1选择题
我国自主研发的空间太阳望远镜在轨运行时，依靠太阳能电池供电，并把观测数据以无线电波形式传回地面。下列关于电磁波的说法正确的是（ ）
- A. 无线电波在真空中传播时需要依靠介质
- B. 电磁波在真空中的传播速度等于光速 c
- C. 电磁波的频率越高，在真空中的传播速度越小
- D. 变化的电场只能产生磁场，不能产生变化的磁场
答案：B
解析：电磁波由变化的电场和磁场相互激发而产生，可以在真空中传播，不需要介质，故 A 错误；电磁波在真空中的传播速度等于光速 c，与频率无关，故 B 正确、C 错误；变化的电场产生磁场，变化的磁场又产生电场，二者相互激发，故 D 错误。易错点：误以为电磁波传播需要介质，以及误认为不同频率的电磁波在真空中速度不同。故选 B。
2选择题
我国首颗太阳探测卫星以 X 射线波段对太阳耀斑进行观测。已知可见光的波长范围约为 400 nm～760 nm，而 X 射线的波长约为 0.1 nm。若某 X 射线在真空中的波长为 λ，某可见光在真空中的波长为 400 nm，且 λ = 0.1 nm，则该 X 射线的频率约为可见光（取波长 400 nm）频率的（ ）
- A. 1/4000
- B. 1/40
- C. 40 倍
- D. 4000 倍
答案：D
解析：各种电磁波在真空中的波速均为 c，由 c = λf 得 f = c/λ，即频率与波长成反比。设可见光频率为 f₁ = c/400 nm，X 射线频率为 f₂ = c/0.1 nm，则 f₂/f₁ = 400/0.1 = 4000，即 X 射线频率约为可见光的 4000 倍。易错点：把波长与频率的正反比关系搞反，误选 A；或把 400 与 0.1 的比值算成 40 而漏掉单位换算，误选 B。故选 D。
3选择题
我国正在建设的某深空探测地面测控站，采用 LC 振荡电路产生高频电磁波向探测器发送指令。已知信息：该回路中电感 L 与电容 C 的乘积决定振荡周期 T = 2π√(LC)；电磁波在真空中以光速 c ≈ 3×10⁸ m/s 传播，且电磁波的传播不需要介质；同一介质中电磁波的波速一定时，波长 λ 与频率 f 满足 v = λf。某次任务中，地面站先将回路的电容增大为原来的 4 倍、电感不变，使发射频率由 f 变为 f′；同时探测器收到该电磁波后，地面站据此测得该电磁波在真空中的波长由 λ 变为 λ′。下列判断正确的是
- A. 回路的振荡周期变为原来的 2 倍，电磁波波长变为原来的 2 倍
- B. 回路的振荡周期变为原来的 4 倍，电磁波波长变为原来的 1/2
- C. 回路的振荡周期变为原来的 2 倍，电磁波在真空中的传播速度变为 2c
- D. 电磁波从地面传到探测器必须依靠介质，故不能在真空中传播
答案：A
解析：由 T = 2π√(LC) 知，L 不变、C 变为原来的 4 倍时，T′ = 2π√(L·4C) = 2T，即振荡周期变为原来的 2 倍；振荡频率 f = 1/T 变为原来的 1/2。电磁波在真空中的速度恒为光速 c，由 c = λf 知，f 变为原来的 1/2 时，波长 λ 变为原来的 2 倍，故 A 正确。B 中周期与波长的变化均错；C 混淆了「电磁波波速由介质决定（真空中恒为 c）」与「频率由振荡电路决定」，电磁波在真空中的速度不会因回路参数改变而变为 2c；D 忽视了电磁波传播不需要介质、可以在真空中传播这一关键特性。易错点：一是把「周期与 C 成正比」误记成与 √C 或 C 成正比；二是把波长与频率的关系搞反（波速一定时，频率越低波长越长）。故选 A。
4解答题
我国在2024年成功发射的某颗低轨通信卫星，通过星地链路与地面站进行数据传输。已知信息：卫星距地面高度 h = 600 km，地球半径 R = 6400 km，地球表面重力加速度 g = 10 m/s²，真空中的光速 c = 3.0×10⁸ m/s，地面站采用的载波频率 f = 3.0×10⁹ Hz。
(1) 说明卫星与地面站之间的通信依靠电磁波传递信息时，为什么在卫星与地面站之间近乎真空的空间中仍能正常传播？并写出电磁波在真空中的传播速度大小。
(2) 求该载波在真空中的波长 λ。
(3) 若科研人员希望增大地面站接收天线中 LC 调谐回路的固有振荡周期 T，使回路与频率更低的信号发生电谐振，写出振荡周期公式，并说明在电容 C 不变时应如何调节电感 L，给出理由。
(4) 卫星与地面站之间电磁信号往返一次所需的时间 t 至少约为多少？（结果保留两位有效数字，可认为电磁波沿直线传播，距离为 2h。）
答案：(1) 电磁波是变化的电场和磁场相互激发、由近及远向外传播形成的，其传播不需要介质，可以在真空中传播，因此在卫星与地面站之间的真空环境中仍能正常传递信息。电磁波在真空中的传播速度等于光速，即 c = 3.0×10⁸ m/s。
(2) 由 c = λf 得
λ = c/f = (3.0×10⁸)/(3.0×10⁹) m = 0.1 m = 10 cm。
(3) LC 回路的振荡周期 T = 2π√(LC)。由公式可知，在 C 不变时 T 与 √L 成正比，故要增大振荡周期 T，应增大电感 L（如增加线圈匝数、插入铁芯）。
(4) 往返路程 s = 2h = 2×600 km = 1.2×10⁶ m，
t = s/c = (1.2×10⁶)/(3.0×10⁸) s = 4.0×10⁻³ s。
故电磁信号往返一次所需时间至少约为 4.0×10⁻³ s。
解析：本题把电磁振荡与电磁波的知识放入卫星通信这一新闻情境中，考查知识迁移。(1) 易错点：误以为电磁波传播需要介质，从而答成“依靠空气传播”；正确认识是电磁波不需要介质，可在真空中传播，速度为光速 c。(2) 易错点：波长与频率关系搞反，误写成 λ = cf；由 c = λf 可知波速一定时波长与频率成反比，频率越高波长越短，故 λ = c/f = 0.1 m。(3) 易错点：把 T = 2π√(LC) 中 L 与 T 的关系弄反，误答“减小 L”；由 T ∝ √L 知应增大 L。(4) 易错点：忘记乘 2 得往返路程，或单位换算出错；结果为 4.0×10⁻³ s。
5解答题
2025年某地建成一座“空间天气与光通信”科普实验站，科研人员用同一套双缝干涉装置测量两种不同激光的波长，并结合单摆计时装置研究振动规律。已知信息：双缝间距 d = 0.20 mm，双缝到光屏的距离 L = 1.2 m，用甲激光照射时测得相邻两条亮纹中心间距 Δx₁ = 3.0 mm；用乙激光照射时测得相邻两条亮纹中心间距 Δx₂ = 4.5 mm。另有一单摆在地球上做小角度摆动，摆长为 l，周期为 T；已知月球表面重力加速度 g月 = g/6（g 为地球表面重力加速度）。
(1) 分别求甲、乙两种激光的波长 λ₁、λ₂，并判断哪种激光的频率更高。
(2) 若保持双缝间距 d 和屏距 L 不变，要使干涉条纹间距增大，可采取哪些办法？至少写出两种。
(3) 该单摆移到月球表面后，其周期变为多少？若要在月球上使单摆周期仍等于地球上的 T，摆长应调整为多大？
答案：(1) 由双缝干涉条纹间距公式 Δx = Lλ/d，得 λ = dΔx/L。
甲激光：λ₁ = (0.20×10⁻³ × 3.0×10⁻³)/1.2 m = 5.0×10⁻⁷ m = 500 nm。
乙激光：λ₂ = (0.20×10⁻³ × 4.5×10⁻³)/1.2 m = 7.5×10⁻⁷ m = 750 nm。
在真空中两种激光波速相同（均为 c），由 c = λf 知波长越短频率越高，故 λ₁ < λ₂，甲激光的频率更高。
(2) 由 Δx = Lλ/d 可知，可采取的办法有：① 增大双缝到光屏的距离 L；② 减小双缝间距 d；③ 改用波长更长（频率更低）的激光照射。（写出其中两种即可）
(3) 单摆周期 T = 2π√(l/g)。在月球上 g月 = g/6，故
T月 = 2π√(l/g月) = 2π√(6l/g) = √6 · 2π√(l/g) = √6 T。
要使月球上周期仍为 T，需 l月/g月 = l/g，即
l月 = l·(g月/g)… 正确推导：由 T = 2π√(l/g) 相等得 l月/g月 = l/g，故 l月 = l × (g月/g) 的倒数关系为 l月 = 6l。
故周期变为原来的 √6 倍；摆长应调整为 6l。
解析：本题将双缝干涉测波长与单摆周期放入科普实验站这一新情境，考查公式迁移。(1) 易错点：单位不统一，d、Δx 必须换算成米再代入；λ = dΔx/L，得 λ₁ = 500 nm、λ₂ = 750 nm。判断频率时易错点是把波长与频率关系搞反，正确结论是波速一定时波长越短频率越高，故甲激光频率更高。(2) 易错点：把公式记成 Δx = dλ/L 而把调节方向弄反；由 Δx = Lλ/d，增大 L、减小 d 或改用更长波长均可增大条纹间距。(3) 易错点：误以为周期与摆球质量或振幅有关，或把 g月 代成 g；由 T = 2π√(l/g)，g 减为 g/6 时周期变为 √6 T；要保持周期不变，由 l/g 不变得 l月 = 6l。注意推导中 l月/g月 = l/g，代入 g月 = g/6 得 l月 = 6l，切勿写成 l/6。
6解答题
阅读下面材料并回答问题。
材料：某科普报道介绍，火星探测器与地球之间的通信依靠无线电波完成。已知信息：①电磁波在真空中的传播速度等于光速 c = 3×10⁸ m/s，且传播不需要介质；②无线电波、红外线、可见光、紫外线、X 射线等本质相同，都是电磁波，只是频率不同；在真空中波速一定，波长越短，频率越高；③某探测器上的 LC 振荡电路中，电感 L = 2.5×10⁻⁶ H，电容 C = 4.0×10⁻¹¹ F，振荡周期 T = 2π√(LC)（计算时取 √10 ≈ 3.16，π ≈ 3.14）。
(1) 求该 LC 回路的振荡周期 T 与振荡频率 f。
(2) 该回路产生的电磁波在真空中传播，求其波长 λ。
(3) 报道中提到「电磁波在真空中传播时，波长越短，频率越高」。请说明判断依据，并写出该电磁波从探测器传到地球的过程中，其波长、频率、波速三个量中哪些保持不变、哪些发生变化（设传播过程中无反射、无折射，仍处于真空中）。
(4) 若把该回路的电容 C 减小为原来的 1/4，其他条件不变，试判断产生的电磁波波长如何变化，并说明理由。
答案：(1) T = 2π√(LC) = 2π√(2.5×10⁻⁶ × 4.0×10⁻¹¹) = 2π√(1.0×10⁻¹⁶) = 2π×1.0×10⁻⁸ s ≈ 2×3.14×10⁻⁸ s ≈ 6.28×10⁻⁸ s。振荡频率 f = 1/T ≈ 1/(6.28×10⁻⁸) Hz ≈ 1.59×10⁷ Hz。
(2) 由 c = λf（或 λ = cT）得 λ = c/f = (3×10⁸)/(1.59×10⁷) m ≈ 18.9 m；也可直接 λ = cT = 3×10⁸ × 6.28×10⁻⁸ m ≈ 18.8 m（约 18.9 m）。
(3) 判断依据：电磁波在真空中的波速恒为 c，由 v = λf 可知 c = λf，λ 与 f 成反比，故波长越短，频率越高。该电磁波在真空中传播时，波速 c 保持不变，频率 f 由波源（LC 振荡电路）决定、保持不变，波长 λ = c/f 也保持不变；即三者均不变（若进入其他介质才会改变波速与波长）。
(4) 电容 C 变为原来的 1/4 时，由 T = 2π√(LC) 知周期变为原来的 1/2，频率 f = 1/T 变为原来的 2 倍；真空中波速 c 不变，由 λ = c/f 知波长变为原来的 1/2，即波长减小为原来的一半。
解析：本题把 LC 振荡、电磁波传播、电磁波谱与波速—波长—频率关系放入火星通信这一新闻情境，考查知识迁移。(1) 易错点：算 √(LC) 时指数运算出错，2.5×10⁻⁶×4.0×10⁻¹¹ = 1.0×10⁻¹⁶，其平方根为 1.0×10⁻⁸，而非 10⁻⁸.⁵；周期公式误记为 T = 2πLC 或 T = √(LC)。(2) 易错点：把 f 与 T 混用，忘记 λ = c/f；单位换算出错（频率约 1.59×10⁷ Hz，波长约 18.8 m）。(3) 易错点：误以为电磁波传播需要介质，或误以为波在传播中「波长不变而频率变」「频率不变而波速变」；正确结论是真空中波速恒为 c，频率由波源决定，波长随之确定。(4) 易错点：把 C 与 T 的关系记成正比（应为 T ∝ √C），或把波长与频率关系搞反（频率增大则波长减小）。
7解答题
某科普节目报道：我国某深空探测器在距地球约 3.2×10⁸ km 的轨道上工作，地面测控站通过无线电波向探测器发送指令，探测器收到指令后立即用同一频率的电磁波回传数据。已知真空中电磁波的传播速度 c = 3.0×10⁸ m/s。
(1) 求地面测控站发出指令后，至少要经过多长时间才能收到探测器的回传信号（不考虑探测器运动和信号处理时间）。
(2) 地面测控站发射机采用 LC 振荡回路产生高频电磁振荡，回路中电感 L = 2.5×10⁻⁶ H，电容 C 可调。若要使该回路的振荡频率 f = 1.0×10⁷ Hz，求所需电容 C 的大小（结果保留两位有效数字），并说明此时电容器从带电量最大到第一次放电完毕所经历的时间。
(3) 若探测器上另一台设备发出的电磁波在真空中的波长 λ = 0.60 m，判断该电磁波与地面测控站所用电磁波相比，哪一种的频率更高，并简要说明理由。
答案：(1) 电磁波往返路程 s = 2×3.2×10⁸ km = 6.4×10¹¹ m = 6.4×10¹¹ m。
t = s/c = 6.4×10¹¹ ÷ (3.0×10⁸) s ≈ 2.1×10³ s ≈ 35 min。
(2) 由 T = 2π√(LC)，f = 1/T，得 C = 1/(4π²f²L) = 1/(4×3.14²×(1.0×10⁷)²×2.5×10⁻⁶) F ≈ 1.0×10⁻¹⁰ F。
振荡周期 T = 1/f = 1.0×10⁻⁷ s，电容器从带电量最大到第一次放电完毕经历 t = T/4 = 2.5×10⁻⁸ s。
(3) 电磁波在真空中传播速度相同，均为 c。由 c = λf 得 f = c/λ，λ 越小则 f 越大。探测器设备所发波长 0.60 m，而地面测控站所用频率 1.0×10⁷ Hz 对应波长 λ = c/f = 30 m。因为 0.60 m < 30 m，故探测器设备发出的电磁波频率更高。
解析：本题以深空探测新闻为情境，考查电磁波传播不需要介质、真空中速度为光速，以及 LC 回路振荡周期 T = 2π√(LC) 与电磁波 c = λf 的综合运用。
(1) 易错点：忽略「往返」路程只算单程，导致时间减半；单位换算 1 km = 10³ m 时出错。
(2) 易错点：把 T = 2π√(LC) 中的 L、C 顺序与平方关系弄错；忘记周期与频率互为倒数；把「从带电量最大到第一次放电完毕」误认为 T/2 或 T，实际是四分之一周期。
(3) 易错点：把波长与频率关系记反，误认为波长越长频率越高；或忽略两者波速相同这一前提。结论：波长越短，频率越高。
8解答题
某中学科技小组为配合「电磁波科普周」活动，设计了一台演示装置：一个理想 LC 振荡回路中，电感 L = 4.0×10⁻³ H，电容 C = 2.5×10⁻¹¹ F。某时刻电容器所带电荷量达到最大值 Q₀ = 2.0×10⁻⁷ C，此时开始计时。已知回路中电磁振荡的能量全部在电容器的电场能与线圈的磁场能之间转化，忽略一切电阻损耗。
(1) 求该振荡回路的振荡周期 T 和振荡频率 f。
(2) 求 t = 0 时刻线圈中磁场能的大小，并求此后电容器电荷量第一次减为零时电容器两端的电压 U（结果用 Q₀、C 表示并算出数值）。
(3) 该回路通过开放电路向空间辐射电磁波。若在距辐射源足够远处测得该电磁波的电场强度方向周期性变化的频率与回路振荡频率相同，求该电磁波在真空中的波长 λ。若要增大该波长，在保持电感 L 不变的条件下，电容 C 应如何调整？请说明依据。
答案：(1) T = 2π√(LC) = 2×3.14×√(4.0×10⁻³ × 2.5×10⁻¹¹) s = 2×3.14×√(1.0×10⁻¹³) s = 2×3.14×3.16×10⁻⁷ s ≈ 2.0×10⁻⁶ s。
f = 1/T ≈ 5.0×10⁵ Hz。
(2) t = 0 时电容器电荷量最大，电路中电流 i = 0，故线圈磁场能 E磁 = 0。
电容器电荷量第一次减为零时，由 q = Q₀cos(ωt)（ω = 2π/T），该时刻 q = 0，但此处应理解为求 q 由最大变为零的过程中电容器两端电压的初始最大值：U₀ = Q₀/C = 2.0×10⁻⁷ ÷ 2.5×10⁻¹¹ V = 8.0×10³ V；当 q 第一次减为零的瞬间，电容器两端电压 u = q/C = 0，此时电场能全部转化为磁场能。
(3) λ = c/f = 3.0×10⁸ ÷ 5.0×10⁵ m = 6.0×10² m。
由 T = 2π√(LC)，f = 1/T，λ = c/f = 2πc√(LC)。保持 L 不变时，λ ∝ √C，故要增大波长 λ，应增大电容 C。
解析：本题以校园科技活动为情境，把 LC 振荡的能量转化、周期公式与电磁波波长公式结合，属知识迁移型中档偏上题。
(1) 易错点：√(LC) 内数量级计算出错，10⁻³×10⁻¹¹ = 10⁻¹⁴ 不是 10⁻¹⁴ 开方得 10⁻⁷，而是 10⁻¹³ 开方约 3.16×10⁻⁷，须仔细；周期与频率互为倒数易忘。
(2) 易错点：t = 0 时电荷量最大意味着电流为零，磁场能为零，容易误以为此时能量各半；「电荷量第一次减为零」瞬间电容器电压为零，容易误答为最大电压。最大电压 U₀ = Q₀/C 应区分于该瞬间的 u = 0。
(3) 易错点：把 λ = c/f 与 f = 1/(2π√(LC)) 联立时把 √C 的正比关系弄反，误认为增大 C 波长减小；或忽略电磁波在真空中速度恒为 c，与频率无关。结论：波长与 √C 成正比，增大电容即可增大波长。