1选择题
某湿地公园修建了一段半径 R＝40 m 的凸形（拱形）生态观景桥，桥面最高点为圆弧的最高点。一辆质量 m＝1000 kg 的电动观光车以速率 v 通过桥顶，g 取 10 m/s²，忽略空气阻力。关于车通过桥顶时的受力与运动情况，下列说法正确的是（ ）
- A. 车在桥顶时，桥对车的支持力大于车的重力，二者的合力提供向心力
- B. 车在桥顶时，重力与支持力的合力提供向心力，方向竖直向下指向圆心；若 v＝20 m/s，则桥对车的支持力为 2000 N
- C. 车在桥顶时，向心力是重力与支持力之外的一个额外的力，方向竖直向上
- D. 要使车通过桥顶时对桥面的压力恰好为零，车速至少应为 20 m/s
答案：D
解析：在凸形桥最高点，圆心在车的正下方，故向心加速度方向竖直向下。沿半径方向由牛顿第二定律：mg－N＝mv²/R，故 N＝mg－mv²/R，合力 mg－N＝mv²/R 提供向心力，方向指向圆心（竖直向下）。
A 错误：由 N＝mg－mv²/R＜mg，桥对车的支持力小于重力，且「二者的合力」即为向心力，说支持力大于重力错误。
B 正确：重力与支持力的合力提供向心力，方向竖直向下；代入 v＝20 m/s，N＝mg－mv²/R＝1000×10－1000×400/40＝10000－10000＝0……此处需注意：
实际计算 mv²/R＝1000×20²/40＝1000×400/40＝10000 N，故 N＝10000－10000＝0 N，与选项所述 2000 N 不符。
现给出自洽结论：取 v＝20 m/s 时 N＝0，故选项 B 的数值表述错误，正确选项应为 D。
D 正确：令 N＝0，mg＝mv²/R，得 v＝√(gR)＝√(10×40)＝20 m/s，即车速至少为 20 m/s 时对桥面压力恰好为零。
C 错误：向心力是按效果命名的力，由重力与支持力的合力充当，并非额外的力，方向竖直向下而非向上。
综上，故选 D。
2选择题
为治理湖泊水体富营养化，某环保部门用无人机在湖面上空做匀速圆周运动巡查藻类聚集区。已知信息：无人机做半径为 r 的匀速圆周运动，线速度大小为 v，质量为 m。下列关于该无人机运动的说法，正确的是：
- A. 无人机的线速度方向沿圆周的半径指向圆心
- B. 向心加速度 a = v²/r，方向始终指向圆心，它只改变速度的方向，不改变速度的大小
- C. 向心力 F = m v²/r 是无人机除重力、空气作用力之外新受到的一个力
- D. 若无人机的线速度 v 增大而半径 r 不变，则向心加速度 a 反而减小
答案：B
解析：本题考查圆周运动基本概念的辨析。
A 错误：匀速圆周运动中线速度的方向沿圆周的切线方向，而不是沿半径指向圆心，只有向心加速度和向心力才指向圆心。
B 正确：向心加速度 a = v²/r = ω²r，方向始终指向圆心；因其与速度方向垂直，只改变速度方向而不改变速度大小，故速率不变。
C 错误：向心力不是一种新的性质力，而是由物体实际受到的力（重力、空气作用力等）沿半径方向的合力充当的，把向心力当成额外施加的力是典型易错点。
D 错误：由 a = v²/r 可知，r 不变时 v 增大，a 应增大，此处考查公式中比例关系的正确运用。
故选B。
3选择题
湿地公园为净化水质，在一处圆形水塘边安装了一台水车式增氧机。已知信息：增氧机的叶片尖端随水车做匀速圆周运动，圆周半径 r = 2.0 m，叶片尖端的线速度大小 v = 4.0 m/s。下列关于叶片尖端运动的说法，正确的是
- A. 叶片尖端的向心加速度大小为 2 m/s²，方向沿圆周切线方向
- B. 叶片尖端的向心加速度大小为 8 m/s²，方向始终指向圆心，它只改变速度的方向而不改变速度的大小
- C. 叶片尖端所受合力为零，因为水车做匀速圆周运动时速度大小不变
- D. 叶片尖端的向心加速度方向始终指向圆周外侧，即背离圆心方向
答案：B
解析：由向心加速度公式 a = v²/r 得 a = 4.0²/2.0 = 8 m/s²，方向始终指向圆心（沿半径指向圆心，而非沿切线方向）。向心加速度只改变速度方向、不改变速度大小，故 B 正确。A 项把 a 算成 2 m/s²（误用 a = v/… 或 r/v 之类错误算法），且方向误为切线方向；C 项混淆「匀速」与「平衡」：匀速圆周运动速度大小虽不变，但速度方向时刻改变，必有指向圆心的合力（向心力），合力不为零；D 项向心加速度方向应指向圆心而非背离圆心，方向搞反是典型易错点。故选B。
4填空题
在湿地生态修复工程中，工作人员用一根不可伸长的轻绳系住一只质量 m = 0.5 kg 的水质监测小球，使其在竖直平面内做圆周运动（绳长即轨道半径 r = 0.4 m），重力加速度 g = 10 m/s²。不计空气阻力。请填空：
（1）小球运动到圆周最高点时，为使绳恰好不松弛，小球在最高点的最小速度 v_min = ______ m/s；
（2）当小球以 v = 6 m/s 经过圆周最低点时，绳对小球的拉力 F = ______ N；
（3）小球在竖直平面内做圆周运动的过程中，其向心力的方向始终 ______（填「指向圆心」「沿切线方向」或「竖直向下」）；
（4）关于小球在最高点的受力，下列说法正确的是 ______（填选项字母）：
A. 小球在最高点一定只受重力
B. 小球在最高点速度为零时也能做圆周运动
C. 小球在最高点的最小速度为 √(gr)，此时绳的拉力恰好为零
D. 向心力是小球受到的一个新的性质力
答案：（1）v_min = √(gr) = √(10 × 0.4) = √4 = 2 m/s。
（2）在最低点，由牛顿第二定律：F − mg = mv²/r，
F = mg + mv²/r = 0.5 × 10 + 0.5 × 6²/0.4 = 5 + 0.5 × 36/0.4 = 5 + 45 = 50 N。
（3）指向圆心。
（4）C。
解析：本题考查竖直平面内圆周运动的临界条件与向心力概念辨析。
（1）易错点：漏掉最高点的最小速度条件。绳模型在最高点的临界条件是绳的拉力 T = 0，此时重力恰好提供向心力：mg = mv²/r，得 v_min = √(gr) = 2 m/s。若记成 v_min = 0 或 √(2gr) 就错了。
（2）易错点：在最低点列式时把方向搞反，写成 F + mg = mv²/r。正确的是拉力向上、重力向下，合力指向圆心（向上），故 F − mg = mv²/r，得 F = 50 N。
（3）易错点：方向搞反，误填「沿切线方向」。向心加速度和向心力方向始终指向圆心，只有线速度方向才沿切线。
（4）辨析：A 错，速度大于最小速度时绳还有拉力，小球受重力和拉力两个力；B 错，速度为零无法维持圆周运动；C 对，正是绳模型临界条件；D 错，向心力是按效果命名的合力，不是新的性质力。故选 C。
5解答题
为保护湿地生态，某自然保护区在一条弧形观鸟栈道旁设置了一块提示牌。已知信息：该栈道可视为半径 R＝20 m 的水平圆弧的一部分；一名质量 m＝50 kg 的护林员骑质量 M＝20 kg 的电动巡逻车，以 v＝8 m/s 的速率沿该圆弧栈道匀速通过；巡逻车可视为质点，栈道水平，g 取 10 m/s²，忽略空气阻力。请回答：
(1) 说明巡逻车做圆周运动时线速度方向的特点，并写出线速度 v、角速度 ω 与半径 R 的关系；
(2) 求巡逻车和护林员整体做圆周运动的向心加速度大小，并说明其方向特点；
(3) 求栈道对巡逻车的作用力中沿半径方向（指向圆心）的分力大小，并说明该向心力由什么力提供；
(4) 有同学说：「巡逻车做匀速圆周运动时合力为零，因为速率不变。」请判断该说法是否正确，并简要说明理由。
答案：(1) 质点沿圆周运动就是圆周运动；线速度 v 的方向沿圆周的切线方向，时刻改变；三者关系为 v＝ωR（即 ω＝v/R）。
(2) 向心加速度 a＝v²/R＝8²/20＝3.2 m/s²；方向始终指向圆心，时刻改变，故向心加速度是变量。
(3) 整体质量 m总＝M＋m＝70 kg，向心力 F＝m总 a＝70×3.2＝224 N；方向指向圆心。在水平栈道上，重力与支持力在竖直方向平衡，故向心力由栈道对巡逻车的静摩擦力（沿半径指向圆心）提供。
(4) 不正确。匀速圆周运动中速率不变只说明速度大小不变，但速度方向时刻改变，物体具有向心加速度 a＝v²/R，故合力不为零，合力就是向心力，方向指向圆心，只改变速度方向而不改变速度大小。
解析：本题考查圆周运动基本概念、向心加速度与向心力的理解，属于基础题。
(1) 易错点：把线速度方向误认为沿半径指向圆心或沿运动方向为直线；应牢记线速度沿切线方向，v＝ωR。
(2) 易错点：误认为向心加速度恒定不变。实际上向心加速度大小 a＝v²/R＝ω²R 不变，但方向时刻指向圆心、不断改变，因此它是矢量且为变量。计算 a＝v²/R＝64/20＝3.2 m/s²，不要误写为 64/20＝32 或漏掉单位。
(3) 易错点：一是忘记把人与车视为整体，只用 20 kg 或 50 kg 计算；二是答成「向心力是某个额外的力」。向心力是按效果命名的力，本题中由静摩擦力提供；F＝mv²/r 中 m 为做圆周运动的整体质量，代入 70 kg 得 224 N。
(4) 易错点：把「匀速」误解为「受力平衡」。匀速圆周运动速度方向改变，必有向心加速度，合力指向圆心且不为零；向心力只改变速度方向，不改变速度大小。
6解答题
为保护陡峭山崖上的珍稀鸟类栖息地，工作人员在崖壁前竖直平面内架设了一条光滑圆形巡护轨道，轨道半径为 R。已知信息：轨道光滑（不计一切摩擦），重力加速度为 g，一质量为 m 的巡护小车（可视为质点）从轨道最低点以速度 v₀ 沿轨道内侧运动。
（1）若小车恰好能通过轨道最高点，求小车在最高点的速度大小 v；
（2）在第（1）问条件下，求小车在最低点的最小速度 v₀；
（3）若小车通过最高点时速度为 2v（v 为第（1）问所得结果），求此时轨道对小车的作用力大小，并说明其方向；
（4）简要说明：若轨道不光滑、存在摩擦阻力，第（2）问中由机械能守恒得出的 v₀ 结果是否仍然适用？为什么？
答案：（1）小车恰好通过最高点时，轨道对小车的作用力 N = 0，此时仅由重力提供向心力：
mg = m v²/R
解得 v = √(gR)。
（2）从最低点到最高点，轨道光滑，只有重力做功，机械能守恒。取最低点为重力势能零点，最高点比最低点高 2R：
½m v₀² = ½m v² + mg·2R
将 v² = gR 代入：
½m v₀² = ½m gR + 2mgR = ½m gR + 2mgR = (5/2)mgR
v₀² = 5gR
v₀ = √(5gR)。
即最低点的最小速度为 √(5gR)。
（3）最高点速度为 2v = 2√(gR)，设轨道对小车的作用力为 N，方向竖直向下（指向圆心），由牛顿第二定律：
mg + N = m(2v)²/R = m·4v²/R = m·4gR/R = 4mg
N = 3mg
即轨道对小车的作用力大小为 3mg，方向竖直向下（指向圆心）。
（4）不适用。机械能守恒的条件是只有重力（或系统内弹力）做功。若轨道存在摩擦阻力，摩擦力做负功，机械能减少，小车到达最高点时的动能比光滑情况小，因此在最低点必须提供更大的初速度才能恰好通过最高点，即实际所需 v₀ 大于 √(5gR)。此时应由动能定理列式：
½m v₀² = ½m gR + 2mgR + W_f（W_f 为克服摩擦力做的功，W_f > 0），
不能直接套用机械能守恒的结果。
解析：本题把竖直面内圆周运动的临界条件与机械能守恒结合，重点考查概念辨析。
（1）易错点一：误认为最高点速度为零或误认为最高点必受轨道弹力。
7解答题
为清理河道漂浮物，工作人员用一根长 L = 0.9 m 的轻绳，一端系住质量 m = 2.0 kg 的清理网兜（可视为质点），在竖直面内做圆周运动。已知信息：当地重力加速度 g 取 10 m/s²，绳始终伸直，忽略空气阻力。
（1）求网兜在圆周最高点的最小速度 vₘᵢₙ；
（2）若网兜以 v = 7 m/s 的速度经过最高点，求此时绳的拉力大小 T；
（3）有同学认为「网兜经过最高点时速度可以为零，只要手把绳子拉紧即可」。请判断该说法是否正确，并说明理由。
答案：（1）在最高点，重力 mg 与绳的拉力 T 都指向圆心（竖直向下），合力提供向心力：
mg + T = mv²/L。
绳恰好伸直而不松弛时 T = 0，此时速度最小：
mg = mvₘᵢₙ²/L，
故 vₘᵢₙ = √(gL) = √(10 × 0.9) = 3 m/s。
（2）当 v = 7 m/s 时：
mg + T = mv²/L，
T = mv²/L − mg = 2.0 × 7²/0.9 − 2.0 × 10 = 2.0 × 49/0.9 − 20 = 108.9 − 20 ≈ 88.9 N。
（3）该说法错误。在最高点，向心力由重力与绳的拉力共同提供（方向均指向圆心），即 mg + T = mv²/L。绳只能提供拉力、不能提供推力，故 T ≥ 0，从而 mv²/L ≥ mg，即 v ≥ √(gL) = 3 m/s。若 v = 0，则所需向心力为零，而重力 mg 已不为零，绳无法「顶住」网兜，网兜将在到达最高点前脱离圆周轨道（绳松弛），不能沿圆周通过最高点。
解析：本题考查竖直面圆周运动最高点的临界条件与向心力来源的辨析。（1）易错点是把最小速度误写为 √(2gL) 或 √(gL/2)，或漏掉「绳只能拉不能推」这一前提；正确结论是 vₘᵢₙ = √(gL) = 3 m/s。（2）易错点是列式时把重力与拉力方向搞反（写成 T − mg = mv²/L），从而得出 T = mv²/L + mg 的错误结果；在最高点重力与拉力同向指向圆心，应写 mg + T = mv²/L，得 T ≈ 88.9 N。（3）说理题的关键是抓住「绳模型」与「杆模型」的区别：绳的拉力只能沿绳向外（T ≥ 0），不能提供支持力，因此最高点速度不能为零，必须满足 v ≥ √(gL)。学生若套用「杆模型最高点速度可以为零」的结论，就会误判。
8解答题
为保护湿地生态，某自然保护区在一片圆形浅水湖面上设置了一处圆形观测浮台，浮台随湖水缓慢绕湖心做匀速圆周运动。已知信息：浮台做圆周运动的轨道半径 r = 20 m，运动周期 T = 40 s，浮台及设备总质量 m = 200 kg，重力加速度 g = 10 m/s²，π² 取 10。
（1）求浮台做圆周运动的线速度 v 的大小，并说明线速度的方向；
（2）求浮台做圆周运动的向心加速度 a 的大小，并指出其方向；
（3）求浮台所受向心力 F 的大小，并说明向心力的作用效果；
（4）某同学认为：「浮台做匀速圆周运动时，向心力是一个新的性质力，它使浮台的速度不断增大。」请判断该说法是否正确，并简要说明理由。
答案：（1）浮台做匀速圆周运动的线速度大小为
v = 2πr/T = (2 × 3.14 × 20)/40 ≈ 3.14 m/s（或 v = πr/10 ≈ 3.14 m/s）。
线速度方向沿圆周的切线方向。
（2）向心加速度大小为
a = v²/r = 4π²r/T² = (4 × 10 × 20)/(40²) = 800/1600 = 0.5 m/s²。
向心加速度方向始终指向圆心（即指向湖心）。
（3）向心力大小为
F = ma = 200 × 0.5 = 100 N。
向心力方向指向圆心，它只改变线速度的方向，不改变线速度的大小。
（4）该说法不正确。理由：向心力不是物体受到的新的性质力，而是按效果命名的力，本题中由湖水对浮台的作用力（沿半径指向圆心的合力）提供；且向心力始终与线速度方向垂直，只改变速度方向，不改变速度大小，因此浮台的速率保持不变。
解析：本题考查圆周运动的基本概念辨析：线速度与角速度关系 v = ωr、向心加速度 a = v²/r = ω²r、向心力 F = mv²/r，以及方向与作用效果的判断。
易错点一：方向搞错。线速度方向沿切线，向心加速度和向心力方向都指向圆心，三者方向不能混淆。
易错点二：把向心力当成一个独立的性质力（如重力、弹力那样的新力），实际上它是按效果命名的合力，由实际受力提供。
易错点三：误认为向心力做功、使速率增大。向心力始终与速度垂直，不做功，只改变速度方向。
计算上注意周期与线速度的关系 v = 2πr/T，以及 a = 4π²r/T² 的正确代入。