1选择题
将 5 名同学分成三组参加三项不同的社会实践活动，其中一组 2 人、另两组各 1 人，每组各负责一项活动，则不同的分配方案共有（ ）种。
答案：B
解析：分两步完成：
第一步，从 5 人中选出 2 人组成二人组，剩下 2 人各成一组，选法有 C(5,2) = 10 种；
第二步，把这 3 个组分配到 3 项不同的活动上（活动不同，故组与活动的对应顺序有意义），有 A(3,3) = 6 种。
由分步乘法计数原理，共 10 × 6 = 60 种。
易错点：①误认为两个单人组相同而漏掉或重复考虑顺序，本题三项活动不同，三个组地位由所负责的活动区分，须再乘 A(3,3)；②误用 A(5,2) 选二人组，多算了组内顺序；③先分配活动再分组，容易重复计数。故选 B。
2选择题
从 4 名男生和 3 名女生中选出 3 人参加数学竞赛，要求既有男生又有女生，则不同的选法共有（ ）
- A. 18 种
- B. 30 种
- C. 34 种
- D. 46 种
答案：B
解析：「既有男生又有女生」的选法需分类讨论（分类加法计数原理）：
第一类：1 男 2 女，选法数为 C₄¹ × C₃² = 4 × 3 = 12；
第二类：2 男 1 女，选法数为 C₄² × C₃¹ = 6 × 3 = 18。
由分类加法计数原理，共 12 + 18 = 30 种。
也可用间接法：C₇³ − C₄³ − C₃³ = 35 − 4 − 1 = 30。
易错点：①只算「1 男 2 女」或「2 男 1 女」其中一类，得 12 或 18；②直接算 C₇³ = 35，忘记排除「全为男生」「全为女生」的情形；③选人不排序，用排列 A₄¹A₃² 之类重复计顺序，导致结果偏大。选人组成一组不考虑顺序，应使用组合。故选 B。
3选择题
将 5 名同学（含甲、乙）平均分成两组，一组 2 人、另一组 3 人，其中甲、乙两人必须分在同一组，则不同的分组方法共有（ ）
- A. 3 种
- B. 4 种
- C. 6 种
- D. 10 种
答案：B
解析：由于甲、乙必须同组，分两类讨论：
第一类：甲、乙同在 2 人组。此时该组已满，其余 3 人自动组成 3 人组，只有 1 种分法。
第二类：甲、乙同在 3 人组。此时还需从其余 3 人中选 1 人加入该组，剩下 2 人组成 2 人组，有 C(3,1) = 3 种分法。
由分类加法计数原理，共 1 + 3 = 4 种。
易错点：一是误用排列或乘法原理重复计数（例如把 2 人组与 3 人组看作有编号的位置再除以 2，或直接算 A(3,1)×2）；二是忽略「甲、乙同在 2 人组」这一类，只算出 3 种而误选 A。本题两组人数不同，组本身无序，不需要再除以 2，直接按分类加法计数即可。故选B。
4填空题
已知函数 f(x) = eˣ - ax - 1（a 为常数）。若 f(x) 在 R 上有且只有一个零点，则实数 a 的取值集合为 ________。
答案：a 的取值集合为 (-∞, 0] ∪ {1}。
解：f(0) = e⁰ - a×0 - 1 = 0，故 x = 0 恒为 f(x) 的一个零点。
f′(x) = eˣ - a。
① 若 a ≤ 0，则 f′(x) = eˣ - a > 0 对一切 x ∈ R 成立，f(x) 在 R 上严格递增。严格单调函数至多有一个零点，而 x = 0 已是零点，故 f(x) 有且只有一个零点，符合题意。
② 若 a > 0，令 f′(x) = 0 得 x = ln a。f(x) 在 (-∞, ln a) 上递减，在 (ln a, +∞) 上递增，最小值为 f(ln a) = a - a ln a - 1。
若 a = 1，最小值 f(0) = 0，且 x = 0 是唯一取得最小值的点，故 f(x) 有唯一零点 x = 0，符合题意。
若 a > 0 且 a ≠ 1，记 g(a) = a - a ln a - 1，则 g′(a) = -ln a，g(a) 在 (0, 1) 递增、在 (1, +∞) 递减，最大值 g(1) = 0，故当 a ≠ 1 时 g(a) = a - a ln a - 1 < 0，即 f(ln a) < 0。又 x → -∞ 时 f(x) → -1 < 0，x → +∞ 时 f(x) → +∞，故 f(x) 在 (ln a, +∞) 内有一个零点，同时由 f(0) = 0 且当 a ≠ 1 时 0 ≠ ln a 知零点不止一个，不合题意。
综上，a ∈ (-∞, 0] ∪ {1}。
解析：本题考查用导数研究函数零点个数，属于课本例题的直接变形。
思路：先由 f(0) = 0 发现零点恒存在，再借助 f′(x) = eˣ - a 判断单调性与最小值，把「唯一零点」转化为最小值是否为 0。
易错点：① 忽略对参数 a 分类讨论，尤其是 a ≤ 0 时 eˣ - a > 0 恒成立这一关键；② 代入 x = ln a 后算错最小值，应为 f(ln a) = a - a ln a - 1，而不是 a - 1；③ 只算出 a = 1 就停止，漏掉 a ≤ 0 的整段情形；④ 误以为 a > 0 时只要最小值 ≤ 0 就唯一，忘记还要与 x = 0 这个零点比较，导致多取或漏取。
结论：a 的取值集合为 (-∞, 0] ∪ {1}。
5解答题
已知 (x + 2/√x)ⁿ 的展开式中，第 3 项与第 5 项的二项式系数相等。
(1) 求 n 的值；
(2) 求该展开式中含 x² 项的系数；
(3) 求该展开式中所有项的系数之和。
答案：(1) 第 3 项的二项式系数为 C(n,2)，第 5 项的二项式系数为 C(n,4)。由 C(n,2) = C(n,4)，得 n(n-1)/2 = n(n-1)(n-2)(n-3)/24，即 (n-2)(n-3) = 12，n² - 5n - 6 = 0，解得 n = 6 或 n = -1（舍去）。故 n = 6。
(2) 通项 T(r+1) = C(6,r) · x^(6-r) · (2/√x)^r = C(6,r) · 2^r · x^(6-r-r/2) = C(6,r) · 2^r · x^(6 - 3r/2)。
令 6 - 3r/2 = 2，得 r = 8/3，不是非负整数，故展开式中不存在含 x² 的项，即含 x² 项的系数为 0。
(3) 令 x = 1，得所有项的系数之和为 (1 + 2)⁶ = 3⁶ = 729。
解析：第(1)问关键：二项式系数指 C(n,k)，与该项中字母的系数无关，易错点是把「第3项与第5项的二项式系数相等」误当作「系数相等」而代入 2^r 计算。由 C(n,2)=C(n,4) 利用组合数性质也可直接得 2+4=n，即 n=6。
第(2)问易错：通项中 x 的指数为 6 - r - r/2 = 6 - 3r/2，学生常漏掉 (2/√x)^r 中 √x 带来的 r/2，误得 r = 4 而错答 C(6,4)·2⁴ = 240。本题 6-3r/2=2 无整数解，正确结论是该项不存在，系数为 0。
第(3)问易错：「各项系数之和」令字母取 1 即可，得 (1+2)⁶ = 729；若误求「二项式系数之和」则得 2⁶ = 64，二者要分清。
6解答题
已知 (1 + 2x)⁶ = a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³ + a₄x⁴ + a₅x⁵ + a₆x⁶。
(1) 求 a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅ + a₆ 的值；
(2) 求展开式中含 x³ 项的系数 a₃；
(3) 求展开式中系数最大的项。
答案：(1) 令 x = 1，得 a₀ + a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅ + a₆ = (1 + 2)⁶ = 3⁶ = 729。
令 x = 0，得 a₀ = 1。
所以 a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅ + a₆ = 729 − 1 = 728。
(2) 由二项式定理，(1 + 2x)⁶ 的展开式第 k + 1 项为 C₆ᵏ · 1⁶⁻ᵏ · (2x)ᵏ = C₆ᵏ · 2ᵏ · xᵏ。
含 x³ 项对应 k = 3，系数 a₃ = C₆³ × 2³ = 20 × 8 = 160。
(3) 通项系数为 C₆ᵏ · 2ᵏ（k = 0, 1, …, 6），依次为 1, 12, 60, 160, 240, 192, 64。
其中最大值为 240，对应 k = 4，故系数最大的项为 240x⁴。
解析：(1) 易错点：只代入 x = 1 得到 729 就作答，忘记减去常数项 a₀ = 1，导致误答 729。求「不含常数项的系数和」一定要先求 a₀ 再相减。
(2) 易错点：①忘记乘 2³，误答 C₆³ = 20；②混淆「第 3 项」与「含 x³ 的项」——第 k + 1 项中 x 的次数是 k，故 x³ 项是第 4 项而非第 3 项。
(3) 易错点：误认为「系数最大项」就是二项式系数 C₆ᵏ 最大的中间项 C₆³ = 20 对应的项；本题含 2ᵏ 因子，须逐项比较系数 C₆ᵏ·2ᵏ，最大为 k = 4 时的 240x⁴。区分「二项式系数最大」与「系数最大」是本题关键。
7解答题
已知 (2x + 1/x²)ⁿ 的展开式中，第 3 项与第 5 项的二项式系数相等。
（1）求 n 的值；
（2）求展开式中的常数项；
（3）求展开式中所有项的系数之和。
答案：（1）展开式中第 k+1 项的二项式系数为 C(n,k)，故第 3 项（k=2）的二项式系数为 C(n,2)，第 5 项（k=4）的二项式系数为 C(n,4)。由 C(n,2) = C(n,4)，得 2 + 4 = n，故 n = 6。
（2）通项 T(r+1) = C(6,r)·(2x)^(6-r)·(1/x²)^r = C(6,r)·2^(6-r)·x^(6-3r)。令 6-3r = 0，得 r = 2。故常数项为 C(6,2)·2⁴ = 15 × 16 = 240。
（3）令 x = 1，得展开式所有项的系数之和为 (2×1 + 1/1²)⁶ = 3⁶ = 729。
解析：第（1）问关键是分清「二项式系数」与「项的系数」：第 3 项对应 r=2，第 5 项对应 r=4，由 C(n,2)=C(n,4) 及组合数性质 C(n,k)=C(n,n-k) 得 2+4=n=6，易错点是把项数 k 直接当作 r（第 3 项应取 r=2 而非 3）。第（2）问必须正确写出通项并化简：(1/x²)^r = x^(−2r)，所以 x 的指数是 (6−r)−2r = 6−3r，令其为 0 得 r=2；易错点是指数运算出错（误写成 6−2r）或把 2 的指数误写为 r（应为 6−r=4），以及漏乘组合数。第（3）问用赋值法，令 x=1 得各项系数之和为 3⁶=729，易错点是误答为二项式系数之和 2⁶=64，二者含义不同。
8解答题
已知函数 f(x) = x³ - 3ax² + 3a²x + 1（a 为常数）。
（1）当 a = 2 时，求 f(x) 的单调递增区间；
（2）若 f(x) 在区间 [1, 2] 上单调递减，求实数 a 的取值范围。
答案：（1）当 a = 2 时，f(x) = x³ - 6x² + 12x + 1，
f′(x) = 3x² - 12x + 12 = 3(x² - 4x + 4) = 3(x - 2)²。
因为 3(x - 2)² ≥ 0 对一切 x ∈ R 成立，且仅在 x = 2 处为 0，所以 f′(x) ≥ 0，f(x) 在 R 上单调递增。
故 f(x) 的单调递增区间为 (-∞, +∞)（即 R）。
（2）f′(x) = 3x² - 6ax + 3a² = 3(x - a)²。
要使 f(x) 在 [1, 2] 上单调递减，需 f′(x) ≤ 0 对一切 x ∈ [1, 2] 成立（且不在该区间内任一子区间上恒为 0 以外的正数）。
由于 f′(x) = 3(x - a)² ≥ 0 恒成立，故 f′(x) ≤ 0 在 [1, 2] 上成立当且仅当 f′(x) = 0 对一切 x ∈ [1, 2] 成立，即 3(x - a)² = 0 对一切 x ∈ [1, 2] 成立，这要求 a 同时等于 [1, 2] 中的每一个 x，不可能。
进一步，若 a ∉ [1, 2]，则 (x - a)² > 0 对一切 x ∈ [1, 2] 成立，f′(x) > 0，f(x) 在 [1, 2] 上严格递增，不合题意；若 a ∈ [1, 2]，则 f′(x) ≥ 0 且 f′(x) 仅在 x = a 处为 0，f(x) 在 [1, 2] 上仍为递增，不合题意。
综上，不存在实数 a 使 f(x) 在 [1, 2] 上单调递减，即 a 的取值范围为空集 ∅。
解析：本题考查利用导数判断函数单调性，属于课本例题「求 f(x) = 2x³ - 9x² + 12x + 3 单调递增区间」的同类变形。
思路：求导得 f′(x) = 3(x - a)²，发现它是完全平方式，非负恒成立，这是全题的关键突破口。
易错点：① 求导后忘记因式分解，直接解二次不等式，容易算错；② 看到「单调递减」就想当然地令 f′(x) < 0 求 a，而没有注意到 f′(x) 恒非负这一事实，从而给出错误的范围；③ 把「单调递减」与「f′(x) ≤ 0」混为一谈时漏掉检验：本题 f′(x) ≤ 0 在 [1, 2] 上只能恒等于 0，而 3(x - a)² 不能在整个区间上恒为 0；④ 第（1）问写单调递增区间时，误以为 x = 2 是极值点、把区间拆成两段并用并集连接，实际上 f′(x) ≥ 0 且只有孤立零点，f(x) 在 R 上单调递增，应写成 (-∞, +∞) 或 R。
结论：（1）单调递增区间为 (-∞, +∞)；（2）实数 a 的取值范围为空集 ∅。