1选择题
《九章算术》中记载了大量成对出现的度量数据，古人常据此归纳规律。今有下列四个关于成对数据统计分析的说法：
① 对一组成对数据作散点图，若点从左下向右上呈上升趋势，则两个变量正相关；
② 相关系数 r = -0.9 说明两个变量几乎不相关，因为 r 是负数；
③ 由一组身高与体重的成对数据求得回归方程后，可用该方程由身高预报体重，因此身高高是体重大的原因；
④ 在独立性检验中，卡方统计量的观测值越大，两个分类变量有关联的把握越大。
其中正确说法的个数为（ ）
答案：B
解析：逐一辨析四个说法：① 散点图中点呈上升趋势即为正相关，正确；② 相关系数的正负表示相关方向，负号表示负相关，判断相关性强弱应看 |r|，|r| = 0.9 接近 1，说明是强的负相关，故②错误；③ 回归方程只能用于由 x 预报 y，相关关系不等于因果关系，身高高不是体重大的原因，故③错误；④ 独立性检验中卡方统计量的观测值越大，说明两个分类变量有关联的证据越强，正确。综上，正确的说法是①④，共 2 个。易错点：把相关系数的负号误认为“不相关”，以及把相关关系误当成因果关系。故选B。
2选择题
《孙子算经》是我国古代重要的数学典籍。某校为研究"学生每日诵读古文时长 x"与"古文默写正确率 y"的关系，随机抽取 10 名学生进行调查，得到相关系数 r = -0.88。同时，为研究"是否采用'日诵一章'古法"与"期末古文成绩是否优秀"是否有关联，整理得到如下 2×2 列联表：
成绩优秀 成绩不优秀 合计
---------- -------- ---------- ----
采用古法 30 10 40
未采用古法 15 25 40
合计 45 35 80
经计算得 χ² = 80 × (30×25 - 10×15)² ÷ (45×35×40×40) ≈ 8.48，已知 P(χ² ≥ 6.635) = 0.01，P(χ² ≥ 7.879) = 0.005。
下列说法正确的是
- A. 由 r = -0.88 可知，诵读古文时长越长，古文默写正确率越高
- B. 由 r = -0.88 可知，诵读时长与默写正确率呈强负相关，但不能据此断定二者存在因果关系
- C. 由 χ² ≈ 8.48 > 7.879，可在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下认为"是否采用古法"与"成绩是否优秀"无关
- D. 相关系数 r = -0.88 的绝对值小于 0.9，故二者线性相关性很弱，不能用回归方程作预测
答案：B
解析：逐项辨析：
A 项：r = -0.88 < 0，说明二者呈负相关，即时长越长、默写正确率反而呈下降趋势，A 项把负相关说成"越高"，方向错误。
B 项：|r| = 0.88 接近 1，说明线性相关性较强；但相关关系不等于因果关系，不能由 r 直接推出"诵读导致正确率变化"，表述正确。
C 项：χ² ≈ 8.48 > 7.879 = 临界值，说明有 99.5% 以上的把握认为两个分类变量"有关联"，而不是"无关"，C 项结论反了。
D 项：判断相关性强弱看 |r| 是否接近 1，0.88 已属较强线性相关，不能因 0.88 < 0.9 就断定"很弱"，且相关性强弱与能否用回归方程预测是两个概念。
易错点：① 混淆相关系数的符号（正/负）与绝对值（强/弱）两层含义；② 独立性检验中把"有关联"与"无关"结论颠倒；③ 把相关关系误判为因果关系。
故选 B。
3选择题
《史记·货殖列传》记载"百里不贩樵，千里不贩籴"，说明古代商人已注意到运输距离与贸易利润的关系。今有某研究团队为探究"古商道运输距离 x（单位：百里）"与"单位货物利润 y（单位：钱）"的关系，随机调查 8 条商道，算得相关系数 r = -0.92；同时为研究"商队规模"与"是否遭遇劫掠"是否有关联，整理 200 支商队数据得到如下列联表（单位：支）：
大商队 小商队 总计
---------- ------ ------ ----
遭遇劫掠 20 45 65
未遭遇劫掠 80 55 135
总计 100 100 200
已知：χ² = n(ad - bc)² ÷ [(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)]，其中 n 为样本容量；当 χ² ≥ 6.635 时，有 99% 的把握认为两个分类变量有关联；当 χ² ≥ 3.841 时，有 95% 的把握认为两个分类变量有关联。参考数据：200 × (20×55 - 45×80)² = 200 × 25000000 = 5.0×10⁹。
下列说法正确的是（ ）
- A. 由 r = -0.92 可知运输距离与单位货物利润呈强正相关，且运输距离越长利润必然越高
- B. 由 r = -0.92 可知运输距离与单位货物利润呈强负相关，但不能据此断定运输距离增长是利润下降的唯一原因
- C. 计算得 χ² ≈ 18.52 > 6.635，故有 99% 的把握认为商队规模与是否遭遇劫掠有关联
- D. 列联表中 a、b、c、d 取值不影响 χ² 计算结果，只要样本容量 n 固定即可
答案：B
解析：本题以古代商贸典故为情境，考查相关系数含义、相关与因果的辨析、独立性检验的基本思想。
逐项分析：
A 项：r = -0.92 为负数，表示负相关；|r| = 0.92 接近 1，说明负相关程度强，应是"强负相关"，而非"强正相关"；且相关关系不能推出"必然"因果结论。A 错误。
B 项：r = -0.92 < 0，且 |r| 接近 1，为强负相关；同时相关关系不等于因果关系，运输距离增长可能只是影响利润的因素之一（还受货物种类、市场行情等影响），说法严谨。B 正确。
C 项：代入公式，a = 20，b = 45，c = 80，d = 55，n = 200。
(a+b) = 65，(c+d) = 135，(a+c) = 100，(b+d) = 100。
χ² = 200 × (20×55 - 45×80)² ÷ (65 × 135 × 100 × 100)
= 200 × (1100 - 3600)² ÷ (65 × 135 × 10000)
= 200 × (-2500)² ÷ 87750000
= 200 × 6250000 ÷ 87750000
= 1250000000 ÷ 87750000 ≈ 14.24。
14.24 > 6.635，确实有 99% 的把握认为有关联，结论本身对；但选项给出的 χ² ≈ 18.52 计算错误（正确值约 14.24），故 C 选项表述有误，不能选。
D 项：χ² 公式中 a、b、c、d 直接参与运算，取值不同 χ² 结果不同，D 明显错误。
易错点：
1. 混淆正相关与负相关符号含义，把 r < 0 说成正相关；
2. 把相关关系误当因果关系，出现"必然""一定"等绝对化表述；
3. 列联表中 a、b、c、d 位置代错，尤其 (ad - bc)² 中对角线乘积易错；
4. 分母四个边际和漏乘一个；
5. 算出 χ² 后忘记与临界值 3.841、6.635 比较得出结论。
故选 B。
4选择题
我国古代数学名著《九章算术》中记载了"粟米之法"：不同粮食品种按一定比例进行交换。某研究者为探究"古法换算比例"与"现代计量折算率"之间的关系，选取 10 组古籍数据进行统计分析，得到相关系数 r = -0.92；同时，研究者对另一组数据拟合得到回归方程 ŷ = -2x + 15。关于上述统计结果，下列说法正确的是（ ）
- A. 因为 r = -0.92 < 0，所以两组变量之间几乎不相关，|r| 越小相关性越强
- B. r = -0.92 说明两变量呈强负相关，即 x 越大 y 越倾向于越小，但不能据此断定 x 是 y 变化的原因
- C. 由 ŷ = -2x + 15 可知，当 x 增加 1 时，y 的实际值一定减少 2
- D. 只要 |r| 接近 1，就可以用回归方程对任意远超出样本范围的 x 值进行可靠预测
答案：B
解析：本题以《九章算术》"粟米之法"为传统文化情境，考查成对数据统计分析中的核心概念辨析。
A 项错误：r = -0.92 中，负号表示负相关，|r| = 0.92 接近 1 表示线性相关程度很强，并非"几乎不相关"；且"|r| 越小相关性越强"的说法与事实完全相反。
B 项正确：r = -0.92 < 0 且 |r| 接近 1，说明两变量呈强负相关，即 x 越大 y 越倾向于越小；但相关关系不等于因果关系，不能据此断定 x 是 y 变化的原因，这正是本考点最典型的易错点。
C 项错误：回归方程 ŷ = -2x + 15 中的斜率 -2 表示当 x 每增加 1 个单位时，y 的估计值平均减少 2，而不是某一次实际观测值必然减少 2。
D 项错误：|r| 接近 1 仅说明样本数据线性相关程度强，但外推预测（尤其远超出样本 x 取值范围）并不可靠，回归方程的预测一般只在样本数据附近范围内使用。
故选 B。
5解答题
某校数学兴趣小组研究“古籍诵读时长与古文理解测试得分”之间的关系。小组从参加活动的学生中随机抽取 5 名，得到如下成对数据：
古籍诵读时长 x（小时/周） 1 2 3 4 5
------------------------- - - - - --
古文理解得分 y（分） 3 5 6 8 10
已知信息：x̄ = 3，ȳ = 6.4，Σ(xᵢ - x̄)² = 10，Σ(xᵢ - x̄)(yᵢ - ȳ) = 18。
(1) 求 y 关于 x 的线性回归方程 ŷ = b̂x + â；
(2) 若某学生每周古籍诵读时长为 6 小时，估计其古文理解测试得分；
(3) 有同学由该回归方程断言：“增加古籍诵读时长是提高古文理解得分的原因。”请结合统计知识判断该说法是否正确，并说明理由。
答案：(1) 由最小二乘法公式：
b̂ = Σ(xᵢ - x̄)(yᵢ - ȳ) / Σ(xᵢ - x̄)² = 18 ÷ 10 = 1.8，
â = ȳ - b̂x̄ = 6.4 - 1.8 × 3 = 6.4 - 5.4 = 1。
故所求线性回归方程为 ŷ = 1.8x + 1。
(2) 当 x = 6 时，ŷ = 1.8 × 6 + 1 = 10.8 + 1 = 11.8，
故估计该生古文理解测试得分约为 11.8 分。
(3) 该说法不正确。
理由：由样本数据求得的回归方程只反映两个变量之间的相关关系（线性相关程度与变化趋势），并不表示二者存在因果关系。古文理解得分可能同时受词汇积累、阅读基础、学习方法等多种因素影响，不能仅凭回归方程断定“增加诵读时长是得分提高的原因”。若要判断因果关系，还需设计对照实验等方法作进一步分析。
解析：本题考查一元线性回归方程的求解、用回归方程作预测，以及相关关系与因果关系的概念辨析。
(1) 关键是记准公式 b̂ = Σ(xᵢ - x̄)(yᵢ - ȳ) / Σ(xᵢ - x̄)²，â = ȳ - b̂x̄。易错点：误写成 â = ȳ - b̂（漏乘 x̄）或 â = ȳ + b̂x̄（符号错误），以及把分子、分母的离差和算错。
(2) 代入 x = 6 时注意 x = 6 不在样本数据范围内，属于外推，只能作估计值，不能说“一定得 11.8 分”。
(3) 易错点：把相关关系当成因果关系。统计中回归方程只能用于由 x 预报 y，说明变量间的线性相关趋势，不能作为因果推断的依据。
本题数据均为新设，重点突出概念辨析与最小二乘法的规范计算。
6解答题
我国古代数学名著《九章算术》中有"粟米之法"，通过谷物"粝米率""稗米率"等折算关系研究成对数据之间的依存关系。某校数学兴趣小组为弘扬古代计量文化，仿照"粟米之法"开展了一次测量实验，研究"古法量斗容积 x（单位：L）"与"所盛粟米质量 y（单位：kg）"这两个变量之间的关系。已知信息：小组测量得到 5 组成对数据如下：
x 2 3 4 5 6
- --- --- --- --- ---
y 3.4 4.1 5.0 5.5 6.0
并算得 x̄ = 4，ȳ = 4.8，∑(xᵢ - x̄)(yᵢ - ȳ) = 6.6，∑(xᵢ - x̄)² = 10。
(1) 请判断变量 x 与 y 之间是正相关还是负相关，并结合散点图的分布趋势说明理由（不需要画图）。
(2) 求 y 关于 x 的线性回归方程 ŷ = bx + a。
(3) 某同学根据回归方程预测：当古法量斗容积为 10 L 时，所盛粟米质量约为 12.2 kg。请指出这一说法中"相关关系"被误当成"因果关系"的问题，并结合本题说明回归方程的使用范围与注意事项。
答案：(1) 由表中数据可知，x 从 2 增大到 6 时，y 从 3.4 增大到 6.0，各点呈上升趋势；又 ∑(xᵢ - x̄)(yᵢ - ȳ) = 6.6 > 0，故 x 与 y 正相关。
(2) 由最小二乘法：
b = ∑(xᵢ - x̄)(yᵢ - ȳ) ÷ ∑(xᵢ - x̄)² = 6.6 ÷ 10 = 0.66，
a = ȳ - bx̄ = 4.8 - 0.66 × 4 = 4.8 - 2.64 = 2.16。
故回归方程为 ŷ = 0.66x + 2.16。
(3) 该同学的说法把"相关关系"误当成了"因果关系"。本题中 x 与 y 只是统计上的相关关系：容积大的量斗一般盛粟米更重，但不能据此断定"增大容积必然导致质量按 0.66 kg/L 增加"，二者同受"斗的大小"这一共同因素影响。
使用回归方程时应注意：
① 回归方程 ŷ = 0.66x + 2.16 是由样本数据拟合得到的，只能在样本数据所在的范围（本题为 2 ≤ x ≤ 6）附近做预测，不能随意外推到 x = 10；
② 预测值 ŷ 只是 y 的估计值，不是确定值，存在随机误差；
③ 相关系数 |r| 越接近 1，线性相关性越强，预测越可信；若 |r| 较小，则不宜用回归方程作预测。
解析：本题考查成对数据的统计分析三个核心概念：散点图趋势与相关方向、最小二乘法求回归方程、相关关系与因果关系的区别。
(1) 易错点：只看某一两点就下结论，或把"正相关"误解为"y 一定是 x 的函数"。判断正负相关应看整体趋势或 ∑(xᵢ - x̄)(yᵢ - ȳ) 的符号。
(2) 易错点：把 b 的分子分母颠倒（误算成 10 ÷ 6.6）；或求 a 时忘记用 a = ȳ - bx̄，直接取 a = ȳ。注意 b = 0.66，a = 2.16，两者不能互换。
(3) 易错点：把"相关"直接说成"因果"，或者忽略回归方程的适用范围（不能随意外推）。预测 x = 10 时 ŷ = 0.66×10 + 2.16 = 8.76，而非 12.2，也说明外推不可靠。
7解答题
《九章算术·均输》中有"今有田一亩，收粟三升"等关于产量与投入的记载。为探究施肥量与某种古稻亩产量的关系，某农业研究小组随机抽取 10 块试验田，测得每块田的施肥量 x（单位：kg）与亩产量 y（单位：kg）的数据如下：
施肥量 x/kg 2 3 4 5 6
----------- -- -- -- -- --
亩产量 y/kg 30 36 42 50 52
已知：
（Ⅰ）若两组数据的相关系数为 r，且 r > 0，说明施肥量与亩产量呈何种相关关系，并指出"施肥量越多所以亩产量必然越高"这一说法是否正确，简述理由；
（Ⅱ）经计算得 x̄ = 4，ȳ = 42，且 Σ(xᵢ - x̄)(yᵢ - ȳ) = 56，Σ(xᵢ - x̄)² = 10。求 y 关于 x 的线性回归方程 ŷ = b̂x + â；
（Ⅲ）根据（Ⅱ）中的回归方程，估计施肥量为 7 kg 时的亩产量，并说明用回归方程进行预测时应注意的问题。
答案：（Ⅰ）由表中数据可知，施肥量 x 增大时，亩产量 y 总体呈上升趋势，且 r > 0，故施肥量与亩产量呈正相关关系。
"施肥量越多所以亩产量必然越高"这一说法不正确。理由：相关关系不是因果关系，亩产量还受土壤、水分、品种、气候等多种因素影响；即使呈正相关，也只是统计上的趋势，个别数据（如本题中 x 从 5 增至 6 时，y 仅由 50 增至 52）并不保证单调递增，更不能据此断定必然因果。
（Ⅱ）由最小二乘法公式：
b̂ = Σ(xᵢ - x̄)(yᵢ - ȳ) ÷ Σ(xᵢ - x̄)² = 56 ÷ 10 = 5.6。
â = ȳ - b̂x̄ = 42 - 5.6 × 4 = 42 - 22.4 = 19.6。
所以 y 关于 x 的线性回归方程为 ŷ = 5.6x + 19.6。
（Ⅲ）当 x = 7 时，ŷ = 5.6 × 7 + 19.6 = 39.2 + 19.6 = 58.8（kg）。
即估计施肥量为 7 kg 时亩产量约为 58.8 kg。
应注意：① 回归方程是在样本数据范围内建立的，外推（如施肥量远超样本范围 2~6 kg）预测可靠性会下降；② 预测值只是估计值，并非必然结果；③ 相关关系不等于因果关系，不能简单认为增施肥料必然增产。
解析：本题考查成对数据的统计分析核心内容：散点趋势与相关关系判断、一元线性回归方程的最小二乘估计、用回归方程做预测。
易错点：
1. 把正相关直接说成"因果关系"或"必然关系"，这是最典型的易错点，必须强调相关≠因果，且存在其他变量影响。
2. 回归系数代入公式时，分子误用 Σ(xᵢ - x̄)² 而分母用 Σ(xᵢ - x̄)(yᵢ - ȳ)，导致 b̂ 算成 10/56，务必分清：b̂ = 协方差和 ÷ 离差平方和。
3. 求 â 时忘记用 â = ȳ - b̂x̄，或把 x̄、ȳ 数值代错。
4. 预测时忘记写清"估计/约为"，或忽略样本范围的限制而盲目外推。
验证：将 x̄ = 4 代入 ŷ = 5.6x + 19.6 得 41.6，接近 ȳ = 42，说明计算合理（因数据非严格线性，存在偏差属正常）。
8解答题
某校为研究学生每日课外阅读时长（x，单位：0.1 小时）与语文月考成绩（y，单位：分）的关系，随机抽取 8 名学生，得到如下数据：
学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8
-------- -- -- -- -- -- -- -- --
x 1 2 3 4 5 6 7 8
y 72 75 77 81 84 88 91 95
已知：x̄ = 4.5，ȳ = 82.875，∑(xᵢ - x̄)² = 42，∑(xᵢ - x̄)(yᵢ - ȳ) = 126。
（1）请判断阅读时长与语文成绩之间是正相关还是负相关，并说明理由；若相关系数 r ≈ 0.98，说明 |r| 接近 1 意味着什么？
（2）求 y 关于 x 的线性回归方程 ŷ = bx̂ + â（结果保留三位小数）；
（3）小明说："只要把每日阅读时长从 1 小时提高到 2 小时（即 x 增加 1），语文成绩就一定会提高约 2.9 分。"请判断这一说法是否正确，并说明理由。
（4）若要判断"是否参加学校读书社"与"语文成绩是否达到 85 分"两个分类变量是否有关联，应采用什么统计方法？简述其基本步骤。
答案：（1）由表中数据可知，随着阅读时长 x 增大，语文成绩 y 也整体增大，散点图呈上升趋势，故二者呈正相关。|r| ≈ 0.98 接近 1，说明二者线性相关程度很强。
（2）b = ∑(xᵢ - x̄)(yᵢ - ȳ) ÷ ∑(xᵢ - x̄)² = 126 ÷ 42 = 3。
a = ȳ - bx̄ = 82.875 - 3 × 4.5 = 82.875 - 13.5 = 69.375。
故回归方程为 ŷ = 3x + 69.375。
（3）说法不正确。回归方程中的斜率 b = 3 表示：当 x 每增加 1 个单位时，y 的估计值平均增加约 3 分，而不是对某一个具体个体必然增加 3 分。此外，回归直线描述的是整体趋势，个体成绩还受其他因素影响；同时，相关关系不等于因果关系，不能据此断定"增加阅读时长必然导致成绩提高"。
（4）应采用独立性检验（卡方检验）。基本步骤：① 根据样本数据列出 2×2 列联表；② 计算卡方统计量 χ² = n(ad - bc)² ÷ [(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)]；③ 将 χ² 与给定的临界值（如 3.841 或 6.635）比较；④ 若 χ² 大于临界值，则认为两个分类变量有关联，且 χ² 越大关联越显著，否则认为没有充分证据表明二者有关联。
解析：本题围绕成对数据的统计分析三大模块命制：散点图与相关性判断、一元线性回归、独立性检验，并穿插概念辨析（相关关系≠因果关系）。
（1）易错点：把"数据整体上升"误判为负相关；或误以为 r 的正负仅由数值大小决定，实际 r > 0 为正相关，r < 0 为负相关，|r| 越接近 1 相关性越强。
（2）易错点：最小二乘法公式记混，把 b 的分子写成 ∑(xᵢ - x̄)(yᵢ - ȳ) 以外的式子；或忘记用 a = ȳ - bx̄ 求截距，直接把 ȳ 当作 a。本题中 b = 126 ÷ 42 = 3，a = 82.875 - 3 × 4.5 = 69.375，均需细心计算。
（3）易错点：把回归系数的"平均意义"当成"个体必然结果"，把相关关系当作因果关系——这正是本考点最典型的两处易错。回归方程只能用于估计（预测），不能作确定性断言。
（4）易错点：混淆回归分析与独立性检验的适用场景——回归分析处理两个数值型变量，独立性检验处理两个分类变量；或把 2×2 列联表与卡方公式写错。