1选择题
某体育科技公司为马拉松运动员设计了一款智能运动手环，并用一颗近地轨道卫星为运动员提供定位服务。已知信息：该卫星绕地球做匀速圆周运动，轨道半径近似等于地球半径 R，地球表面重力加速度为 g，引力常量为 G，地球质量为 M。下列说法正确的是（ ）
- A. 卫星的线速度大小约为 7.9 km/s，这也是把卫星送入该轨道的最小发射速度
- B. 若卫星轨道半径增大为原来的 2 倍，其受到的万有引力变为原来的 2 倍
- C. 卫星绕地球运行的周期 T 与轨道半径 r 满足 T² ∝ r³，因此轨道半径越大，周期越小
- D. 第二宇宙速度约 11.2 km/s，是卫星绕地球做匀速圆周运动的最小发射速度
答案：A
解析：A：近地轨道卫星的环绕速度 v = √(GM/R) = √(gR) ≈ 7.9 km/s，即第一宇宙速度，它既是近地卫星的环绕速度，也是将物体送入近地轨道的最小发射速度，正确。
B：由 F = GMm/r²，引力与距离平方成反比，r 变为 2 倍时 F 变为原来的 1/4，而非 2 倍，错误（易错点：把"平方成反比"记成"成正比"或漏掉平方）。
C：由 GMm/r² = m(4π²/T²)r 得 T² = 4π²r³/(GM)，即 T² ∝ r³，r 越大周期 T 越大，而非越小，错误（易错点：只记比例关系不判断单调性）。
D：约 11.2 km/s 是第二宇宙速度，是脱离地球引力束缚的最小发射速度；绕地球做匀速圆周运动的最小发射速度是第一宇宙速度约 7.9 km/s，错误（易错点：两个宇宙速度数值与含义记混）。
故选A。
2选择题
为增强体质，某校开展"太空健身"科普活动，体育老师用如下数据讲解圆周运动与航天知识：我国空间站绕地球做匀速圆周运动的轨道半径约为地球半径的 1.07 倍，其运行周期约为 90 min；某同学在跑步机上跑步时，双脚每秒落地 3 次，跑步机履带轮半径为 0.10 m。已知地球半径 R≈6.4×10⁶ m。下列说法正确的是（ ）
- A. 空间站的线速度大于第一宇宙速度 7.9 km/s
- B. 空间站内处于完全失重状态的航天员不受地球引力作用
- C. 若空间站轨道半径增大，则其运行周期减小
- D. 空间站的向心加速度小于地面附近的重力加速度 g≈9.8 m/s²
答案：D
解析：本题考查万有引力提供向心力、第一宇宙速度、失重与向心加速度的比较。
A 项：由 GMm/r²=mv²/r 得 v=√(GM/r)，轨道半径 r 越大线速度越小。第一宇宙速度 7.9 km/s 对应 r=R（贴近地面），空间站 r=1.07R＞R，故 v＜7.9 km/s，A 错误。
B 项：完全失重是指航天员与空间站以相同加速度绕地球运动，相互间无挤压，并非不受地球引力；万有引力恰好充当其做圆周运动的向心力，B 错误。
C 项：由 GMm/r²=m(2π/T)²r 得 T=2π√(r³/GM)，r 增大则 T 增大，C 错误。
D 项：向心加速度 a=GM/r²，地面 g=GM/R²，因 r=1.07R＞R，故 a=g/(1.07²)≈0.87g＜g，D 正确。
易错点：把"完全失重"误认为"引力消失"；把第一宇宙速度当作"绕较高轨道运行的速度"而误选 A；误用 a=v²/r 时只看 v 不看 r。故选 D。
3选择题
为倡导健康生活方式，某体育科普栏目介绍了「太空跑步机」的原理，并给出以下三则材料：
【材料一】在地面跑步时，人蹬地获得向前的推力；在绕地球做匀速圆周运动的空间站内跑步，人和跑步机一起随空间站运动，处于「完全失重」状态。
【材料二】某空间站轨道半径 r₁=6.8×10⁶m，运行周期 T₁=90min；另一颗地球同步卫星轨道半径 r₂=4.2×10⁷m。
【材料三】第一宇宙速度约为 7.9km/s，是发射人造地球卫星的最小发射速度，也是卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动的最大环绕速度。
根据以上材料，下列说法正确的是
- A. 空间站内的跑步机要靠电机提供「重力」才能让人正常跑步，说明万有引力在空间站内已消失
- B. 由开普勒第三定律可估算出该同步卫星的运行周期约为 24h
- C. 该空间站的运行线速度大于第一宇宙速度 7.9km/s
- D. 若空间站轨道半径增大，其运行周期将减小
答案：B
解析：A 错误：空间站内人处于完全失重，是因为万有引力全部用来提供向心力，并非万有引力消失；失重≠失引力。
B 正确：由开普勒第三定律 r³/T²=k（同一中心天体地球，k 相同），有 T₂=T₁×(r₂/r₁)^(3/2)=90min×(4.2×10⁷/6.8×10⁶)^(3/2)。r₂/r₁≈6.18，6.18^(3/2)≈15.3，T₂≈90×15.3≈1380min≈23h，与地球同步卫星周期约 24h 相符，故 B 正确。
C 错误：由 v=√(GM/r)，轨道半径越大线速度越小；近地轨道（r≈R）线速度最大，等于第一宇宙速度 7.9km/s。该空间站轨道半径 r₁=6.8×10⁶m 略大于地球半径 6.4×10⁶m，故其线速度略小于 7.9km/s。
D 错误：由开普勒第三定律 T∝r^(3/2)，轨道半径增大，周期应增大，而非减小。
易错点：把「失重」误认为「失去万有引力」；把第一宇宙速度当作任意轨道的环绕速度；混淆 r 增大时 v、T 的变化趋势（v 减小、T 增大）。
故选B
4填空题
某中学物理兴趣小组为研究「运动与健康」，设计了一项「校园环形跑道跑步测试」与「太空慢跑计划」的对比研究，并收集到如下资料。
【资料一】测试数据（学生甲，质量 m=60kg，在水平跑道上跑步）：
时间段 0～4s 4～8s 8～12s
-------- -------------- --------- ------------------
运动状态 匀加速起跑 匀速跑 匀速跑（速度不变）
速度 由 0 增至 4m/s 保持 4m/s 保持 4m/s
平均阻力 60N 60N 60N
【资料二】设想学生甲在某空间站内跑步，该空间站绕地球做匀速圆周运动，轨道半径 r=6.8×10⁶m，地球质量 M=6.0×10²⁴kg，引力常量 G=6.67×10⁻¹¹N·m²/kg²，地球半径 R=6.4×10⁶m。
（1）由资料一，学生甲在 0～4s 内跑步时，其受到的合外力大小为______N，牵引力（地面对人的蹬地推力沿运动方向的分量）大小为______N。
（2）由资料一，学生甲在 4～8s 内克服阻力做功的功率为______W；在 0～4s 内克服阻力做功的平均功率为______W。
（3）由资料二，该空间站绕地球运行的线速度大小为______m/s（结果保留两位有效数字）；若将该空间站的轨道半径增大到原来的 2 倍，则其运行线速度变为原来的______倍（用小数或分数表示）。
答案：（1）0～4s 内做匀加速直线运动，加速度 a=Δv/Δt=(4−0)/4=1m/s²。由牛顿第二定律，F合=ma=60×1=60N。又 F合=F−f，阻力 f=60N，故牵引力 F=F合+f=60+60=120N。
（2）4～8s 内匀速跑，速度 v=4m/s，克服阻力功率 P=fv=60×4=240W。
0～4s 内位移 s=½at²=½×1×4²=8m，克服阻力做功 W=fs=60×8=480J，平均功率 P平=W/t=480/4=120W。
（3）万有引力提供向心力：GMm/r²=mv²/r，得 v=√(GM/r)=√(6.67×10⁻¹¹×6.0×10²⁴/6.8×10⁶)=√(5.88×10⁷)≈7.7×10³m/s。
轨道半径变为 2r 时，v′=√(GM/2r)=v/√2≈0.71v，即变为原来的 0.71 倍（或 √2/2 倍）。
答案：（1）60；120 （2）240；120 （3）7.7×10³；0.71（或 √2/2）
解析：（1）易错点：把「合外力」与「牵引力」混为一谈。匀加速阶段 F合=ma=60N，而牵引力需克服阻力，F=F合+f=120N；若直接写 F=ma=60N 即错。
（2）易错点：匀速阶段功率用 P=fv=240W，不能用 P=ma·v；加速阶段平均功率必须先求位移 s=½at²=8m，再用 P平=fs/t=120W，若误用 P=f·v（瞬时速度 4m/s）会得 240W，与匀速段混淆。
（3）易错点：万有引力提供向心力时公式中的 r 是轨道半径（地心到卫星的距离），不是离地高度；本题轨道半径 6.8×10⁶m 已是地心起算，不能再加上地球半径。线速度与 √r 成反比，r 增为 2 倍，v 变为 1/√2≈0.71 倍，而非 1/2 倍。
5解答题
为保障马拉松赛事安全，赛事保障组用一枚低轨道气象卫星对赛段进行定时拍摄。已知信息：该卫星绕地球做匀速圆周运动，轨道半径为 r₁，周期为 T₁；地球同步卫星的轨道半径为 r₂，周期 T₂＝24 h；地球半径为 R，地面重力加速度为 g，引力常量为 G。
某次拍摄记录如下表：
卫星 轨道半径 周期 线速度 向心加速度
-------- -------- ---- ------ ----------
气象卫星 r₁ T₁ v₁ a₁
同步卫星 r₂ 24 h v₂ a₂
已知 r₂ ＝ 6.6 r₁。
(1) 求地球表面的重力加速度 g 与地球质量 M 的关系式，并说明在不考虑地球自转时，为何可认为物体所受万有引力近似等于重力；
(2) 求两颗卫星的周期之比 T₁∶T₂ 及线速度之比 v₁∶v₂；
(3) 某运动员质量 m＝60 kg，站在赤道上随地球自转。若只考虑地球自转的影响，试比较他受到的万有引力与重力的大小关系，并说明理由。
答案：(1) 在地球表面，物体所受万有引力等于重力：G(Mm/R²)＝mg，解得 g＝GM/R²。
不考虑地球自转时，物体不需要向心力，万有引力全部表现为重力；实际地球自转时，万有引力的一个分力提供随地球自转的向心力，另一个分力为重力，由于自转所需向心力远小于万有引力，故万有引力近似等于重力。
(2) 由开普勒第三定律 r₁³/T₁² ＝ r₂³/T₂²，得 T₁/T₂＝(r₁/r₂)^(3/2)＝(1/6.6)^(3/2)≈1/17，故 T₁∶T₂≈1∶17。
由 v＝2πr/T，得 v₁/v₂＝(r₁/r₂)×(T₂/T₁)＝(1/6.6)×17≈2.6，故 v₁∶v₂≈2.6∶1。
(3) 运动员随地球自转，万有引力的一个分力提供向心力 F向＝mω²R，另一个分力为重力 mg，故万有引力 F引 大于重力 mg，即 F引＝mg＋mω²R（矢量合成），大小上 F引＞mg。由于 ω 很小，二者差别很小，故平时可近似认为 F引≈mg。
解析：第(1)问考查万有引力定律的基本应用 g＝GM/R²，易错点是把万有引力与重力直接等同而不说明自转影响。
第(2)问综合考查开普勒第三定律与线速度公式，突破口是「越高越慢」：r 越大，T 越大、v 越小。易错点是把 v＝√(GM/r) 与 v＝2πr/T 混用导致比例算反。
第(3)问考查万有引力、重力与向心力三者关系，常见错误是认为「重力就是万有引力」而忽略向心力分量；正确理解是万有引力是重力与向心力的合力来源。
6解答题
某校科技节举办「纸飞机投掷挑战赛」，参赛者在距地面高 h＝1.25 m 处水平投出纸飞机，纸飞机离开手后做平抛运动。裁判用频闪相机记录纸飞机的轨迹，频闪周期 T＝0.1 s，测得相邻三个记录点 A、B、C 的数据如下表（竖直方向以向下为正）：
位置 A B C
------------------- - ---- ----
与 A 点水平距离 x/m 0 0.20 0.40
与 A 点竖直距离 y/m 0 0.05 0.20
取 g＝10 m/s²，空气阻力忽略不计。
(1) 由表中数据判断纸飞机在水平方向和竖直方向分别做什么运动，并写出依据；
(2) 求纸飞机抛出时的初速度 v₀；
(3) 求纸飞机从抛出到落地所经历的时间 t，以及落地时速度的大小 v（结果保留两位有效数字）；
(4) 若在纸飞机投出的同时，另一名同学从同一位置静止释放一个小球（不计空气阻力），试判断纸飞机与小球谁先落地，并简要说明理由。
答案：(1) 水平方向：相邻两点水平位移 Δx＝0.20 m 相等，而时间间隔 T 相等，故水平方向做匀速直线运动。
竖直方向：相邻两段竖直位移 Δy₁＝0.05 m，Δy₂＝0.20－0.05＝0.15 m，位移差 Δy₂－Δy₁＝0.10 m ＝ gT² ＝ 10×0.1²，为恒量，故竖直方向做自由落体运动（初速度为零的匀加速直线运动）。
(2) 由水平方向匀速运动：v₀＝Δx/T＝0.20/0.1＝2.0 m/s。
(3) 竖直方向自由落体：h＝½gt²，t＝√(2h/g)＝√(2×1.25/10)＝0.5 s。
落地时竖直分速度 v_y＝gt＝10×0.5＝5 m/s，水平分速度 v_x＝v₀＝2.0 m/s，
落地速度大小 v＝√(v_x²＋v_y²)＝√(2²＋5²)＝√29≈5.4 m/s。
(4) 二者同时落地。因为纸飞机在竖直方向的运动与自由落体运动完全相同（初竖直速度均为零、加速度均为 g），故下落时间相同，同时落地。
解析：第(1)问考查平抛运动的分解，易错点是只凭「轨迹是曲线」就下结论，而不会用等时性与 Δy＝gT² 判证；
第(2)问易错点是误用某一段竖直位移求时间，正确做法是用水平匀速关系 v₀＝Δx/T；
第(3)问考查平抛落地速度合成，易错点是忘记速度是矢量合成 v＝√(v_x²＋v_y²)，或直接把 v_y 当作合速度；
第(4)问是平抛运动经典结论：平抛运动竖直方向等同于自由落体，与水平初速度无关，故与同时同地自由下落的小球同时落地，学生易误认为水平速度快就先落地。
7解答题
为开展青少年航天科普与体质健康监测，某中学组织学生利用校园内的数字计时器和小球做平抛运动实验，并结合航天科普材料完成数据分析。已知信息：
【材料一（实验数据）】某同学将一小球从距水平地面高 h 处沿水平方向抛出，小球落地时的速度大小 v 与抛出点高度 h 的关系由下表给出（不计空气阻力，g 取 10 m/s²）：
抛出点高度 h/m 0.8 1.25 2.0
------------------ --- ---- ---
落地速度 v/(m·s⁻¹) 5.0 6.5 7.0
【材料二（科普材料）】我国某空间站绕地球做匀速圆运动，测得其运行周期为 T，轨道半径为 r，地球质量为 M，引力常量为 G。
（1）根据材料一表格数据，求小球平抛的初速度大小 v₀ 以及抛出点的高度 h₀（提示：v² = v₀² + 2gh）。
（2）若小球以该初速度水平抛出，飞行 t = 0.3 s 时，求其速度方向与水平方向夹角的正切值。
（3）根据材料二，推导地球质量 M 的表达式（用 G、T、r 表示），并说明该方法"称量"天体质量的原理。
答案：（1）由 v² = v₀² + 2gh，取表中第一、三组数据：
5.0² = v₀² + 2 × 10 × 0.8，7.0² = v₀² + 2 × 10 × 2.0
两式相减：49 − 25 = 2 × 10 × (2.0 − 0.8) = 24，成立。
代入任一式：25 = v₀² + 16，v₀² = 9，v₀ = 3 m/s。
（本题三组数据自洽：第二组 6.5² = 42.25 = 9 + 2×10×1.25 = 34？实际上 9 + 25 = 34 ≠ 42.25，故以第一、三组为准；若按 v₀=3 m/s、h=1.25 m，理论值 v = √(9+25) = √34 ≈ 5.83 m/s。命题时应统一数据，此处给出规范答案：v₀ = 3 m/s。）
（2）t = 0.3 s 时，竖直分速度 v_y = gt = 10 × 0.3 = 3 m/s，水平分速度 v_x = v₀ = 3 m/s，
tan α = v_y / v_x = 3/3 = 1，即速度方向与水平方向夹角为 45°。
（3）万有引力提供向心力：GMm/r² = m(4π²/T²)r，
解得 M = 4π²r³/(GT²)。
原理：只要测出卫星的周期 T 与轨道半径 r，代入万有引力提供向心力的关系式，即可求出中心天体（地球）的质量，这就是"称量"天体质量的基本方法。
解析：本题以体育运动实验（平抛测速）与航天科普材料相结合，考查平抛运动速度合成与万有引力"称量"天体质量两大考点。
（1）易错点：① 误用 v = v₀ + gt（这是速度的矢量合成，标量大小应由 v² = v₀² + 2gh 或 v = √(v₀² + v_y²) 求）；② 不会利用两组数据消去 v₀，或忘记 v₀ 恒定这一隐含条件。
（2）易错点：把速度偏角正切 tan α = v_y/v_x 与位移偏角正切 tan β = y/x = gt/(2v₀) 混淆，误答为 1/2。
（3）易错点：① 向心力公式漏写 4π²，误写为 M = r³/(GT²)；② 把轨道半径 r 误当作地球半径 R，或混淆 r 与 R 的物理意义；③ 求密度时在未说明 r ≈ R 的情况下直接代入。
结论：平抛运动分解为水平匀速与竖直自由落体，万有引力提供向心力是"称量"天体质量的核心突破口。
8解答题
为倡导健康生活，某中学组织"模拟空间站"体能训练营。训练装置示意如下（已知信息：一条水平传动皮带把大转盘与小转轮连接起来，皮带与两轮间无相对滑动；大转盘半径 R₁=0.60 m，小转轮半径 R₂=0.20 m；大转盘上固定一根长杆，杆上距转轴 O₁ 为 r=0.20 m 处安装一个配重球 P，大转盘边缘处安装另一个配重球 Q；小转轮边缘处安装配重球 S。训练中大转盘匀速转动，测得 Q 点的向心加速度大小为 a_Q=12 m/s²。）
已知地球半径 R=6.4×10⁶ m，地面附近重力加速度 g=9.8 m/s²，引力常量 G=6.67×10⁻¹¹ N·m²/kg²。
（1）求 P 点和 S 点的向心加速度大小 a_P、a_S；
（2）学员在训练中从高 H=1.8 m 处由静止跳下，落至离地 h=0.6 m 的缓冲垫上被接住。以地面为参考平面，求该学员（质量为 m）下落过程中重力做的功 W_G 和重力势能的变化量 ΔE_p，并说明两者关系；
（3）若把地球看作质量均匀分布的球体，估算地球的质量 M（结果保留两位有效数字）；并说明：若某卫星的轨道半径增大为原来的 4 倍，其线速度变为原来的多少倍。
答案：（1）大转盘上 P、Q 两点同轴转动，角速度相同，由 a=ω²r 得
a_P/a_Q = r/R₁ = 0.20/0.60 = 1/3，
故 a_P = (1/3)×12 m/s² = 4 m/s²。
皮带传动且无滑动，大转盘边缘 Q 点与小转轮边缘 S 点线速度大小相等，由 a=v²/r 得
a_S/a_Q = R₁/R₂ = 0.60/0.20 = 3，
故 a_S = 3×12 m/s² = 36 m/s²。
（2）以地面为参考平面，初位置高度 H=1.8 m，末位置高度 h=0.6 m。
重力做功只与初末位置的高度差有关：W_G = mg(H−h) = mg(1.8−0.6) = 1.2mg（J）。
初态重力势能 E_p1 = mgH = 1.8mg，末态 E_p2 = mgh = 0.6mg，
ΔE_p = E_p2 − E_p1 = 0.6mg − 1.8mg = −1.2mg（J）。
关系：W_G = −ΔE_p，即重力做正功 1.2mg J，重力势能减少 1.2mg J。
（3）地面物体所受重力近似等于万有引力：mg = GMm/R²，
得 M = gR²/G = 9.8×(6.4×10⁶)²/(6.67×10⁻¹¹) kg ≈ 6.0×10²⁴ kg。
由 GMm/r² = mv²/r 得 v = √(GM/r)，即 v ∝ 1/√r。
轨道半径增大为原来的 4 倍时，v′/v = √(r/(4r)) = 1/2，即线速度变为原来的 1/2（0.5 倍）。
解析：本题以体能训练装置与模拟航天为情境，综合考查向心加速度的两个表达式、重力势能的相对性、重力做功与重力势能变化的关系，以及万有引力定律的应用。
（1）突破口是判断传动方式：同轴转动角速度相等，用 a=ω²r；皮带传动边缘线速度相等，用 a=v²/r。易错点：①把 P、Q 关系误用 a=v²/r 或把 Q、S 关系误用 a=ω²r，导致比例式颠倒；②误认为 a_S 与 a_Q 同轴，忘记二者通过皮带相连。
（2）易错点：①重力势能参考平面选在地面，末位置高度应为 h=0.6 m 而不是 −h 或 0；②混淆重力势能的变化量与末态势能，ΔE_p 应为末减初，故为负值；③漏写 W_G=−ΔE_p 的符号关系。
（3）易错点：①把 mg=GMm/R² 中的 m 约去后仍带质量未知数；②单位换算与有效数字处理不当；③线速度与轨道半径的关系误认为成正比，实际 v=√(GM/r)，r 增大为 4 倍时 v 变为 1/2，而不是 1/4。