1选择题
为保护某濒危鸟类，自然保护区在繁殖季对鸟卵孵化情况进行监测。已知某批次鸟卵的孵化天数 X 服从正态分布 N(24, σ²)，且 P(X > 27) = 0.15。若一枚鸟卵的孵化天数在 21 天到 27 天之间，则视为正常孵化。现随机抽取一枚该批次的鸟卵，其正常孵化的概率为（ ）
- A. 0.30
- B. 0.55
- C. 0.70
- D. 0.85
答案：C
解析：正态分布 N(24, σ²) 的曲线关于 x = 24 对称。由对称性，P(X < 21) = P(X > 27) = 0.15。故 P(21 < X < 27) = 1 - P(X ≤ 21) - P(X ≥ 27) = 1 - 0.15 - 0.15 = 0.70。易错点：一是忽略对称性，误认为 P(X < 21) 与 P(X > 27) 不相等；二是把 σ² 当成 σ 使用，或在对称转化时把对称轴误认为 0；三是忘记两侧都要减去尾部概率，只减一次导致选 D（0.85）。故选C。
2选择题
某湿地生态修复工程需检验一批生态浮岛的抗风性能。每座浮岛通过检验的概率为 0.8，且各浮岛是否通过检验相互独立。现从该批中随机抽取 5 座浮岛进行检验，记通过检验的浮岛数为 X。下列说法正确的是（ ）
- A. X 服从二项分布 B(5, 0.8)，且 E(X) = 4，D(X) = 0.8
- B. X 服从二项分布 B(5, 0.2)，且 E(X) = 1，D(X) = 0.8
- C. X 服从二项分布 B(5, 0.8)，且 E(X) = 4，D(X) = 3.2
- D. X 服从二项分布 B(5, 0.8)，且 E(X) = 5，D(X) = 0.8
答案：A
解析：每座浮岛通过检验的概率均为 0.8，各次检验相互独立，共做 5 次独立重复试验，故 X 服从二项分布 B(5, 0.8)。期望 E(X) = np = 5 × 0.8 = 4；方差 D(X) = np(1 - p) = 5 × 0.8 × 0.2 = 0.8。易错点：一是把成功概率错记为 0.2，导致选 B；二是把方差算成 np = 4 或 np² 等错误形式，如选 C 是把 5 × 0.8 × 0.8 = 3.2 误当作方差（少乘了 1 - p）；三是把期望误写成 n = 5，导致选 D。故选A。
3选择题
为评估某湿地自然保护区的生态修复效果，工作人员在修复区内布设了8台红外相机，每台相机在一个监测周期内拍到珍稀水鸟的概率均为0.5，且各相机是否拍到相互独立。另从保护区周边村庄随机抽取5户农户调查环保宣传知晓情况，已知这5户中有2户未收到宣传单。设 X 为8台相机中拍到珍稀水鸟的台数，Y 为抽取的5户中未收到宣传单的户数。下列说法正确的是（ ）
- A. X 服从二项分布 B(8, 0.5)，且 E(X)=4，D(X)=2
- B. X 服从二项分布 B(8, 0.5)，但 E(X)=4，D(X)=4
- C. Y 服从二项分布 B(5, 0.4)，且 E(Y)=2
- D. X 与 Y 都服从二项分布，且 E(X)=E(Y)
答案：A
解析：先判断模型：每台相机是否拍到相互独立、概率恒为0.5，n=8 次独立重复试验，故 X~B(8, 0.5)，由二项分布期望与方差公式得 E(X)=np=8×0.5=4，D(X)=np(1-p)=8×0.5×0.5=2，A 正确，B 中方差误算为 np=4（把方差当成期望）错误。Y 的抽取是从有限总体（5户中2户未收到）不放回抽取，属于超几何分布而非二项分布，故 C、D 错误（虽然 E(Y)=5×2/5=2 数值上成立，但模型判断错误）。易错点：①混淆二项分布（有放回/独立重复）与超几何分布（不放回抽样）的适用条件；②把方差 np(1-p) 误记为 np。故选A。
4选择题
为评估某湿地生态修复效果，环保部门在修复区随机捕捉并标记后放归若干只珍稀水鸟。已知该湿地水鸟种群中，健康个体占比为 0.8，亚健康个体占比为 0.2。监测发现：健康个体在迁徙季成功返回湿地的概率为 0.9，亚健康个体成功返回的概率为 0.6。现从该种群中随机选取一只个体做追踪监测，则这只个体在迁徙季成功返回湿地的概率为（ ）
- A. 0.72
- B. 0.78
- C. 0.84
- D. 0.90
答案：C
解析：设事件 A 表示“个体成功返回湿地”，事件 B₁ 表示“个体健康”，事件 B₂ 表示“个体亚健康”。由题意 P(B₁)=0.8，P(B₂)=0.2，且 B₁、B₂ 两两互斥、并集为全集，构成完备事件组。又 P(A|B₁)=0.9，P(A|B₂)=0.6。由全概率公式：P(A)=P(B₁)P(A|B₁)+P(B₂)P(A|B₂)=0.8×0.9+0.2×0.6=0.72+0.12=0.84。易错点：一是把条件概率与无条件概率混用，直接用 0.9 或 0.6 作答；二是漏掉亚健康个体这一支，只算 0.8×0.9=0.72 而误选 A；三是将两支概率相加后忘记乘以各自权重（错得 1.5 之类）。故选 C。
5填空题
某自然保护区为研究林地郁闭度对鸟类筑巢成功率的影响，在6块样地中测得数据如下（郁闭度 x 单位为1，成功率 y 单位为%）：
样地 1 2 3 4 5 6
---- --- --- --- --- --- ---
x 0.2 0.4 0.5 0.6 0.8 1.0
y 30 38 40 44 50 56
经计算得 x̄=0.5833，ȳ=43，Σ(xᵢ-x̄)²=0.4083，Σ(xᵢ-x̄)(yᵢ-ȳ)=12.4。求 y 关于 x 的线性回归方程 ŷ=b̂x+â 中的 b̂ 与 â（结果保留两位小数），并据此估计郁闭度 x=0.7 时的筑巢成功率：b̂=______，â=______，估计成功率约为______%。
答案：b̂=Σ(xᵢ-x̄)(yᵢ-ȳ)/Σ(xᵢ-x̄)²=12.4÷0.4083≈30.37；â=ȳ-b̂x̄=43-30.37×0.5833≈43-17.72=25.28；故回归方程为 ŷ=30.37x+25.28。当 x=0.7 时，ŷ=30.37×0.7+25.28=21.26+25.28=46.54，即估计筑巢成功率约为46.5%。答：b̂≈30.37，â≈25.28，估计成功率约为46.5%。
解析：本题把一元线性回归方程的求解放入生态监测情境，考查公式 ŷ=b̂x+â 中系数的求法。第一步用最小二乘公式 b̂=Σ(xᵢ-x̄)(yᵢ-ȳ)/Σ(xᵢ-x̄)²，代入题给汇总数据即可，避免逐项求和出错；第二步求截距必须用 â=ȳ-b̂x̄，易错点是误写成 â=ȳ-b̂ 或 â=ȳ+b̂x̄，或把 b̂ 与 â 的位置写反；第三步代入 x=0.7 作预测，注意 y 的单位是%，不要漏写单位或小数点。检验：x=0.5 时 ŷ=30.37×0.5+25.28=40.47，与实测40接近，回归方程合理。
6填空题
某湿地生态修复工程中，科研人员监测一种水生植物的株高（单位：cm）。已知该植物株高 X 服从正态分布 N(μ, σ²)，且 P(X ≤ 30) = 0.2，P(30 < X ≤ 50) = 0.6。由正态曲线关于直线 x = μ 对称，可得 μ = ________，P(X > 50) = ________。
答案：μ = 40；P(X > 50) = 0.2。
【解析】由已知 P(X ≤ 30) = 0.2，P(30 < X ≤ 50) = 0.6，得
P(X ≤ 50) = P(X ≤ 30) + P(30 < X ≤ 50) = 0.2 + 0.6 = 0.8，
于是 P(X > 50) = 1 - P(X ≤ 50) = 1 - 0.8 = 0.2。
又因为正态分布 N(μ, σ²) 的密度曲线关于直线 x = μ 对称，故 P(X ≤ μ) = P(X > μ) = 0.5。
由于 P(X ≤ 30) = 0.2 < 0.5 < 0.8 = P(X ≤ 50)，可知 30 < μ < 50。
又 P(X ≤ 30) = 0.2 与 P(X > 50) = 0.2 相等，即
P(X ≤ 30) = P(X > 50) = P(X ≤ 2μ - 50)（由对称性，50 关于 μ 的对称点为 2μ - 50）。
由正态分布的严格单调性，30 = 2μ - 50，解得 μ = 40。
（也可直接由对称性：30 与 50 关于 μ 对称，故 μ = (30 + 50)/2 = 40。）
解析：本题将正态分布的对称性放入生态监测情境，考查两个核心：① 正态曲线关于 x = μ 对称，故 P(X ≤ μ) = 0.5，且对称点满足 x₁ + x₂ = 2μ；② 由分布列/分布函数的概率求和关系，P(X > 50) = 1 - P(X ≤ 50)。易错点：一是把 P(30 < X ≤ 50) = 0.6 直接当作 P(X > 50)，忽略互补关系；二是记不清正态曲线的对称轴是 x = μ 而非 x = 0，或不会用「两数关于 μ 对称则其平均数为 μ」这一性质；三是忘记正态分布中 P(X ≤ μ) = 0.5 这一隐含条件，无法确定 μ 的范围。本题数据全新设计，与教辅常见「P(X ≤ 4) = 0.84 且 μ = 3」等套题不同，突出对称性的灵活运用。
7解答题
某自然保护区为监测一种珍稀候鸟的繁殖情况，在其栖息的湿地中随机布设了若干处隐蔽观测点。已知每处观测点在一个繁殖季内成功记录到该候鸟筑巢的概率为 0.4，且各观测点的记录结果相互独立。
（1）若保护区共布设 5 处观测点，设成功记录到筑巢的观测点数为 X，求 X 的分布列、E(X) 与 D(X)，并说明方差所反映的实际意义；
（2）为提高监测成功率，保护区规定：至少要有 2 处观测点成功记录到筑巢，才判定该繁殖季
答案：（1）由题意，X 服从二项分布 B(5, 0.4)，X 的可能取值为 0, 1, 2, 3, 4, 5。
P(X = k) = C(5, k) × 0.4ᵏ × 0.6⁵⁻ᵏ，k = 0, 1, 2, 3, 4, 5。
分布列如下：
X 0 1 2 3 4 5
- ------- ------ ------ ------ ------ -------
P 0.07776 0.2592 0.3456 0.2304 0.0768 0.01024
验证：0.07776 + 0.2592 + 0.3456 + 0.2304 + 0.0768 + 0.01024 = 1。
E(X) = np = 5 × 0.4 = 2；
D(X) = np(1 - p) = 5 × 0.4 × 0.6 = 1.2。
实际意义：方差 D(X) = 1.2 反映了成功记录数 X 围绕其平均值 2 的波动程度；方差越小，说明各繁殖季的监测结果越稳定，越接近平均水平。
（2）由（1）分布列，
P(X ≥ 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1) = 1 - 0.07776 - 0.2592 = 0.66304。
答：该繁殖季判定为
解析：本题考查二项分布的识别、分布列、期望与方差，属于知识迁移题：将二项模型放入
8解答题
某自然保护区为治理入侵植物，引进一种天敌昆虫进行生物防治。根据长期观测，一只天敌昆虫在一次放归后成功定殖（即建立稳定种群）的概率为 1/4，且各次放归相互独立。保护区计划连续放归 4 只天敌昆虫，用随机变量 X 表示成功定殖的昆虫只数。
（1）求 X 的分布列，并指出 X 服从的分布类型；
（2）求 X 的期望 E(X) 与方差 D(X)，并据此说明该防治方案的稳定性；
（3）已知每只成功定殖的天敌昆虫可使入侵植物覆盖面积平均减少 12 公顷，未定殖的则无效果，且各只昆虫效果相互独立。求入侵植物覆盖面积减少量的期望。
（4）若将放归只数增加到 8 只（成功定殖概率仍为 1/4），记成功定殖只数为 Y，试比较 X 与 Y 的方差大小，并说明哪一个方案的防治效果更稳定。
答案：（1）由题意，每次放归成功定殖的概率 p=1/4，相互独立，故 X 服从二项分布 B(4, 1/4)，X 的可能取值为 0,1,2,3,4。
P(X=k)=C(4,k)(1/4)^k(3/4)^(4-k)，k=0,1,2,3,4。
分布列：
X 0 1 2 3 4
- ------ ------- ------ ------ -----
P 81/256 108/256 54/256 12/256 1/256
验算：81+108+54+12+1=256，概率之和为 1，符合分布列要求。
（2）由二项分布期望、方差公式：E(X)=np=4×(1/4)=1，D(X)=np(1-p)=4×(1/4)×(3/4)=3/4。
说明：平均每次方案成功定殖 1 只，方差 3/4 较小，说明成功只数波动不大，防治效果相对稳定；但期望仅为 1，说明单次方案预期效果有限。
（3）设减少面积为 Z=12X，则 E(Z)=12E(X)=12×1=12（公顷）。
（4）Y 服从 B(8, 1/4)，D(Y)=8×(1/4)×(3/4)=3/2。因为 D(X)=3/4 < 3/2=D(Y)，故 4 只方案的方差更小、更稳定；但 8 只方案的期望 E(Y)=8×(1/4)=2 更大，预期防治效果更强，属于“效果更强但波动更大”的取舍。若以稳定性为首要目标选 4 只方案，若以预期效果为首要目标选 8 只方案。
解析：本题考查离散型随机变量的分布列、二项分布的期望与方差，以及期望的线性性质在生态治理情境中的迁移应用。第（1）问易错点：①识别不出二项分布条件（n 次独立重复试验、每次概率恒为 p），误用其他模型；②分布列概率之和不等于 1，例如漏算 k=0 一项或组合数算错；③把 (1/4)^k 与 (3/4)^(4-k) 的指数写反。第（2）问易错点：把方差公式误记为 np² 或 np(1+p)；只写期望不作稳定性说明，导致丢分。第（3）问关键在于利用 E(aX)=aE(X) 的线性性质，避免先展开逐项计算。第（4）问易错点：误认为样本量越大方差越小（实则二项分布方差 np(1-p) 随 n 增大而增大），或只比较期望而忽略方差，无法回答“稳定性”问题。