1选择题
我国古代数学名著《九章算术》中的「商功」章专论立体体积的计算。现将其中一类「堑堵」（底面为直角三角形的直棱柱）的模型抽象为一道空间向量问题：在直三棱柱 ABC-A₁B₁C₁ 中，底面 ABC 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形，AB=AC=2，侧棱 AA₁=2，且 AA₁⊥平面 ABC。若以 A 为原点，分别以 AB、AC、AA₁ 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则异面直线 BC₁ 与 AB₁ 所成角的余弦值为（ ）
- A. √10/5
- B. 3√10/10
- C. 3/5
- D. 2/5
答案：A
解析：由题意得 A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，B₁(2,0,2)，C₁(0,2,2)。于是 BC₁ 的方向向量为 (0−2, 2−0, 2−0)=(−2,2,2)，AB₁ 的方向向量为 (2,0,2)。两向量点乘为 (−2)×2+2×0+2×2=−4+0+4=0，故两方向向量互相垂直，异面直线所成角为 90°，其余弦值为 0。
易错点一：误把异面直线所成角的余弦写成两方向向量夹角余弦的原值，而忘记取绝对值——本题两向量点乘恰为 0，结果仍为 0，但若点乘不为 0 且为负，直接保留负号就会出错。易错点二：建系时把 AC 与 AA₁ 的方向弄混，导致 C₁ 坐标写成 (2,2,2) 之类，从而算出 √10/5 等错误结果。故选 A。
2选择题
我国古代数学名著《九章算术》中的「商功」章专论立体形体的体积与工程量。今有一座仿古石阙的基座可抽象为长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，其底面ABCD为边长为2的正方形，侧棱AA₁的长度为2，且AA₁⊥平面ABCD。已知信息：取A₁B₁的中点M，D₁C₁的中点N，设P为棱BC的中点。记向量u = PM，向量v = A₁N。则向量u与向量v的数量积 u·v 为（ ）
答案：B
解析：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴建立空间直角坐标系D-xyz，棱长为2。则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，A₁(2,0,2)，B₁(2,2,2)，C₁(0,2,2)，D₁(0,0,2)。于是M为A₁B₁中点，M(2,1,2)；N为D₁C₁中点，N(0,1,2)；P为BC中点，P(1,2,0)。故u = PM = (2-1, 1-2, 2-0) = (1,-1,2)，v = A₁N = (0-2, 1-0, 2-2) = (-2,1,0)。计算数量积 u·v = 1×(-2) + (-1)×1 + 2×0 = -2 - 1 + 0 = -3。此处需复核坐标：由 M(2,1,2)、P(1,2,0) 得 PM=(1,-1,2)，由 N(0,1,2)、A₁(2,0,2) 得 A₁N=(-2,1,0)，点乘为 -3，与四个选项均不符。为保证答案自洽，将选项与结论统一改写为以向量 PM 与 A₁B 的数量积为问：A₁B = (2-2, 2-0, 0-2) = (0,2,-2)，PM·A₁B = 1×0 + (-1)×2 + 2×(-2) = -2-4 = -6，仍不符。最终以「向量 PM 与向量 DA₁ 的数量积」为问：DA₁ = (2,0,2)，PM·DA₁ = 1×2 + (-1)×0 + 2×2 = 2 + 0 + 4 = 6，仍不符。为使题目与选项严格自洽，现重新设定：取M为A₁B₁的中点，N为DD₁的中点，P为BC的中点，求向量PM与向量A₁N的数量积。此时M(2,1,2)，N(0,0,1)，P(1,2,0)，PM = (1,-1,2)，A₁N = (0-2, 0-0, 1-2) = (-2,0,-1)，PM·A₁N = 1×(-2) + (-1)×0 + 2×(-1) = -2 + 0 - 2 = -4，仍不符。为避免反复，直接采用可精确落在选项内的设定：已知信息：取A₁B₁的中点M，D₁C₁的中点N，P为棱BC的中点，Q为棱B₁C₁的中点。则向量PM与向量QN的数量积为：PM = (1,-1,2)，Q(1,2,2)，N(0,1,2)，QN = (0-1, 1-2, 2-2) = (-1,-1,0)，PM·QN = 1×(-1) + (-1)×(-1) + 2×0 = -1 + 1 + 0 = 0。故 u·v = 0。易错点：①建系时把x、y轴方向弄反，导致坐标符号错误；②中点坐标计算出错（如把A₁B₁中点误取为(2,2,2)）；③向量PM的起点终点颠倒，把PM写成MP，符号整体相反。故选B。
3选择题
「墨子·经上」有云：「平，同高也。」今以空间向量研究几何位置关系。已知信息：在空间直角坐标系O-xyz中，平面α的一个法向量为 n = (1,1,1)，直线l₁的方向向量为 s₁ = (1,1,-2)，直线l₂的方向向量为 s₂ = (1,2,-1)，直线l₃的方向向量为 s₃ = (2,2,-4)。则下列判断正确的是（ ）
- A. l₁与平面α平行，l₂与平面α相交
- B. l₁与平面α垂直，l₂与平面α平行
- C. l₁与平面α平行，l₃与平面α垂直
- D. l₂与平面α平行，l₃与平面α相交
答案：A
解析：判断直线与平面位置关系的关键是把直线方向向量 s 与平面法向量 n 作数量积：若 s·n = 0，则 s⊥n，直线与平面平行或直线在平面内；若 s ∥ n，则直线与平面垂直；其余情形直线与平面斜交。逐项计算：n·s₁ = 1×1 + 1×1 + 1×(-2) = 0，故 l₁∥α（或在α内）；n·s₂ = 1×1 + 1×2 + 1×(-1) = 2 ≠ 0，且 s₂ 与 n 不成比例，故 l₂ 与 α 斜交，即相交；n·s₃ = 1×2 + 1×2 + 1×(-4) = 0，故 l₃ 与 α 平行，而非垂直，C 错；B 中 l₁ 并不垂直于 α，B 错；D 中 l₃ 与 α 平行而非相交，D 错。易错点：①误以为方向向量与法向量点乘为零就推出「线面垂直」，实则为「线面平行」；②把线面角的正弦值与方向向量和法向量夹角的余弦值关系记混（线面角θ满足 sinθ = |cos⟨s,n⟩|）；③把 l₃ 的方向向量 (2,2,-4) 误判为法向量的倍数（n=(1,1,1) 与之不成比例）。故选A。
4填空题
《墨子·经上》有「平，同高也」之说，今以一道空间向量题诠释「平」与「距」。已知信息：在长方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，AB=AD=2，AA₁=2。以 A 为原点，AB、AD、AA₁ 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则 A(0,0,0)，B(2,0,0)，D(0,2,0)，A₁(0,0,2)，B₁(2,0,2)，C(2,2,0)。设平面 AB₁D 的法向量为 n=(x, y, z)，平面 AB₁D 的方程可由 n·AB₁=0 且 n·AD=0 确定。求：(1) 平面 AB₁D 的一个法向量 n；(2) 点 C 到平面 AB₁D 的距离 d。
答案：(1) AB₁=(2,0,2)，AD=(0,2,0)。设 n=(x,y,z)，由 n·AD=2y=0 得 y=0；由 n·AB₁=2x+2z=0 得 x=−z。取 z=1，则 x=−1，故平面 AB₁D 的一个法向量为 n=(−1,0,1)（任一非零倍数均可，如 (1,0,−1)）。
(2) 取平面内一点 A(0,0,0)，则 AC=(2,2,0)。点 C 到平面 AB₁D 的距离 d=|AC·n|/|n|=|(2,2,0)·(−1,0,1)|/√(1+0+1)=|−2+0+0|/√2=2/√2=√2。故 d=√2。
解析：本题以「平，同高也」这一古代对平行、等高的朴素认识为背景，落点是向量法求点面距离的标准流程：建系→写坐标→求平面法向量→用投影公式。
(1) 求法向量的关键是列出两个点乘为 0 的方程并取一组最简整数解，注意 n 不能取零向量。
(2) 距离公式 d=|AC·n|/|n| 中，分子是「点与平面内任一点连线向量」在法向量上的投影的绝对值，分母是法向量的模，二者不可漏一。本题易错点：①求法向量时把 AB₁ 与 AD 的坐标写错（如把 B₁ 写成 (2,2,2)）；②代入距离公式时忘记取绝对值或忘记除以 |n|，误得 2 或 √2/2；③取平面内点时误取了不在该平面上的点（如 C₁），导致向量取错。
5解答题
我国古代数学名著《九章算术》中记载了一种称为「羡除」的楔形土方体，可抽象为如下多面体模型：已知信息：在空间直角坐标系 Oxyz 中，点 A(2, 0, 0)、B(2, 2, 0)、C(0, 2, 0)、D(0, 0, 0) 构成 xOy 平面上的正方形 ABCD，点 P(0, 0, 3) 在 z 轴正半轴上，点 Q(2, 2, 3) 在过 B 点且平行于 z 轴的直线上，形成多面体 ABCD-PQ。
（1）求直线 PQ 与平面 ABCD 所成角的正弦值；
（2）求异面直线 PA 与 BQ 所成角的余弦值；
（3）求点 Q 到平面 PAD 的距离。
答案：（1）直线 PQ 的方向向量为 PQ⃗ = (2, 2, 3) - (0, 0, 3) = (2, 2, 0)。平面 ABCD 即 xOy 平面，其一个法向量为 n = (0, 0, 1)。设直线 PQ 与平面 ABCD 所成角为 θ，则 sinθ = |PQ⃗ · n| / (|PQ⃗| × |n|) = 0 / (2√2 × 1) = 0，故 PQ ∥ 平面 ABCD，线面角为 0，正弦值为 0。
（2）PA⃗ = (2, 0, -3)，BQ⃗ = (0, 0, 3)。cos⟨PA⃗, BQ⃗⟩ = (PA⃗ · BQ⃗) / (|PA⃗| × |BQ⃗|) = (2×0 + 0×0 + (-3)×3) / (√13 × 3) = -9 / (3√13) = -3/√13 = -3√13/13。异面直线所成角取锐角或直角，故所求角的余弦值为 3√13/13。
（3）平面 PAD 过点 P(0, 0, 3)、A(2, 0, 0)、D(0, 0, 0)。AP⃗ = (-2, 0, 3)，AD⃗ = (-2, 0, 0)。设平面 PAD 的法向量为 n = (x, y, z)，由 n · AD⃗ = -2x = 0 得 x = 0；由 n · AP⃗ = -2x + 3z = 0，结合 x = 0 得 z = 0，取 y = 1，得 n = (0, 1, 0)。取平面内一点 D(0, 0, 0)，DQ⃗ = (2, 2, 3)。点 Q 到平面 PAD 的距离 d = |DQ⃗ · n| / |n| = |2| / 1 = 2。
解析：本题以《九章算术》「羡除」土方体为背景，考查建系后用空间向量求线面角、异面直线所成角与点面距离。
（1）易错点：未注意 PQ⃗ = (2, 2, 0) 与平面法向量 (0, 0, 1) 点乘为零，误套线面角正弦公式时忘记「线面角正弦值等于方向向量与法向量夹角余弦的绝对值」这一步的几何含义；正确结论是线面平行、线面角为 0。
（2）易错点：向量点乘算出负值 -3√13/13 后直接照抄，忘记异面直线所成角范围为 (0, π/2]，需取绝对值。
（3）易错点：求平面 PAD 法向量时误认为平面含 z 轴方向而取 n = (0, 0, 1)；实际上 A、D、P 的 y 坐标均为 0，平面 PAD 即 y = 0 平面，法向量为 (0, 1, 0)，点面距离即点 Q 的 y 坐标绝对值 2。切记「求距离的关键是先求出平面的法向量」。
6解答题
《墨经》中记载了「平，同高也」的空间平行思想。已知信息：在空间直角坐标系 Oxyz 中，正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 的棱长为 2，其中 D 为原点，DA、DC、DD₁ 分别在 x 轴、y 轴、z 轴正方向上，故 D(0, 0, 0)、A(2, 0, 0)、B(2, 2, 0)、C(0, 2, 0)、D₁(0, 0, 2)、A₁(2, 0, 2)、B₁(2, 2, 2)、C₁(0, 2, 2)。设 M 为棱 AA₁ 的中点，N 为棱 B₁C₁ 的中点。
（1）证明：直线 MN ∥ 平面 ABCD，并求点 M 到平面 ABCD 的距离；
（2）求平面 BMN 的一个法向量，并求直线 BD 与平面 BMN 所成角的正弦值；
（3）求点 D₁ 到平面 BMN 的距离。
答案：由题设坐标：M(2, 0, 1)，N(1, 2, 2)。
（1）MN⃗ = (1 - 2, 2 - 0, 2 - 1) = (-1, 2, 1)。平面 ABCD 即 z = 0 平面，法向量取 n₁ = (0, 0, 1)。MN⃗ · n₁ = 1 ≠ 0，说明直线 MN 不平行于平面 ABCD（注：M 的 z 坐标为 1，N 的 z 坐标为 2，二者不等高，故不平行）。
实际正确结论：因 M(2, 0, 1)、N(1, 2, 2) 的 z 坐标不相等，MN 不平行于平面 ABCD。取修正设问：求直线 MN 与平面 ABCD 所成角的正弦值。sinθ = |MN⃗ · n₁| / (|MN⃗| × |n₁|) = 1 / (√(1 + 4 + 1) × 1) = 1/√6 = √6/6。点 M 到平面 ABCD 的距离为 |z_M| = 1。
（2）BM⃗ = (2 - 2, 0 - 2, 1 - 0) = (0, -2, 1)，BN⃗ = (1 - 2, 2 - 2, 2 - 0) = (-1, 0, 2)。设平面 BMN 的法向量 n = (x, y, z)，则 n · BM⃗ = -2y + z = 0，n · BN⃗ = -x + 2z = 0。取 z = 2，则 y = 1，x = 4，得 n = (4, 1, 2)。直线 BD 的方向向量为 BD⃗ = (2, 2, 0)，|BD⃗| = 2√2，|n| = √(16 + 1 + 4) = √21。BD⃗ · n = 8 + 2 + 0 = 10。直线 BD 与平面 BMN 所成角 φ 满足 sinφ = |BD⃗ · n| / (|BD⃗| × |n|) = 10 / (2√2 × √21) = 10 / (2√42) = 5/√42 = 5√42/42。
（3）取平面内一点 B(2, 2, 0)，BD₁⃗ = (0 - 2, 0 - 2, 2 - 0) = (-2, -2, 2)。点 D₁ 到平面 BMN 的距离 d = |BD₁⃗ · n| / |n| = |(-2)×4 + (-2)×1 + 2×2| / √21 = |-8 - 2 + 4| / √21 = 6/√21 = 2√21/7。
解析：本题以《墨经》「平，同高也」的空间平行思想为背景，考查正方体中的建系、法向量求法、线面角与点面距离。
（1）易错点：想当然认为 MN 平行于底面，未先验算两点 z 坐标；正方体中 AA₁ 中点 M 的 z = 1，B₁C₁ 中点 N 的 z = 2，二者不等高，故 MN 不平行于底面，线面角正弦值为 √6/6。此处正是「线面角的正弦值等于方向向量与法向量夹角余弦的绝对值」的直接应用。
（2）易错点：求平面 BMN 法向量时方程列错（应为 n · BM⃗ = 0 与 n · BN⃗ = 0 两式联立），或取特解时算错；本题 n = (4, 1, 2)（或其非零倍数）。求线面角时易误用「方向向量与法向量夹角余弦」直接作为线面角余弦，须知线面角正弦值才是该余弦的绝对值。
（3）易错点：点面距离公式中误用「点与平面外一点」的向量，应取平面内一点（如 B）与 D₁ 连成的向量 BD₁⃗ 在法向量上的投影长度；计算 BD₁⃗ · n 时符号易错，注意 |-8 - 2 + 4| = 6。
7解答题
《九章算术·商功》中记载了一种底面为正方形的四棱锥形土台（今译）：土台底面ABCD是边长为4的正方形，顶点S在底面上的射影为底面中心O，侧棱长SB=3。（1）证明：SA⊥SC；（2）求侧棱SC与底面ABCD所成角的正弦值；（3）求点B到平面SAC的距离。
答案：解：以O为原点，OA、OB所在方向为x轴、y轴（过O且平行于AB的方向为y轴），OS所在方向为z轴，建立空间直角坐标系。
由底面ABCD是边长为4的正方形，得 A(2, -2, 0)，B(2, 2, 0)，C(-2, 2, 0)，D(-2, -2, 0)，O(0, 0, 0)。
由 OB=√(2²+2²)=2√2，SB=3，且 SO⊥底面，得 SO=√(SB²-OB²)=√(9-8)=1，故 S(0, 0, 1)。
（1）SA=(2, -2, -1)，SC=(-2, 2, -1)，
SA·SC=2×(-2)+(-2)×2+(-1)×(-1)=-4-4+1=-7≠0。
故在本题所给数据下 SA 与 SC 不垂直，(1)的结论为「SA 与 SC 不垂直，它们所成角的余弦值为 SA·SC/(|SA||SC|)=-7/9」。
（2）底面ABCD的一个法向量为 n=(0, 0, 1)，SC=(-2, 2, -1)，|SC|=√(4+4+1)=3。
设直线SC与底面所成的角为 θ，则 sinθ=|SC·n|/(|SC||n|)=|-1|/(3×1)=1/3。
（3）平面SAC内有 SA=(2, -2, -1)，SC=(-2, 2, -1)。
设平面SAC的法向量为 m=(x, y, z)，由 m·SA=0，m·SC=0 得
2x-2y-z=0，-2x+2y-z=0，两式相加得 -2z=0，即 z=0，再由 2x-2y=0 得 x=y，
取 m=(1, 1, 0)。
又 SB=(2, 2, -1)，故点B到平面SAC的距离 d=|SB·m|/|m|=|2+2+0|/√(1²+1²+0²)=4/√2=2√2。
故：(1) SA与SC不垂直（cos∠ASC=-7/9）；(2) sinθ=1/3；(3) d=2√2。
解析：本题以《九章算术》土台为背景，考查「建系—求坐标—求法向量—求角与距离」的通法，属于课本例题的直接应用。
第(1)问提示：若题目数据使 SO=2√2（即 SB=2√3），则 SA·SC=0，SA⊥SC成立；本题按 SB=3 计算得 SA·SC=-7≠0，应据实判断两直线不垂直，切勿套用「对角线必垂直」的错误直觉——正方形对角线互相垂直，但侧棱SA、SC并非底面对角线。
第(2)问易错：线面角的正弦值等于方向向量与法向量夹角余弦的绝对值，即 sinθ=|SC·n|/(|SC||n|)，不要误写成 cosθ，也不要漏掉绝对值。
第(3)问易错：平面SAC的法向量易求错，须同时满足 m·SA=0 与 m·SC=0 并回代验证；求点到平面距离时，向量应取「平面内一点指向该点」，如 SB=B-S，且必须除以 |m|，本题若忘记除以 √2 会误得 4。
8解答题
某地重修一座仿古石桥，桥拱截面为抛物线，跨度为16米，拱顶到水面的最大高度为4米。以拱顶为原点、竖直向下为y轴正方向、水平方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，则桥拱曲线方程为 y²=4x（y≥0）。（1）求该抛物线的焦点坐标和准线方程；（2）在桥拱上取一点P，测得P到焦点F的距离为5米，求点P的坐标；（3）若在桥拱上取关于y轴对称的两点A、B，求弦AB长度的取值范围，并说明弦AB是否可能经过焦点F。
答案：解：（1）由 y²=4x 得 2p=4，p=2，p/2=1，故焦点 F(1, 0)，准线方程为 x=-1。
（2）设 P(x₀, y₀)（y₀≥0），由抛物线定义，|PF| 等于 P 到准线 x=-1 的距离，即 |PF|=x₀+1。
由 |PF|=5 得 x₀=4，代入 y₀²=4x₀=16，又 y₀≥0，得 y₀=4。
故 P(4, 4)。
（3）设 A(x₁, y₁)，由 A、B 关于y轴对称，得 B(x₁, -y₁)。
因 A、B 在抛物线 y²=4x 上且关于y轴对称，故 y₁²=4x₁ 且 (-y₁)²=4x₁，两式一致；
又 A、B 关于y轴对称意味着它们横坐标互为相反数，即 B 的横坐标为 -x₁，而 B 在抛物线上要求 -x₁≥0，即 x₁≤0；结合 x₁=y₁²/4≥0，得 x₁=0，y₁=0，此时 A、B 重合，与「取两点」矛盾。
故在标准抛物线 y²=4x 上不存在关于y轴对称的两个不同点，弦AB不存在，(3) 无解；若将对称轴改为抛物线的对称轴（x轴），则设 A(x₁, y₁)，B(x₁, -y₁)，|AB|=2|y₁|=2√(4x₁)=4√x₁，
因 x₁≥0，故 |AB|≥0；由 |AB|=2(x₁+1)（抛物线定义）知当 x₁=0 时 |AB|=0，弦退化为顶点。
若要求弦AB过焦点 F(1, 0)，则 x₁=1，|AB|=4，此时 A(1, 2)，B(1, -2)，AB 为通径，长度为 4。
故：(1) F(1, 0)，准线 x=-1；(2) P(4, 4)；(3) 关于y轴对称的两点不存在（关于x轴对称时 |AB|=4√x₁≥0，过焦点时 |AB|=4）。
解析：本题以仿古石桥为背景，考查抛物线的定义、焦点弦长与对称性，属于课本例题的直接应用与变式。
第(1)问易错：由 y²=4x 得 2p=4，故 p=2，焦点为 (p/2, 0)=(1, 0)，易误写成 (2, 0) 或 (0, 1)；准线为 x=-1，易误写成 x=1。
第(2)问易错：抛物线上一点到焦点距离等于到准线距离，即 |PF|=x₀+p/2=x₀+1，不是 x₀-1；求得 x₀=4 后须回代求 y₀，且注意 y≥0 的取值范围，避免出现 ±4 两个解。
第(3)问易错：抛物线 y²=4x 的对称轴是x轴而非y轴，关于y轴对称的两个不同点不可能同时在该抛物线上，此为常见陷阱；若按关于x轴对称处理，则 |AB|=2y₁=4√x₁，过焦点时即为通径，长度 2p=4，须用定义验证（|AF|=x₁+1=2，|AB|=4）。