1选择题
某市为鼓励新能源汽车消费，对购车补贴金额进行调整。经测算，补贴金额（单位：万元）与当月新能源汽车销量（单位：千辆）之间满足函数关系 f(x) = x³ - 3x² + 4（0 ≤ x ≤ 3），其中 x 为当月销量。根据 f(x) 在区间 [0，3] 上的单调性，下列说法正确的是（ ）。
- A. f(x) 在 [0，2] 上单调递增，在 [2，3] 上单调递减
- B. f(x) 在 [0，2] 上单调递减，在 [2，3] 上单调递增
- C. f(x) 在 [0，3] 上单调递增
- D. f(x) 在 [0，3] 上单调递减
答案：B
解析：求导得 f′(x) = 3x² - 6x = 3x(x - 2)。令 f′(x) = 0，得驻点 x = 0 或 x = 2。在区间 (0，2) 上，x > 0 且 x - 2 < 0，故 f′(x) < 0，f(x) 单调递减；在区间 (2，3) 上，x > 0 且 x - 2 > 0，故 f′(x) > 0，f(x) 单调递增。易错点：一是求导公式出错，把 x³ 的导数误记为 3x（应为 3x²）；二是忘记提取公因式后讨论各因式符号，误判单调区间。结论与选项 B 一致。故选B。
2选择题
为落实节能减排，某市新闻报道了新型节能灯具的推广情况。设在推广后的第 x 个月，该灯具的月销量（单位：万只）为 f(x)=x³-6x²+9x+2（x≥0）。根据 f(x) 的单调性判断，该灯具月销量开始持续下降的月份区间是（ ）
- A. (0，1) 与 (3，+∞)
- B. (1，3)
- C. (0，2)
- D. (2，+∞)
答案：B
解析：求导得 f′(x)=3x²-12x+9=3(x-1)(x-3)。令 f′(x)>0，得 x<1 或 x>3，此时 f(x) 单调递增；令 f′(x)<0，得 1<x<3，此时 f(x) 单调递减。故月销量开始持续下降的区间为 (1，3)。易错点：一是求导公式或因式分解出错，把 f′(x) 写成 3x²-12x+9 之外的形式；二是解不等式 3(x-1)(x-3)<0 时方向搞反，误认为 (0，1) 与 (3，+∞) 是递减区间；三是误把导数为零的点 x=1、x=3 当作单调区间本身。故选B。
3选择题
据新闻报道，某新能源汽车企业近 5 个月的广告投入 x（单位：百万元）与当月销量 y（单位：百辆）的统计数据如下表：
月份 第1月 第2月 第3月 第4月 第5月
---- ----- ----- ----- ----- -----
x 1 2 3 4 5
y 3 5 6 8 10
由最小二乘法求得 y 关于 x 的线性回归方程为 ŷ=b̂x+â，则 â+b̂ 的值为（ ）
答案：B
解析：易错点：① 求 x̄、ȳ 时算术出错；② 计算 Σ(xᵢ-x̄)(yᵢ-ȳ) 时漏项或符号出错；③ 求截距时误用 â=ȳ-b̂ 或 â=ȳ+b̂x̄，正确应为 â=ȳ-b̂x̄；④ 题目问的是 â+b̂，不是回归方程本身，注意最后一步相加。故选B。
4选择题
某市为推广新能源汽车，对购车用户发放消费补贴。已知某款新能源汽车的月销售量 y（单位：百辆）与补贴金额 x（单位：万元，x > 0）之间的关系为 y = x + 16/x。若要使月销售量 y 取得最小值，则补贴金额 x 应定为（ ）
- A. 2 万元
- B. 4 万元
- C. 8 万元
- D. 16 万元
答案：B
解析：本题以新能源汽车补贴为情境，考查利用导数求函数最小值。
求导：y′ = 1 - 16/x² = (x² - 16)/x² = (x - 4)(x + 4)/x²。
令 y′ = 0，因 x > 0，得 x = 4。
当 0 < x < 4 时，x² - 16 < 0，故 y′ < 0，函数单调递减；当 x > 4 时，x² - 16 > 0，故 y′ > 0，函数单调递增。
因此 x = 4 是极小值点，也是 (0, +∞) 上的最小值点，此时 y = 4 + 16/4 = 8（百辆）。
故补贴金额应定为 4 万元。
易错点：① 求导公式记错，将 16/x 的导数误写为 16（正确应为 -16/x²）；② 忽略 x > 0 的条件，误选 x = -4 或误认为 x = 0 可取；③ 混淆「极小值点」与「极小值」，x = 4 是极小值点，极小值是 y = 8，题目问的是 x 的值，故答案为 4 而非 8，易误选 C。
故选 B。
5填空题
为推广节能家电，某平台对一款节能冰箱的销售利润进行建模。已知销售利润 f(x) = x³ - 3x² + 9（单位：千元），其中 x 为月销售量（单位：百台，0 ≤ x ≤ 3）。则 f(x) 的极大值为 ______，极小值为 ______。
答案：f′(x) = 3x² - 6x = 3x(x - 2)。令 f′(x) = 0，得 x = 0 或 x = 2。当 0 < x < 2 时 f′(x) < 0，f(x) 递减；当 2 < x < 3 时 f′(x) > 0，f(x) 递增。在 x = 0 处，导数由正变负（左侧区间不在定义域内，但 x = 0 为端点且 f 在 (0，2) 递减），故 f(0) = 9 为极大值；在 x = 2 处，导数由负变正，故 f(2) = 8 - 12 + 9 = 5 为极小值。答案：极大值 9，极小值 5。
解析：本题考查用导数求函数极值的基本步骤：先求导，再找驻点，最后判断驻点两侧导数符号是否改变。易错点：一是求导后忘记因式分解，直接代数判断符号易错；二是误认为导数为零就一定是极值点（本题 x = 0 为定义域端点，需结合单调性判断，属于「导数为零不一定是极值点」的延伸易错）；三是代入计算 f(2) 时把 2³ 算成 6，导致极小值算错。
6解答题
为推进新能源汽车普及，某市交通运输部门对一条主干道上新能源汽车的平均通行速度进行了监测。已知在某时段内，一辆新能源汽车的位移 s（单位：m）与时间 t（单位：s）的函数关系为 s(t) = t³ - 3t² + 9t（0 ≤ t ≤ 5）。
（1）求该汽车在 t = 2 s 时的瞬时速度，并说明其物理意义；
（2）求该汽车在区间 [0, 5] 上速度 v(t) 的最小值，并求出此时对应的时间 t；
（3）利用牛顿—莱布尼茨公式计算定积分 ∫[0, 2] v(t) dt，说明该结果的实际意义。
答案：解：（1）由 s(t) = t³ - 3t² + 9t，得 s'(t) = 3t² - 6t + 9。
当 t = 2 时，s'(2) = 3 × 2² - 6 × 2 + 9 = 12 - 12 + 9 = 9，
故 t = 2 s 时的瞬时速度为 9 m/s。
物理意义：瞬时速度是位移函数在 t = 2 处的导数值，表示汽车在第 2 s 附近运动快慢的程度。
（2）v(t) = s'(t) = 3t² - 6t + 9 = 3(t - 1)² + 6。
由 v'(t) = 6t - 6 = 6(t - 1)：
当 0 ≤ t < 1 时，v'(t) < 0，v(t) 单调递减；
当 1 < t ≤ 5 时，v'(t) > 0，v(t) 单调递增。
故 v(t) 在 t = 1 处取得最小值，最小值为 v(1) = 3 × (1 - 1)² + 6 = 6，
即速度最小值为 6 m/s，此时 t = 1 s。
（3）v(t) 的一个原函数为 V(t) = t³ - 3t² + 9t = s(t)，
由牛顿—莱布尼茨公式：
∫[0, 2] v(t) dt = s(2) - s(0) = (8 - 12 + 18) - 0 = 14。
实际意义：该定积分值等于汽车在前 2 s 内通过的位移，即 14 m。
解析：本题考查导数的物理意义、用导数研究函数的最值以及定积分（微积分基本定理）的计算。
（1）易错点：将平均速度当作瞬时速度，或求导后忘记代入 t = 2，忽略单位 m/s。
（2）易错点：只令 v'(t) = 0 得 t = 1 就直接下结论，未判断 v'(t) 在驻点两侧的符号变化，也未说明 t = 1 为何是极小值点（导数为零的点不一定是极值点，必须两侧变号）；另外 v(t) 本身是 s'(t)，再次求导时容易算错系数。
（3）易错点：将 ∫[0, 2] v(t) dt 误算为原函数在 t = 2 处的函数值 s(2) = 14 而不减 s(0)（本题 s(0) = 0 恰好掩盖该错误，但必须写出减去下限值这一步），或把定积分结果（常数 14）与原函数 s(t) 混淆。
7解答题
在“碳达峰、碳中和”目标推动下，某企业对一条生产线进行节能改造。设改造后每日的能耗成本为 f(x) 万元，其中 x（x > 0）表示日产量（单位：千件），且 f(x) = x - ln x。
（1）求 f(x) 的单调区间与极小值；
（2）请利用（1）的结论证明：当 x > 0 时，ln x ≤ x - 1；
（3）结合（2）的不等式，说明该生产线日产量 x 为何值时能耗成本最低，并写出最低成本。
答案：解：（1）f(x) 的定义域为 (0, +∞)。
f'(x) = 1 - 1/x = (x - 1)/x。
当 0 < x < 1 时，x - 1 < 0，x > 0，故 f'(x) < 0，f(x) 单调递减；
当 x > 1 时，x - 1 > 0，故 f'(x) > 0，f(x) 单调递增。
所以 f(x) 的单调递减区间为 (0, 1)，单调递增区间为 (1, +∞)。
又 f'(1) = 0，且 f'(x) 在 x = 1 两侧由负变正，故 x = 1 是极小值点，
极小值为 f(1) = 1 - ln 1 = 1 - 0 = 1（万元）。
（2）由（1）知，f(x) 在 x = 1 处取得最小值 f(1) = 1，
即对一切 x > 0，有 f(x) ≥ f(1) = 1，
即 x - ln x ≥ 1，移项得 ln x ≤ x - 1（x > 0），
当且仅当 x = 1 时等号成立。证毕。
（3）由（2）知 x - ln x ≥ 1，即能耗成本 f(x) ≥ 1（万元），
当且仅当 x = 1 时取等号。
故当日产量 x = 1 千件时，能耗成本最低，最低成本为 1 万元。
解析：本题考查利用导数求单调区间与极值，并用函数最值证明不等式，属于课本例题（证明 eˣ > 1 + x 的构造函数法）的直接变形。
（1）易错点：忘记标注定义域 x > 0；求导时把 ln x 的导数 1/x 记错或把 -ln x 的导数写成 -x；只令 f'(x) = 0 得 x = 1 就断言是极值，未判断两侧符号变化（导数为零的点不一定是极值点）。
（2）易错点：构造的函数在端点处值不为零导致比较困难（本题 f(1) = 1 恰为最小值，务必先求出最小值再与 f(x) 比较）；结论中漏写取等条件 x = 1。
（3）易错点：将 x = 1 误写为 x = 1 万件（单位应为千件），或漏答最低成本的具体数值。
8解答题
为落实节能减排目标，某新能源企业研发了一种新型储能设备。已知该设备连续 x 个月（x 为正整数，1 ≤ x ≤ 12）的累计收益（单位：万元）为 f(x) = x³ - 6x² + 9x + 2，其中 x 表示投产后的第 x 个月。
(1) 求 f(x) 的导函数 f′(x)，并求出 f(x) 的单调递增区间与单调递减区间；
(2) 求 f(x) 在区间 [0, 4] 上的最大值与最小值；
(3) 根据第 (2) 问的结果，说明该设备投产后在第几个月收益增长最快（即 f′(x) 取得最大值），并求出此时的瞬时增长率。
答案：(1) f′(x) = 3x² - 12x + 9 = 3(x² - 4x + 3) = 3(x - 1)(x - 3)。
令 f′(x) > 0，得 x < 1 或 x > 3；令 f′(x) < 0，得 1 < x < 3。
故 f(x) 的单调递增区间为 (-∞, 1) 和 (3, +∞)，单调递减区间为 (1, 3)。
(2) 在区间 [0, 4] 上，f′(x) = 0 的驻点为 x = 1 和 x = 3，均在区间内。
计算各关键点函数值：
f(0) = 0 - 0 + 0 + 2 = 2，
f(1) = 1 - 6 + 9 + 2 = 6，
f(3) = 27 - 54 + 27 + 2 = 2，
f(4) = 64 - 96 + 36 + 2 = 6。
比较得：最大值为 f(1) = f(4) = 6，最小值为 f(0) = f(3) = 2。
(3) 由 (1) 知 f′(x) = 3(x - 1)(x - 3) = 3x² - 12x + 9，这是开口向上的二次函数，在 x = -(-12)/(2×3) = 2 处取得最小值，故 f′(x) 在区间 [0, 4] 的端点处取得最大值。
f′(0) = 9，f′(4) = 3×16 - 48 + 9 = 9，故 f′(x) 在 [0, 4] 上的最大值为 9，分别在 x = 0 和 x = 4 处取得。
结合 x 为正整数且 1 ≤ x ≤ 12，投产后第 4 个月（x = 4）收益增长最快，此时瞬时增长率为 9 万元/月。
解析：本题以新能源企业累计收益为情境，考查导数求单调区间、闭区间最值。
(1) 易错点：求导后忘记因式分解，直接解二次不等式易出错；写单调区间时误用并集符号「∪」连接两个区间，应分别写 (-∞, 1) 和 (3, +∞)，端点用开区间。
(2) 易错点：只比较驻点 x = 1、x = 3 的函数值，忘记与端点 x = 0、x = 4 的函数值比较，从而漏掉最大值 f(4) = 6；混淆「极大值」与「最大值」概念。
(3) 易错点：误认为 f′(x) 的最大值在驻点 x = 2 处取得，实际上 f′(x) 是开口向上的二次函数，x = 2 是其最小值点；另外需注意题中 x 的取值范围是正整数，故取 x = 4 而非 x = 0。