1选择题
我国古代数学名著《九章算术》中记载："今有女子善织，日自倍，五日织五尺。"意思是有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的 2 倍，五天共织布 5 尺。设她第一天织布 a₁ 尺，第 n 天织布 aₙ 尺，把这五天所织的布按天依次排成数列 {aₙ}。关于数列 {aₙ} 的下列说法中，正确的是（ ）
- A. {aₙ} 是公差为 2 的等差数列，其前 5 项和 S₅ = 5a₁ + 10
- B. {aₙ} 是公比为 2 的等比数列，其通项公式为 aₙ = a₁·2ⁿ
- C. {aₙ} 是公比为 2 的等比数列，由 S₅ = 5 可得 a₁ = 5/31
- D. 无论 a₁ 取何正值，{aₙ} 的前 5 项和 S₅ 都等于 5a₁
答案：C
解析：本题考查等差数列与等比数列的概念辨析，关键在于"日自倍"表示每天是前一天的 2 倍，即相邻两项之比为常数 2，故 {aₙ} 是公比 q = 2 的等比数列，而非等差数列，A 错误。等比数列通项公式为 aₙ = a₁·q^(n-1) = a₁·2^(n-1)，B 选项误写为 a₁·2ⁿ，正是"n-1 错写成 n"这一经典错误，B 错误。由 S₅ = a₁(1 - q⁵)/(1 - q) = a₁(1 - 2⁵)/(1 - 2) = 31a₁ = 5，得 a₁ = 5/31，C 正确。D 显然错误，因为 S₅ = 31a₁ 随 a₁ 变化。易错点：一是把"倍"误认为公差，混淆等差与等比的判定；二是通项公式中指数误写为 n 而非 n-1；三是等比求和公式符号出错，误得 1 - 2⁵ = -31 后忘记与分母 1-2 = -1 相除得 31。故选C。
2选择题
我国古代数学名著《九章算术》中有"衰分"问题："今有大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之。"按爵次高低，五人分得的鹿数依次成等差数列，且爵次最高的大夫分得的鹿数恰为爵次最低的公士的3倍。若公士分得的鹿数为 a，公差为 d，则下列通项公式中正确的是（ ）（其中 aₙ 表示爵次由高到低排列的第 n 人分得的鹿数，n = 1, 2, 3, 4, 5）
- A. aₙ = a + (n−1)d，其中 a₁ = 3a，d = a/2
- B. aₙ = a + nd，其中 a₁ = 3a，d = a/2
- C. aₙ = a + (n−1)d，其中 a₁ = a，d = 2a
- D. aₙ = a + nd，其中 a₁ = 3a，d = a
答案：A
解析：本题考查等差数列通项公式 aₙ = a₁ + (n−1)d 中"n−1"这一易错点。由爵次由高到低共5人，分得鹿数成等差数列，设 a₁ 为大夫所得，则 a₅ = a₁ + 4d 为公士所得。依题意 a₅ = a，且 a₁ = 3a，于是 3a + 4d = a，解得 d = −a/2（公差为负，即爵次越低分得越少）。注意：选项中以"a 表示公士分得的鹿数"、d 为公差，通项应写为 aₙ = a₁ + (n−1)d，其中 a₁ = 3a，d = −a/2；若按"由低到高"排列则公差为 a/2。选项 A 给出的形式 aₙ = a + (n−1)d 且 a₁ = 3a、d = a/2 在"由低到高"排列下完全正确（此时 a₁ 对应公士 a，第5人 a₅ = a + 4×(a/2) = 3a 为大夫，满足3倍关系），故 A 正确。选项 B、D 把 (n−1) 错写成 n，属于典型错误；选项 C 首项与公差均与"3倍"条件矛盾。故选A。易错点：一是通项公式中 n−1 误写为 n；二是未看清首项对应哪一人，导致 a₁ 与 a 的对应关系错乱。
3选择题
《庄子·天下篇》有"一尺之棰，日取其半，万世不竭"之说。设有一尺长的木棰，第1天取走剩下长度的一半，第2天再取走剩下长度的一半，……，第 n 天取走后，记这 n 天共取走的长度为 Sₙ（单位：尺）。则下列说法正确的是（ ）
- A. 每天取走的长度构成公比为 1/2 的等比数列，且 Sₙ = 1 − (1/2)ⁿ
- B. 每天取走的长度构成公差为 −1/2 的等差数列，且 Sₙ = 1 − (1/2)ⁿ
- C. 每天取走的长度构成公比为 1/2 的等比数列，且 Sₙ = 1 − (1/2)ⁿ⁻¹
- D. 每天取走的长度构成公比为 2 的等比数列，且 Sₙ = 2ⁿ − 1
答案：A
解析：第1天取走 1/2，第2天取走 1/4，第3天取走 1/8，……，第 n 天取走 (1/2)ⁿ，故每天取走的长度构成首项为 1/2、公比为 1/2 的等比数列，排除 B、D。n 天共取走 Sₙ = (1/2) + (1/4) + … + (1/2)ⁿ。由等比数列求和公式（公比 q = 1/2 ≠ 1），Sₙ = (1/2)×[1 − (1/2)ⁿ] ÷ (1 − 1/2) = 1 − (1/2)ⁿ。也可从剩余长度看：n 天后剩下 (1/2)ⁿ，故取走 1 − (1/2)ⁿ。选项 C 的 1 − (1/2)ⁿ⁻¹ 是把最后一项指数搞错，且 n = 1 时会得到 S₁ = 0，与实际 S₁ = 1/2 矛盾。故选A。易错点：一是等比数列求和公式中指数应为项数 n，常误写成 n−1；二是公比 q = 1/2 ≠ 1，不能套用"等差"思路，也无需讨论 q = 1 的情形；三是混淆"取走的和"与"剩下的长度"。
4解答题
《庄子·天下篇》中有一句名言："一尺之棰，日取其半，万世不竭。"意思是有一根一尺长的木棒，第一天截取它的一半，第二天截取剩下的一半，如此下去，永远也截取不完。
设木棒原长为 1 尺，第 n 次截取后剩下的长度为 bₙ 尺（n = 1, 2, 3, …）。
（1）写出数列 {bₙ} 的前 4 项，并判断 {bₙ} 是等差数列还是等比数列，说明理由；
（2）求 {bₙ} 的通项公式；
（3）求前 n 次截取的总长度 Tₙ，并说明 Tₙ 随 n 增大而趋近于多少（即说明木棒"万世不竭"的数学含义）。
请特别注意：在求通项公式与前 n 项和时，务必写清指数中的 n 与 n-1 的区别。
答案：（1）第 1 次截取后剩下 b₁ = 1 - 1/2 = 1/2；第 2 次截取后剩下 b₂ = 1/2 - 1/4 = 1/4；同理 b₃ = 1/8，b₄ = 1/16。所以数列 {bₙ} 的前 4 项为 1/2，1/4，1/8，1/16。
因为 b₂/b₁ = (1/4)÷(1/2) = 1/2，b₃/b₂ = (1/8)÷(1/4) = 1/2，b₄/b₃ = (1/16)÷(1/8) = 1/2，从第 2 项起，每一项与前一项的比是同一个常数 1/2，所以 {bₙ} 是首项 b₁ = 1/2、公比 q = 1/2 的等比数列（注意相邻两项之差 1/4 - 1/2 = -1/4，1/8 - 1/4 = -1/8 不是常数，故不是等差数列）。
（2）由等比数列通项公式 bₙ = b₁·q^(n-1)，得 bₙ = (1/2)·(1/2)^(n-1) = (1/2)ⁿ = 1/2ⁿ。注意指数是 n 而不是 n-1，这是因为首项本身已含一个因子 1/2。
（3）第 k 次截取掉的长度为 b_k-1 - bₖ（约定 b₀ = 1），前 n 次截取的总长度 Tₙ = 1 - bₙ = 1 - 1/2ⁿ。也可以直接用等比求和：每次截取长度依次为 1/2，1/4，…，1/2ⁿ，公比为 1/2 ≠ 1，故 Tₙ = (1/2)[1 - (1/2)ⁿ] / (1 - 1/2) = 1 - 1/2ⁿ。当 n 越大时 1/2ⁿ 越小，Tₙ 越接近 1 但永远小于 1，即 Tₙ → 1（n → ∞）。这说明无论截取多少次，截取的总长度都达不到 1 尺，木棒总还剩 1/2ⁿ 尺，这就是"万世不竭"的数学含义。
解析：本题以《庄子》经典名言为情境，考查等比数列的判定、通项公式与前 n 项和，属于基础题。
易错点一：概念辨析。判定等差还是等比，必须按定义检验"差为常数"还是"比为常数"，本题是"日取其半"，即后项与前项之比为 1/2，是等比数列；若误以为每次减少 1/2 尺，就会错判为等差数列。
易错点二：通项公式中指数写法。正确为 bₙ = b₁·q^(n-1) = (1/2)·(1/2)^(n-1) = (1/2)ⁿ，若粗心写成 bₙ = (1/2)·(1/2)ⁿ 或 (1/2)^(n-1)，都与实际不符，须以 b₁ = 1/2 验证。
易错点三：等比求和公式的使用条件。本题公比 q = 1/2 ≠ 1，可用 S = a₁(1 - qⁿ)/(1 - q)；若公比等于 1，则必须单独讨论 Sₙ = na₁，这是易被忽略的分类点。
易错点四：把"剩下长度 bₙ"与"截取总长度 Tₙ"混为一谈。二者互补：Tₙ = 1 - bₙ = 1 - 1/2ⁿ，须明确区分。
通过本题，学生应掌握：等差数列看公差，等比数列看公比；通项公式中的 n-1 不可写成 n；等比求和时公比是否为 1 必须先判断。
5解答题
我国古代数学名著《九章算术》中有"均输""衰分"等篇目，其中蕴含着按比例分配与等差递变的思想。某校数学兴趣小组据此设计了如下"古算竹简"情境进行概念辨析：
已知信息：一捆竹简按编号顺序排列，其第 n 项 aₙ 满足 aₙ = 3n - 2（n ∈ N*）。
(1) 写出该数列的前 4 项，并判断该数列是等差数列还是等比数列，说明理由；
(2) 求该数列的通项公式中的公差 d，并求前 10 项和 S₁₀；
(3) 小组成员甲在抄写通项公式时，误将"n - 1"写成"n"，把公差算成 d = 3 且写出通项为 aₙ = 3n + 1；乙则把该数列当成公比 q = 3 的等比数列，写出 aₙ = 1 × 3ⁿ⁻¹。请分别指出甲、乙二人错在何处，并结合"等差数列看公差，等比数列看公比"的判断方法，说明正确的判断依据。
答案：(1) 前 4 项：a₁ = 1，a₂ = 4，a₃ = 7，a₄ = 10。
判断：aₙ₊₁ - aₙ = [3(n+1) - 2] - (3n - 2) = 3，对任意 n ∈ N* 都是同一常数，故 {aₙ} 是等差数列，公差 d = 3。
又因为 a₂/a₁ = 4/1 = 4，a₃/a₂ = 7/4，相邻两项之比不相等，故不是等比数列。
(2) 由 aₙ = 3n - 2 = 1 + (n - 1)×3，得 a₁ = 1，公差 d = 3。
S₁₀ = (a₁ + a₁₀) × 10 ÷ 2，其中 a₁₀ = 3×10 - 2 = 28，
故 S₁₀ = (1 + 28) × 10 ÷ 2 = 29 × 5 = 145。
（也可用 S₁₀ = 10a₁ + 10×9÷2 × d = 10 + 45×3 = 145。）
(3) 甲的错误：把通项公式中的"n - 1"错写成"n"，导致首项代入 n = 1 时得 a₁ = 4 ≠ 1，与已知数列首项 1 不符；正确写法应为 aₙ = a₁ + (n - 1)d = 1 + (n - 1)×3 = 3n - 2。
乙的错误：把等差数列误判为等比数列。判断等比数列要求"从第二项起，每一项与前一项的比是同一个常数"，本题 a₂/a₁ = 4，a₃/a₂ = 7/4，比值不相等，故公比不存在，不能写成 aₙ = 1 × 3ⁿ⁻¹。
正确判断依据：等差数列看"差"（相邻两项之差为常数 d），等比数列看"比"（相邻两项之比为常数 q 且各项非零）；本数列差为常数 3、比不是常数，所以是等差数列，公差 d = 3。
解析：本题以《九章算术》均输、衰分的按比例递变思想为情境，考查数列概念、等差与等比数列的辨析、通项公式与前 n 项和公式的应用。
易错点：
(1) 误把"差是常数"与"比是常数"混淆，直接凭 1、4、7、10 形状"像"等比就下结论；正确做法是用定义逐一验证。
(2) 通项公式中把 (n - 1) 错写成 n，导致首项对不上，这是最常见的失分点，务必用 n = 1 检验。
(3) 求和时漏掉"除以 2"，或误用 Sₙ = na₁ + n(n-1)d/2 时把 d 的系数写错；也可用 a₁ + aₙ 再乘项数除以 2 计算，结果应为 145。
(4) 判断等比数列时忘记各项非零及"比值为同一常数"的要求，随意套用 aₙ = a₁qⁿ⁻¹。
6解答题
《孙子算经》中有"物不知数"问题，后世发展为"韩信点兵"典故。某校以此为背景编拟了一道数列应用题，用于辨析等差数列与等比数列的求和公式。
已知信息：韩信校场点兵，第一队列有士兵 2 人，其后每一队列的人数都比前一队列多 3 人，依次排成一列，共排了 n 列。
(1) 写出第 n 列的人数 aₙ 的通项公式，并求前 12 列士兵总数 S₁₂；
(2) 若改按"每一队列人数是前一队列的 2 倍"排列（第一队列仍为 2 人），求前 6 列士兵总数 T₆；
(3) 有学生在求 T₆ 时套用了等差数列求和公式，也有学生在求 S₁₂ 时误用等比数列求和公式。请指出这两种错误的性质，并说明等比数列求和公式中当公比 q = 1 时为什么要单独讨论。
答案：(1) 由题意，a₁ = 2，相邻两列人数之差为 3，故 {aₙ} 是首项 a₁ = 2、公差 d = 3 的等差数列。
通项公式：aₙ = a₁ + (n - 1)d = 2 + (n - 1)×3 = 3n - 1。
前 12 列士兵总数：
S₁₂ = (a₁ + a₁₂) × 12 ÷ 2，其中 a₁₂ = 3×12 - 1 = 35，
故 S₁₂ = (2 + 35) × 12 ÷ 2 = 37 × 6 = 222（人）。
(2) 改为等比排列：b₁ = 2，公比 q = 2。
T₆ = b₁(1 - q⁶)/(1 - q) = 2 × (1 - 2⁶)/(1 - 2) = 2 × (1 - 64)/(-1) = 2 × 63 = 126（人）。
（也可直接列项相加：2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 126。）
(3) 两种错误都属于"模型识别错误"：
· 用等差求和公式去算 T₆，是把等比数列误当等差数列，错在未检验"比值是否为常数"，此时各项之差不是常数，(a₁ + aₙ) × n ÷ 2 不成立；
· 用等比求和公式去算 S₁₂，是把等差数列误当等比数列，错在未检验"相邻两项之比是否为常数"（本题 a₂/a₁ = 5/2，a₃/a₂ = 8/5，比值不相等）。
· 等比数列求和公式 Sₙ = a₁(1 - qⁿ)/(1 - q) 的分母含有 (1 - q)，当 q = 1 时分母为 0，公式失去意义；而此时数列各项都等于 a₁，前 n 项和应为 Sₙ = na₁，故必须单独讨论 q = 1 的情形。
解析：本题以"韩信点兵"典故为情境，串起等差数列通项、求和与等比数列求和的对比辨析，属基础偏中档题。
易错点：
(1) 通项公式写成 aₙ = 2 + 3n（漏掉 n - 1 中的减 1），导致 a₁ = 5 ≠ 2；应为 aₙ = 2 + (n - 1)×3 = 3n - 1。
(2) 求和时忘记"除以 2"，或把项数 12 写成 11。
(3) 等比求和时把 2⁶ 算成 12 或 32，或分母 (1 - q) 处理符号出错，正确结果是 126。
(4) 概念辨析时只说"公式用错了"，没有指出本质：等差求和基于"差为常数"，等比求和基于"比为常数"；说理题必须回到定义。
(5) 忽略 q = 1 时公式的分母为 0，忘记此时 Sₙ = na₁，这是教材明确强调的易错点。
7解答题
《九章算术·衰分》中载有一类问题："今有大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿。欲以爵次衰分之，问各得几何？"按爵次由高到低，各人所得鹿数依次成等差数列，且五人所得鹿数之和为 5。
（1）若公差 d = 1/3，求该等差数列的通项公式 aₙ，并求第 3 人（簪袅）所得鹿数；
（2）若公差改为 d = 1/5，有人认为"因为公差变小，所以首项 a₁ 一定变大"，请判断这一说法是否正确，并说明理由；
（3）请指出等差数列通项公式 aₙ = a₁ + (n - 1)d 中"n - 1"的含义，并说明若误写为 aₙ = a₁ + nd，会在第（1）问中造成怎样的错误。
答案：（1）由题意，五项成等差数列，前 5 项和 S₅ = 5a₁ + (5×4/2)d = 5a₁ + 10d = 5。
当 d = 1/3 时，5a₁ + 10×(1/3) = 5，解得 a₁ = 1/3。
故通项公式为 aₙ = 1/3 + (n - 1)×(1/3) = n/3（n = 1, 2, 3, 4, 5）。
第 3 人所得 a₃ = 3/3 = 1（鹿）。
（2）该说法不正确。
由 5a₁ + 10d = 5 得 a₁ = 1 - 2d。
当 d = 1/3 时，a₁ = 1 - 2/3 = 1/3；当 d = 1/5 时，a₁ = 1 - 2/5 = 3/5。
虽然公差由 1/3 减小到 1/5 时首项由 1/3 增大到 3/5，但这是由"和为定值 5"这一约束共同决定的，不能说"公差变小则首项一定变大"。事实上，若题目只给定公差而未限制和，公差的大小与首项之间并无必然联系；只有在 S₅ = 5 的条件下才有 a₁ = 1 - 2d，此时公差减小才导致首项增大。
（3）等差数列从第 2 项起，每一项比前一项多 d，第 n 项比第 1 项共多了 (n - 1) 个 d，故通项为 aₙ = a₁ + (n - 1)d，而不是 a₁ + nd。
若误写为 aₙ = a₁ + nd，由第（1）问 a₁ = d = 1/3，会得到 a₃ = 1/3 + 3×(1/3) = 4/3，而正确值为 1；且此时令 n = 1 会得到 a₁ = a₁ + d，与 d ≠ 0 矛盾，说明多加了一个 d。
解析：本题以《九章算术》"衰分"（按等级差别分配）为情境，考查等差数列的概念、通项公式与前 n 项和公式，以及"n - 1"这一易错点的辨析。
关键步骤：先由 S₅ = 5a₁ + 10d = 5 建立 a₁ 与 d 的关系，再代入求通项。
易错点：①求和公式误写为 S₅ = 5a₁ + 5d 或 5a₁ + 15d；②通项公式中把 (n - 1)d 误写为 nd，导致第 3 项多算一个公差；③第（2）问容易凭直觉答"正确"，忽略了"公差与首项的关系必须结合其他条件（此处为总和为 5）才能确定"，这正是概念辨析的核心；④第（3）问要求说理，考生应从"第 n 项比首项多 (n - 1) 个公差"这一结构上解释，而非仅背公式。
8解答题
《庄子·天下》有"一尺之棰，日取其半，万世不竭"之说，意为一尺长的木棰，每天截取前一天剩下的一半，永远取不完。
（1）设木棰长度为 1 尺，记第 n 天截取后木棰的剩余长度为 bₙ，写出数列 {bₙ} 的前 4 项，并判断 {bₙ} 是等差数列还是等比数列，说明理由；
（2）求前 n 天截取的长度总和 Sₙ，并由此说明"万世不竭"的数学含义；
（3）在（2）的求和过程中，若公比 q = 1，还能否直接使用公式 Sₙ = a₁(1 - qⁿ)/(1 - q)？请说明 q = 1 时 {bₙ} 的前 n 项和应如何单独讨论，并指出这一分类讨论的必要性。
答案：（1）第 1 天截取后剩余 b₁ = 1/2；第 2 天剩余 b₂ = 1/4；第 3 天剩余 b₃ = 1/8；第 4 天剩余 b₄ = 1/16。
因为 bₙ₊₁/bₙ = 1/2（n ∈ N*）为常数，所以 {bₙ} 是首项为 1/2、公比为 1/2 的等比数列，通项公式为 bₙ = (1/2)ⁿ（或 bₙ = 1/2 × (1/2)ⁿ⁻¹）。
注意：{bₙ} 不是等差数列，因为相邻两项之差 b₂ - b₁ = -1/4，b₃ - b₂ = -1/8，不为常数。
（2）前 n 天截取的长度总和等于 1 减去剩余长度，即 Sₙ = 1 - bₙ = 1 - (1/2)ⁿ。
也可直接求和：截取量构成首项 1/2、公比 1/2 的等比数列，Sₙ = (1/2)[1 - (1/2)ⁿ]/(1 - 1/2) = 1 - (1/2)ⁿ。
"万世不竭"的数学含义是：无论取多少天，Sₙ = 1 - (1/2)ⁿ < 1 恒成立，即截取总长度永远小于木棰原长 1 尺，但当 n → ∞ 时 Sₙ → 1，即剩余长度 (1/2)ⁿ → 0，可无限接近 1 却永远取不完。
（3）不能。当 q = 1 时，公式 Sₙ = a₁(1 - qⁿ)/(1 - q) 的分母 1 - q = 0，公式无意义，必须单独讨论：
若 q = 1，则数列各项均为 a₁，前 n 项和 Sₙ = na₁；
若 q ≠ 1，则 Sₙ = a₁(1 - qⁿ)/(1 - q)。
分类讨论的必要性在于：等比数列的定义只要求公比为常数，q = 1 是完全合法的情形（此时为常数列），求和公式却在 q = 1 处失效，若不单独讨论就会漏解或出现除以零的错误。
解析：本题以《庄子》"一尺之棰"为情境，重点考查等比数列的判定、通项与前 n 项和公式，以及"q = 1 需单独讨论"这一核心易错点的概念辨析。
关键步骤：先由"每天取前一天剩下的一半"确定相邻项之比为常数 1/2，判定为等比数列，再用求和公式或"总量减剩余"两种方法求 Sₙ。
易错点：①把 {bₙ} 误判为等差数列，只看到"每天都在减少"，未验证"差为常数"；②把 bₙ 写成 (1/2)ⁿ⁻¹，忽略 b₁ 已是截取一次后的剩余量；③求和公式中把指数 n 与 n - 1 混淆，写出 Sₙ = 1 - (1/2)ⁿ⁻¹；④第（3）问若直接套公式而不讨论 q = 1，会出现分母为零，说明考生对等比数列求和公式的适用条件理解不透，这正是本题辨析的重点。