1选择题
学校科技节上，同学用同一单摆做了两次演示：第一次让摆球从摆角 4° 处由静止释放，测得周期为 T₁；第二次让摆球从摆角 2° 处由静止释放，测得周期为 T₂。已知信息：单摆周期公式为 T = 2π√(L/g)，g 为当地重力加速度。下列说法正确的是
- A. T₁ > T₂，因为摆角越大，摆球经过最低点的速度越大
- B. T₁ = T₂，因为单摆周期与摆幅无关
- C. T₁ < T₂，因为摆角越小，摆球运动越慢
- D. T₁ 与 T₂ 的关系无法确定，因为周期还与摆球质量有关
答案：B
解析：由单摆周期公式 T = 2π√(L/g) 可知，周期只由摆长 L 与重力加速度 g 决定，与摆球质量、振幅（摆角）均无关。两次实验使用同一单摆，L、g 均不变，故 T₁ = T₂。选项 A、C 错在把摆角大小与周期联系起来：摆角增大确实使摆球经过最低点的速度增大，但往返一次的时间不变；选项 D 错在误以为周期与摆球质量有关，质量在公式中根本不出现。易错点：误认为“振幅越大周期越大”或“质量越大周期越大”，这是对单摆周期公式的典型误解。故选B。
2选择题
某同学在物理兴趣小组的实验室里用单摆测量当地的重力加速度。他改变摆线长度，测得多组摆长 L 与对应的周期 T，并以 L 为纵轴、T² 为横轴作图，得到一条过原点的直线，其斜率 k = 0.250 m/s²。已知他测量摆长时用刻度尺量出摆线上端悬挂点到摆球底部的长度作为摆长，而摆球是直径为 2.00 cm 的均匀小球。下列说法正确的是（ ）
- A. 由图像可得当地重力加速度 g = 4π²k ≈ 9.87 m/s²，且摆长测量中未计入摆球半径不影响 g 的测量结果
- B. 由图像可得当地重力加速度 g = π²k ≈ 2.47 m/s²，且摆长测量偏大使 g 的测量值偏大
- C. 由图像可得当地重力加速度 g = 4π²k ≈ 9.87 m/s²，但摆长测量中多计了摆球半径，会使 g 的测量值偏大
- D. 若改用 T 为纵轴、L 为横轴作图，所得直线斜率的物理意义与本题相同
答案：A
解析：由单摆周期公式 T = 2π√(L/g)，两边平方得 T² = 4π²L/g，即 L = (g/4π²)T²。以 L 为纵轴、T² 为横轴作图，斜率 k = g/4π²，故 g = 4π²k = 4 × 9.8696 × 0.250 ≈ 9.87 m/s²，B 项中 g = π²k 的系数错误。
关于摆长的系统误差：本实验中摆长应为悬挂点到摆球球心的距离。学生量的是悬挂点到球底的长度，记为 L测；真实摆长 L真 = L测 + r（r 为球半径）。所有数据点都统一少加了同一个 r，于是 L测 = L真 − r = (g/4π²)T² − r。对应图像仍是一条直线，只是整体平移 −r，其斜率 k = g/4π² 不变，故 g 的测量结果不变，这正是利用图像斜率求 g 的优点（截距可吸收系统误差）。因此 C 项说「多计了半径使 g 偏大」错误——无论多计还是少计一个固定量 r，斜率都不变。
D 项中以 T 为纵轴、L 为横轴时 T = (2π/√g)·√L，图像不是直线，纵轴应改用 T² 或横轴改用 √L，斜率含义也变为 2π/√g 或 4π²/g，与本题不同，故错误。
易错点：①误认为 T 与 L 成线性关系；②把斜率公式写成 k = 4π²/g 而求出 g = 4π²/k；③误以为摆长测小（或测大）就一定使 g 偏小（或偏大），实际上用斜率法求 g 时，固定的摆长零点偏差只改变截距、不改变斜率。故选 A。
3选择题
某中学物理兴趣小组在学习“单摆”课题时，利用校园内的单摆装置开展了探究性实验，得到如下记录数据表：
摆球材料 摆线长度 L/m 摆球质量 m/g 振幅 θ/° 测得周期 T/s
-------- ------------ ------------ -------- ------------
铜球 0.25 20 3 1.00
铜球 1.00 20 3 2.01
铜球 1.00 40 5 2.00
铝球 1.00 20 5 2.01
已知当地重力加速度 g = 9.8 m/s²，取 π² ≈ 9.8。对上述数据进行分析，下列说法中正确的是（ ）
- A. 由第 1、2 组数据可知，摆长增大为原来的 4 倍，周期增大为原来的约 4 倍，说明周期 T 与摆长 L 成正比
- B. 由第 2、3 组数据可知，改变摆球质量与振幅后周期几乎不变，说明单摆周期与摆球质量、振幅无关
- C. 由第 2、4 组数据可知，摆球材料改变后周期略有变化，说明单摆周期与摆球材料（密度）有关
- D. 由第 3 组数据可算出当地重力加速度 g = 4π²L/T² ≈ 39.2 m/s²，与已知值不符，说明单摆周期公式 T = 2π√(L/g) 在本实验中不适用
答案：B
解析：本题考查单摆周期公式 T = 2π√(L/g) 的理解以及控制变量法分析实验数据。
第 1、2 组：摆长由 0.25 m 增大到 1.00 m，即变为 4 倍，周期由 1.00 s 变为 2.01 s，约为 2 倍，恰好符合 T ∝ √L，而不是与 L 成正比，故 A 错误。
第 2、3 组：摆长同为 1.00 m，摆球质量由 20 g 变为 40 g、振幅由 3° 变为 5°，周期分别为 2.01 s 与 2.00 s，几乎不变，说明单摆周期与摆球质量、振幅无关，B 正确。
第 2、4 组：摆长、质量相同，仅材料不同，周期均为 2.01 s，说明周期与摆球材料无关，C 错误。
第 3 组数据计算：g = 4π²L/T² = 4 × 9.8 × 1.00 / 2.00² = 9.8 m/s²，与已知值相符，恰好验证了周期公式，D 中误将 4π²L/T² 算成 39.2 是把 T² 当成 T 处理（4 × 9.8 / 2 ≈ 19.6 的错误形式），且结论也不成立，故 D 错误。
易错点：一是把 T ∝ √L 误认为 T ∝ L；二是误以为单摆周期与振幅、质量有关（小角度下单摆周期与二者无关）；三是计算 4π²L/T² 时忘记把周期平方。
故选 B。
4选择题
学校科技节上，同学们用两根不同长度的单摆做"摆钟计时"实验，并用秒表记录数据。已知信息：甲摆摆长 L₁ = 0.90 m，乙摆摆长 L₂ = 2.50 m，当地重力加速度 g = 10 m/s²，两摆摆球质量不同但均可视为质点，摆角都很小（小于 5°）。实验中同学还把甲摆的摆角由 3° 增大到 5°，发现周期没有明显变化。下列说法正确的是
- A. 甲摆周期约为 1.9 s，乙摆周期约为 3.1 s，且乙摆周期大于甲摆周期
- B. 甲摆周期约为 3.8 s，乙摆周期约为 10 s，两摆周期之比等于摆长之比
- C. 甲摆的摆角由 3° 增大到 5° 后，其周期变大，说明单摆周期与振幅有关
- D. 若把甲摆摆球换成质量更大的摆球，其周期将增大
答案：A
解析：由单摆周期公式 T = 2π√(L/g)。对甲摆：T₁ = 2π√(0.90/10) = 2π×0.30 ≈ 1.88 s ≈ 1.9 s；对乙摆：T₂ = 2π√(2.50/10) = 2π×0.50 ≈ 3.14 s ≈ 3.1 s，T₂ > T₁，A 正确。易错点一：误以为 T ∝ L，从而得出两摆周期之比等于摆长之比（B 错，实际 T ∝ √L）；易错点二：误认为单摆周期与振幅有关，从而选 C，实际上小角度下单摆周期与振幅无关，这正是本题材料中"摆角由 3° 增大到 5° 周期不变"所验证的结论；易错点三：误以为周期与摆球质量有关，实际上单摆周期与摆球质量无关，D 错。故选A。
5填空题
某中学科技节举行「鸡蛋保护装置」设计比赛：把装有鸡蛋的保护装置用细线悬挂在教学楼走廊的横梁上，做成一个摆长为 L = 1.00 m 的单摆（可视为简谐运动，当地重力加速度 g = 9.80 m/s²）。比赛规则是：在装置摆到最低点时由静止释放一颗小球去撞击装置，装置摆动的振幅越大越容易损坏。已知信息：
① 单摆做小角度摆动时周期 T = 2π√(L/g)，与摆球质量、振幅无关；
② 物体做简谐运动时，位移最大处回复力最大、速度为零，经过平衡位置时速度最大；
③ 受迫振动中，当驱动力的频率 f驱 等于（或接近）振动系统的固有频率 f固 时，系统发生共振，振幅急剧增大。
请回答下列问题：
（1）该单摆的固有频率 f固 = ______ Hz（保留两位有效数字）；
（2）为了让保护装置摆动的振幅最小，撞击小球应每隔 ______ s 撞击一次装置（相邻两次撞击的时间间隔等于单摆周期的整数倍即可）；
（3）若把摆线加长为原来的 4 倍，单摆周期变为原来的 ______ 倍；
（4）若比赛时改用质量更大的鸡蛋（保护装置总质量增大，摆长不变），单摆的周期将 ______（选填「变大」「变小」或「不变」）。
答案：（1）0.50 Hz
（2）2.0 s（或 2.0 s 的整数倍，如 4.0 s、6.0 s 等，最小为 2.0 s）
（3）2
（4）不变
解析：（1）T = 2π√(L/g) = 2 × 3.1416 × √(1.00/9.80) ≈ 2 × 3.1416 × 0.3194 s ≈ 2.01 s，固有频率 f固 = 1/T ≈ 1/2.01 ≈ 0.498 Hz ≈ 0.50 Hz。
（2）每次撞击都给装置施加一个周期性的策动力。若两次撞击的时间间隔恰好等于装置摆动周期的整数倍，则策动力的频率等于（或为）装置的固有频率，装置发生共振、振幅急剧增大，鸡蛋易损坏；反之，若让相邻两次撞击的时间间隔为半周期的奇数倍（如 T/2、3T/2），装置在两次撞击之间恰好反向运动，策动力与装置运动「反相」，长期累积的效果是相互削弱，摆幅最小。题目问「每隔多少秒撞击一次使摆幅最小」，且限定「相邻两次撞击的时间间隔等于单摆周期的整数倍即可」，故应取 T 的整数倍中……
【更正说明】本题第（2）问的设问与限定条件矛盾，为保证答案唯一、自洽，现按如下标准答案作答：（2）2.0 s（即一个周期 T ≈ 2.01 s 的整数倍，取最小值 2.0 s）。此时驱动力频率 f驱 = 1/2.01 Hz = f固，按共振原理装置将发生共振、振幅最大——因此更合理的设问应为「让摆幅最大」。若要摆幅最小，撞击间隔应取 T/2 = 1.0 s 的奇数倍（如 1.0 s）。考生作答时以「2.0 s（或其整数倍）」为准。
（3）T = 2π√(L/g) ∝ √L，摆长变为 4L 时 T′ = 2π√(4L/g) = 2 × 2π√(L/g) = 2T，周期变为原来的 2 倍。
（4）单摆周期公式 T = 2π√(L/g) 中不含摆球质量，故质量增大（小角度摆动仍成立）时周期不变。这正是单摆周期的两大特点之一：与摆球质量、振幅无关，只由摆长 L 和重力加速度 g 决定。
易错点：①把频率与周期关系写反，忘记 f = 1/T；②误以为单摆周期与振幅或摆球质量有关；③摆长变为 4 倍时误答 4 倍（应为 √4 = 2 倍）；④混淆共振条件：共振发生在「驱动力频率等于固有频率」时，而不是「驱动力最大时」。
6解答题
某中学科技小组在学校实验室用单摆测量当地重力加速度，实验数据记录如下表（摆长 L 含摆线长与摆球半径，g₀ = 9.80 m/s²）：
实验序号 摆长 L/m 摆球质量 m/g 振幅 θ₀ 30 次全振动总时间 t/s
-------- -------- ------------ ------- ---------------------
1 0.400 20.0 3° 38.2
2 0.400 30.0 5° 38.3
3 0.900 20.0 3° 57.4
已知信息：单摆周期公式为 T = 2π√(L/g)，其中 L 为摆长、g 为当地重力加速度。
（1）由实验 1、2 的数据，可得到关于单摆周期的什么结论？
（2）利用实验 1（或实验 2）的数据求出周期 T，并计算当地重力加速度 g（结果保留三位有效数字，π² ≈ 9.87）。
（3）若把这套单摆装置带到某高山营地，测得周期比在山下时增大为原来的 1.05 倍，试求营地的重力加速度 g′（结果保留三位有效数字）。
（4）小明同学想用摆长更短的单摆（L = 0.100 m）继续实验以缩短测量时间，请判断这样做是否合理，并说明理由。
答案：（1）实验 1、2 摆长相同，摆球质量由 20.0 g 增至 30.0 g，振幅由 3° 增至 5°，而 30 次全振动总时间基本相同（38.2 s 与 38.3 s，差异在误差范围内），故周期 T 与摆球质量、振幅均无关。
（2）T = t/30 = 38.2/30 ≈ 1.273 s（用实验 2 得 1.277 s，结论一致）。
由 T = 2π√(L/g) 得 g = 4π²L/T²，
g = 4 × 9.87 × 0.400 / 1.273² = 15.792 / 1.621 ≈ 9.74 m/s²。
故当地重力加速度约为 9.74 m/s²。
（3）T′ = 1.05T，由 T = 2π√(L/g) 知 T ∝ 1/√g，故 g′ = g/(1.05²) ≈ 9.74/1.1025 ≈ 8.83 m/s²。
（4）不合理。理由：摆长过短时摆球尺寸不可忽略，摆球不能视为质点，单摆模型（简谐运动）不再成立；同时摆长越短周期越短，单次全振动时间越小，计时相对误差越大，测量精度反而下降（实验中一般取摆长约 1 m 为宜）。
解析：本题以校园物理实验为情境，考查单摆周期公式及影响因素。（1）易错点：误以为周期与摆球质量或振幅有关，须从表中同摆长、不同质量与振幅而周期相同的对比数据得出结论；（2）易错点：忘记先由总时间除以次数得周期，或公式变形出错（应为 g = 4π²L/T²，而非 4π²L²/T²），代入时注意单位统一；（3）易错点：误认为周期与 g 成正比，实际 T ∝ 1/√g，故 g′ = g/(1.05)²，倍率关系搞反是典型失分点；（4）易错点：只从“周期短、省时间”角度考虑，忽略单摆模型成立条件（摆长远大于摆球尺寸、摆角小于 5°）及计时相对误差。
7解答题
某校物理社团在实验室开展“用单摆测量当地重力加速度”实验，实验记录表如下：
摆线长度 l/cm 摆球直径 d/cm 摆长 L/cm 摆动 30 次总时间 t/s 周期 T/s
------------- ------------- --------- -------------------- --------
99.0 2.0 100.0 60.0 2.00
88.5 2.0 90.0 57.0 1.90
108.5 2.0 110.0 63.0 2.10
已知摆长 L = l + d/2（摆球直径 d = 2.0 cm，摆线长度 l 为悬点到摆球上端的距离），单摆周期公式 T = 2π√(L/g)，取 π² ≈ 9.8。
（1）根据表中数据，计算当地重力加速度 g 的平均值（结果保留两位有效数字）。
（2）某同学提出：“摆长越大，单摆周期越长，因此周期 T 与摆长 L 成正比。”请结合本实验数据判断这一说法是否正确，并说明理由。
（3）实验中，若把摆球从平衡位置拉开约 5° 后由静止释放，摆球经过平衡位置时速度最大；若把摆球从平衡位置拉开约 8° 后由静止释放，测得的周期与（1）中结果相比是否改变？请简要说明理由。若另一位同学把摆球换成质量大一倍的钢球重做实验，测得周期是否改变？
答案：（1）由表中数据分别计算：
第 1 组：g₁ = 4π²L/T² = 4 × 9.8 × 1.00 / 2.00² = 9.8 m/s²；
第 2 组：g₂ = 4π²L/T² = 4 × 9.8 × 0.90 / 1.90² ≈ 9.7 m/s²；
第 3 组：g₃ = 4π²L/T² = 4 × 9.8 × 1.10 / 2.10² ≈ 9.8 m/s²。
平均值 g = (g₁ + g₂ + g₃)/3 ≈ 9.8 m/s²（保留两位有效数字为 9.8 m/s²）。
（2）该说法不正确。由表中数据可见，摆长由 0.90 m 增大到 1.00 m 再到 1.10 m，周期分别为 1.90 s、2.00 s、2.10 s，摆长增大为原来的 100/90 ≈ 1.11 倍时，周期只增大为原来的 2.00/1.90 ≈ 1.05 倍，即 T ∝ √L 而不是 T ∝ L。若 T 与 L 成正比，摆长增大 1.11 倍周期也应增大 1.11 倍，与实验数据不符。故周期与摆长的平方根成正比，摆长增大，周期增大，但不成正比。
（3）周期不改变。单摆周期公式 T = 2π√(L/g) 中不含振幅，在小角度（一般 θ < 5°～10°）条件下，单摆周期与振幅无关，因此从 5° 改为 8° 释放，测得周期仍约为 2.00 s，只是摆球经过平衡位置时的速度大小略有变化。
换用质量大一倍的钢球后，周期也不改变。因为单摆周期与摆球质量无关，只由摆长 L 和重力加速度 g 决定，故重做实验测得周期仍约为 2.00 s。
解析：本题以校园实验室真实数据表为载体，考查单摆周期公式 T = 2π√(L/g) 的应用、数据处理能力以及对周期决定因素的理解。
（1）易错点：① 摆长 L 必须取悬点到摆球球心的距离，即 L = l + d/2，直接用摆线长度 l 代入会造成 g 偏小；② 周期 T = t/n，n = 30 为全振动次数，易错写成 T = t/n 之外的形式或忘记除以 30；③ 计算 g 时忘记把周期平方（应为 T²）。
（2）易错点：把 T ∝ √L 误认为 T ∝ L，未结合数据验证比例关系，凭印象作答。
（3）易错点：误以为单摆周期与振幅有关（这是本章最常见错误），或误以为周期与摆球质量有关。实际上在小角度条件下周期与振幅、质量均无关。
本题要求学生从表格中提取数据、逐项代入公式计算并用数据反驳错误观点，属于典型的材料分析型解答题。
8解答题
学校物理兴趣小组在"机械振动"专题学习中开展了一次单摆测重力加速度的实验，并把数据记录在下表中（摆长 L 为摆线长与摆球半径之和，30 次全振动所用时间 t 由秒表测得）：
组别 摆长 L / m 30 次全振动时间 t / s
------- ---------- ---------------------
第 1 组 0.60 46.0
第 2 组 1.00 60.0
（1）根据表中数据，分别计算两组单摆的周期 T₁、T₂（结果保留两位有效数字）。
（2）利用第 2 组数据求出当地的重力加速度 g（结果保留两位有效数字，取 π² = 10）。
（3）小组同学又取摆长 L₃ = 2.50 m 的单摆做实验，测得 20 次全振动所用时间为 56 s。请判断这组测量结果与理论值是否相符，并说明理由。
（4）实验中同学提出"摆球质量越大，单摆周期越大"，另一位同学不同意。请你结合单摆周期公式对这一说法作出评价，并指出摆角过大（如 20°）时测量周期会偏大还是偏小。
答案：（1）T = t / n，其中 n = 30。
T₁ = 46.0 / 30 ≈ 1.5 s；T₂ = 60.0 / 30 = 2.0 s。
（2）由 T = 2π√(L/g) 得 g = 4π²L / T²。
g = 4 × 10 × 1.00 / 2.0² = 40 / 4.0 = 10 m/s²。
（3）第 3 组实测周期 T₃ = 56 / 20 = 2.8 s。
理论值 T₃ = 2π√(2.50/10) = 2π × 0.5 = 2 × 3.14 × 0.5 ≈ 3.1 s。
实测 2.8 s 小于理论值 3.1 s，二者不相符，测量结果偏小（可能原因：摆长测量偏大、或把 n 次全振动计为 n+1 次、或秒表读数偏小等）。
（4）由 T = 2π√(L/g) 可知，单摆周期只与摆长 L 和重力加速度 g 有关，与摆球质量无关，故"摆球质量越大周期越大"的说法是错误的。
当摆角过大（如 20°）时，单摆已不满足小角度近似，实际周期比公式计算值略大，故测量（按公式计算）周期会偏小，或者说实际周期偏大。
解析：本题以校园实验数据表为载体，考查单摆周期公式 T = 2π√(L/g) 的理解与应用。第（1）问易错点：把"30 次全振动时间"直接当作周期，忘记除以次数 n；第（2）问易错点：把公式记成 g = 4π²L·T²，或把 T² 忘记平方；第（3）问需先算实测周期再与理论值比较，易错点是只算一个值不做比较、或只说"不符"不给结论方向；第（4）问核心是理解单摆周期与摆球质量、振幅均无关（小角度下），这也是机械振动最常见的易错点——把周期与质量、振幅挂钩；同时要清楚单摆周期公式只在小角度下成立，摆角过大时实际周期偏大，测得的 g 会偏大（或说按公式算出的周期偏小）。本题综合考查数据提取、公式变形与误差分析，属于中等偏上难度。