相反。
③ 第（3）问常见错误：以为拉力大于重力就一定加速，忽略了摩擦力也向下；正确计算 T′ − Mg − f = 0，加速度为零。
④ 计算错误：忘记将质量换算为重力 Mg = 300 N，或将 μN 算成 μMg。
8解答题
我国古代有一种起重装置——桔槔：在井边竖立一根支架，支架上横架一根轻杆，杆的左端悬挂配重石块，右端通过轻绳连接水桶。为便于计算，将装置简化如下：轻杆水平，可绕支架上的支点 O 转动；杆的左端 A 悬挂质量 m₁ = 20 kg 的配重石块，右端 B 通过轻绳竖直向下拉住质量 m₂ = 8 kg 的空水桶。已知 OA = 1.0 m，OB = 2.5 m，取 g = 10 m/s²，不计杆与绳的质量，装置静止。
（1）求轻绳对水桶的拉力大小，以及水桶受到的合力大小；
（2）若水桶缓慢匀速汲水，桶和水的总质量随时间均匀增加，当桶和水的总质量增至 m₃ = 18 kg 时，求此时轻绳拉力的大小，并判断该装置能否继续保持杆水平静止；若不能，请通过计算说明杆将向哪一侧转动；
（3）把水桶单独放在水平地面上，桶底与地面间的动摩擦因数 μ = 0.25。现用一根与水平方向成 37° 角斜向上的轻绳沿水平地面匀速拉动水桶，已知桶和水的总质量仍为 18 kg，sin 37° = 0.6，cos 37° = 0.8。求拉力大小和桶受到的滑动摩擦力大小。（提示：先隔离水桶，按重力、弹力、摩擦力的顺序做受力分析）
答案：（1）水桶静止，受重力 G₂ = m₂g = 8 × 10 = 80 N（竖直向下）和轻绳拉力 T（竖直向上），由平衡条件得 T = G₂ = 80 N；水桶所受合力 F合 = 0。
（2）桶和水总质量 m₃ = 18 kg 时，绳的拉力 T′ = m₃g = 18 × 10 = 180 N。
以支点 O 为转轴，规定使杆逆时针转动（A 端下沉）的力矩为正：
A 端力矩 M_A = m₁g × OA = 20 × 10 × 1.0 = 200 N·m；
B 端力矩 M_B = −T′ × OB = −180 × 2.5 = −450 N·m；
合力矩 M = 200 − 450 = −250 N·m ≠ 0，故杆不能保持水平静止。
因 |M_B| > |M_A|，杆将顺时针转动，即 B 端（水桶一端）下沉、A 端（配重一端）上翘。
（3）隔离水桶，受力：重力 G = m₃g = 180 N（竖直向下）、地面支持力 N（竖直向上）、绳的拉力 F（与水平成 37° 斜向上）、滑动摩擦力 f（水平，与运动方向相反）。
水平方向：F cos 37° = f；
竖直方向：N + F sin 37° = mg，故 N = mg − F sin 37°；
又 f = μN = μ(mg − F sin 37°)。
联立：F cos 37° = μ(mg − F sin 37°)，即 0.8F = 0.25 × (180 − 0.6F)，
0.8F = 45 − 0.15F，0.95F = 45，解得 F = 45 ÷ 0.95 ≈ 47.4 N。
f = F cos 37° = 0.8 × 47.4 ≈ 37.9 N。
（也可由 f = μN，N = 180 − 0.6 × 47.4 ≈ 151.6 N，f = 0.25 × 151.6 ≈ 37.9 N，结果一致。）
解析：本题以古代桔槔为情境，综合考查受力分析、共点力平衡、力矩平衡与滑动摩擦力计算。
（1）易错点：误认为静止物体受合力不为零，或把绳的拉力与桶的重力重复计入；注意静止时合力为零。
（2）易错点：只比较力的大小而不比较力矩（力 × 力臂），或忘记 OB = 2.5 m 是力臂；判断转向时须按力矩大小比较，不能只看力的大小。
（3）易错点：①直接用 f = μmg，忽略斜向上拉力使支持力减小（N < mg），导致摩擦力偏大；②漏掉拉力的竖直分量 F sin 37°；③把摩擦力方向判错——滑动摩擦力总是阻碍相对运动，方向与运动方向相反，与拉力方向无关。
受力分析必须按重力、弹力、摩擦力的顺序逐一进行，做到不重不漏。