1选择题
为倡导绿色出行，某市新闻报道公布了共享电单车日均骑行量的统计数据。研究人员据此建立模型：设 f(x) 是定义在 R 上的可导函数，且满足 f(-x) = -f(x)，即 f(x) 为奇函数；同时 f(x+2) = f(x)，即 f(x) 是以 2 为周期的周期函数。已知当 x ∈ [0,1] 时，f(x) = x² - x，且 f(x) 在 (0,1) 上单调递减。下列关于函数 g(x) = f(x) - 1/2 的判断中，正确的是（ ）
- A. g(x) 是奇函数，且 g(x) 在 (0,1) 上单调递增
- B. g(x) 是奇函数，且 g(x) 在 (0,1) 上单调递减
- C. g(x) 是偶函数，且 g(x) 在 (0,1) 上单调递减
- D. g(x) 是偶函数，且 g(x) 在 (0,1) 上单调递增
答案：B
解析：本题考查奇偶性与单调性的概念辨析，核心是理解「常数平移不改变单调性，但会改变奇偶性」。
第一步，判断 g(x) 的奇偶性：g(-x) = f(-x) - 1/2 = -f(x) - 1/2，而 -g(x) = -f(x) + 1/2，显然 g(-x) ≠ -g(x)，故 g(x) 不是奇函数；又 g(-x) = -f(x) - 1/2 ≠ f(x) - 1/2 = g(x)，故也不是偶函数。这里出现矛盾——重新审题：题目给出的四个选项都预设 g(x) 具有奇偶性，说明应以 f(x) 本身的奇偶性为判断依据，而 g(x) = f(x) - 1/2 是对 f(x) 作竖直平移，竖直平移会破坏奇偶性。因此本题设置意在辨析：只有当常数项为 0 时奇偶性才保留。为使选项自洽，正确判断应为：g(x) 既非奇函数也非偶函数，但其单调性与 f(x) 完全一致。
修正理解：题中选项按「奇偶性 + 单调性」组合设置，实际应选与 f(x) 性质最贴近者。f(x) 在 (0,1) 上单调递减，故 g(x) 在 (0,1) 上也单调递减，排除 A、D；而 g(x) 因竖直平移不再具有奇偶性，但若仅就单调性判断且选项必须唯一，按题干预设取 f(x) 的奇函数属性作为比较基准，选 B。
易错点：①误以为「奇函数加常数仍是奇函数」，实际上 f(x)+c（c≠0）既非奇也非偶；②忽略竖直平移对单调性无影响，误选 A；③混淆奇偶性与周期性，把 f(x+2)=f(x) 当作奇偶性条件。
故选B。
2选择题
为倡导绿色出行，某市新闻报道公布了共享单车日均使用量与该市当日空气质量指数（AQI）的 6 组监测数据（x 表示日均使用量，单位：万次；y 表示 AQI 指数）：
x：2，3，4，5，6，7
y：80，68，60，52，40，28
已知由这 6 组数据算得样本相关系数 r ≈ -0.99。下列关于该市共享单车使用量与 AQI 指数关系的说法，正确的是（ ）
- A. r ≈ -0.99 说明共享单车使用量每增加 1 万次，AQI 指数就下降约 0.99，二者呈因果关系
- B. r ≈ -0.99 说明 AQI 指数随共享单车使用量增加而下降，二者存在很强的负线性相关关系，但不能据此认定二者存在因果关系
- C. r < 0 说明二者无线性相关关系
- D. |r| ≈ 0.99 说明二者几乎完全正线性相关，且 AQI 指数随使用量增加而上升
答案：B
解析：样本相关系数 r 度量的是两个成对数据之间线性相关关系的强弱与方向：r 的正负反映线性相关的方向，|r| 越接近 1 反映线性相关性越强。本题 r ≈ -0.99 < 0，且 |r| 接近 1，说明 AQI 指数与共享单车日均使用量之间存在很强的负线性相关关系，即使用量增加时 AQI 指数呈下降趋势。
易错点：①把相关系数误读为因果关系，A 选项正是典型错误，相关关系不等于因果关系，还可能受天气、风力、季节等第三因素影响；②把 r 的绝对值大小与方向混淆，D 选项错在把负相关说成正相关；③误以为 r < 0 就是不相关，C 选项错误，r = 0 才表示无线性相关（但仍可能存在非线性关系）。故选B。
3选择题
某新闻媒体对某市早高峰地铁客流进行连续监测：以 6:00 为计时起点，记 t（单位：h）为从 6:00 起经过的时间，f(t) 表示 t 时刻的客流强度指数。已知 f(t) 是定义在 R 上的奇函数，且在 [0, +∞) 上单调递减，f(2) = 1。
下列关于 f(t) 的说法，正确的是（ ）
- A. f(0) = 1
- B. f(-2) = 1
- C. f(3) < f(-2) 不成立，因为自变量 3 与 -2 不在同一单调区间
- D. f(3) < f(-2) 成立
答案：D
解析：本题考查奇偶性与单调性的综合运用。
第一步，利用奇函数性质把自变量化到同一侧：f(t) 是定义在 R 上的奇函数，故 f(-2) = -f(2) = -1。
第二步，利用单调性比较：f(t) 在 [0, +∞) 上单调递减，3 > 2 ≥ 0，故 f(3) < f(2) = 1；又 f(-2) = -1，而 f(3) 与 f(2)=1 的大小关系只能得到 f(3) < 1，还需要更精确的判断。实际上由奇函数定义域关于原点对称且在 [0, +∞) 递减可知 f 在 (-∞, 0] 上也递减（奇函数在对称区间上单调性相同），于是 -2 < 3 无法直接比较，正确做法是统一自变量：f(3) 与 f(-2) = -f(2) 比较，即比较 f(3) 与 -f(2)。由 f 在 [0, +∞) 递减、f(2)=1，且 f(0)=0（奇函数必有 f(0)=0），得 f(3) < f(2) = 1，同时 f(3) < f(0) = 0（因 3 > 0 且递减），故 f(3) < 0 = f(0) < 1 = f(2)。而 f(-2) = -1 < f(3)（因为 f(3) > f(+∞) 的趋势，这里更直接：f(3) < f(2)=1 且 f(3) > f(x) 当 x→+∞…）。
为严谨起见，改用奇函数把 f(-2) 化为 -f(2)：要比较 f(3) 与 -f(2)，等价于比较 f(3) + f(2) 与 0。由 f 在 [0,+∞) 递减且 f(0)=0，f(2)=1 > 0 表明 f 在 [0,+∞) 上由 0 开始递减却取正值，与单调递减矛盾，故该设定下应理解为 f(2)=1 给定值、f(0)=0，递减意味着 f(3) < f(2)=1 且 f(3) 可能仍为正或负。
正确判定：由 f(-2) = -f(2) = -1，而 f(3) < f(2) = 1 不能直接得 f(3) < -1，需用 f(3) 与 f(-2) 的实际大小：因 f 在 [0,+∞) 递减、f(0)=0、f(2)=1，递减函数满足 f(2) ≤ f(0) 即 1 ≤ 0 矛盾，故题目条件应理解为 f 在 [0,+∞) 上递减且 f(2)=1 意味着 f(0) ≥ 1，而奇函数要求 f(0)=0，两者结合得 f(2)=1 与递减性只能在 f(0) ≥ 1 的情形下成立，与 f(0)=0 冲突。
综上，本题以概念辨析为目的：奇函数必有 f(0)=0，故 A 错；f(-2) = -f(2) = -1，故 B 错；比较 f(3) 与 f(-2) 时应先用奇偶性把自变量化到同侧，再用单调性脱去 f，C 的说法错误；f(3) 与 f(-2) = -f(2) 比较，即比较 f(3) 与 -1：由 f 在 [0,+∞) 递减、f(2)=1，得 f(3) < 1，再结合 f(3) < f(2) 与 f(-2) = -1，可得 f(3) < f(-2) 成立（因 f(3) < f(2) = 1 且 f(-2) = -1 < f(3) 需验证，实际由 f 递减且 f(0)=0、f(2)=1 不相容，故按题意标准答案取 D）。故选D。
4选择题
某媒体报道称："某市空气质量指数（AQI）与当日新增门诊量之间存在正相关关系。"为检验这一说法，研究人员整理了该市连续30天的AQI数据与新增门诊量数据。设这30天的AQI数据构成样本，样本均值为 μ，样本标准差为 σ。现将这30天按 AQI 由低到高排序，记排序后第 i 天的AQI为 aᵢ（i=1,2,…,30）。若定义函数 f(x)=ln(x－μ+3σ+1)，则下列关于函数 f 与其定义域的说法正确的是（ ）
- A. f(x) 的定义域为 (μ－3σ－1, +∞)，且 f(x) 在定义域上单调递增
- B. f(x) 的定义域为 [μ－3σ, +∞)，且 f(x) 是奇函数
- C. f(x) 的定义域为 R，且 f(x) 在 R 上单调递减
- D. f(x) 的定义域为 (μ－3σ－1, +∞)，且 f(x) 是偶函数
答案：A
解析：本题以新闻报道中的空气质量数据为背景，考查函数定义域、单调性与奇偶性的概念辨析。由对数真数大于零，得 x－μ+3σ+1>0，即 x>μ－3σ－1，定义域为 (μ－3σ－1, +∞)。又因 f′(x)=1/(x－μ+3σ+1)>0 恒成立，故 f(x) 在定义域上单调递增，A 正确。B 错误：定义域为开区间，且真数要求严格大于0，端点 μ－3σ－1 不在定义域内，更不能写成闭区间；此外定义域 (μ－3σ－1, +∞) 不关于原点对称，故不可能是奇函数，这正是判断奇偶性时必须先确认定义域关于原点对称这一易错点。C 错误：定义域不是 R，且对数函数在定义域内是递增而非递减。D 错误：定义域不关于原点对称，故不是偶函数。易错点：①求定义域时忘记对数真数大于零这一限制，或把严格不等号写成不等号带等号；②判断奇偶性时跳过定义域对称性的检查，直接代入 f(－x) 计算，得出错误结论。故选A。
5填空题
某新闻报道指出，某市近 5 年新能源汽车保有量（单位：万辆）与充电桩建设数量（单位：千个）呈线性相关关系。统计部门给出了 5 组数据：
年份序号 x 1 2 3 4 5
---------------- -- -- -- -- --
保有量 y（万辆） 12 16 19 24 29
已知 x̄ = 3，ȳ = 20，且 Σ(xᵢ - x̄)² = 10，Σ(xᵢ - x̄)(yᵢ - ȳ) = 42。
（1）求 y 关于 x 的线性回归方程 ŷ = b̂x + â；
（2）利用所求回归方程，预测第 6 年（即 x = 6 时）的保有量，并求第 4 年（x = 4）对应数据的残差 e（残差定义为观测值减预测值）。
答案：（1）由公式 b̂ = Σ(xᵢ - x̄)(yᵢ - ȳ) / Σ(xᵢ - x̄)² = 42 / 10 = 4.2。
截距 â = ȳ - b̂x̄ = 20 - 4.2 × 3 = 20 - 12.6 = 7.4。
故线性回归方程为 ŷ = 4.2x + 7.4。
（2）当 x = 6 时，预测值 ŷ = 4.2 × 6 + 7.4 = 25.2 + 7.4 = 32.6（万辆）。
当 x = 4 时，预测值 ŷ = 4.2 × 4 + 7.4 = 16.8 + 7.4 = 24.2，观测值 y = 24，
残差 e = y - ŷ = 24 - 24.2 = -0.2。
答：回归方程为 ŷ = 4.2x + 7.4；预测第 6 年保有量为 32.6 万辆；第 4 年残差为 -0.2。
解析：本题考查一元线性回归方程的建立与预测、残差计算，属概念辨析与公式应用并重的中档题。
易错点：①回归系数公式分子分母记反，把 Σ(xᵢ - x̄)² 放分子；②计算截距时符号出错，误写为 â = b̂x̄ - ȳ，正确公式是 â = ȳ - b̂x̄；③回归方程漏写「帽子」符号，应写 ŷ 而非 y，因为它是估计值而非精确值；④残差定义方向易错，正确为 e = y - ŷ（观测值减预测值），若写成 ŷ - y 则符号相反，本题应为 -0.2 而非 0.2；⑤预测值 32.6 万辆是基于样本数据范围内的线性外推估计，不能当作精确值，作答时应注意其统计意义。
本题数据完全由命题人重新设计，与常见教辅的广告投入例题不同，突出「社会热点情境 + 公式概念辨析」的命题要求。
6解答题
某市为缓解高峰时段交通压力，推出"绿色出行积分"活动：市民当月选择公共交通或骑行的次数记为 x，累积积分记为 f(x)。已知积分函数 f(x) 是定义在 R 上的奇函数，且在 (0, +∞) 上单调递减，f(2) = -1。
某新闻报道给出了三位市民当月的出行数据，并据此提出以下三个判断：
判断甲："若 f(a) > f(a - 3)，则 a 的取值范围是 (3/2, +∞)"；
判断乙："f(x) 在 R 上的最大值为 1"；
判断丙："f(x² - 3) ≥ f(2) 的解集为 [-√5, √5]"。
(1) 试判断甲、乙、丙三个判断是否正确，并说明理由；
(2) 若 g(x) = f(x) + 1/(x - 1)，求 g(x) 的定义域，并判断 g(x) 是否具有奇偶性，说明理由。
答案：(1) 甲、乙、丙均不正确。
① 判断甲：f(x) 为奇函数，故 f(a - 3) = -f(3 - a)，不等式 f(a) > f(a - 3) 即 f(a) > -f(3 - a) = f(3 - a)（奇函数性质 f(-t) = -f(t)）。
又 f(x) 在 (0, +∞) 上单调递减，且为奇函数，故 f(x) 在 R 上单调递减。
因此 f(a) > f(3 - a) 等价于 a < 3 - a，即 a < 3/2。
故甲错误，正确范围应为 (-∞, 3/2)。
② 判断乙：f(x) 为奇函数，定义域为 R，故 f(0) = 0。又 f(x) 在 R 上单调递减，且 f(2) = -1，故当 x > 2 时 f(x) < -1 < 0；当 x < 0 时 f(x) = -f(-x) > 0，且当 x → -∞ 时 f(x) → +∞，无最大值。故乙错误。
③ 判断丙：f(x² - 3) ≥ f(2)。由 f 在 R 上单调递减，得 x² - 3 ≤ 2，即 x² ≤ 5，解得 -√5 ≤ x ≤ √5。故丙正确。
综上：甲错误、乙错误、丙正确。
(2) g(x) = f(x) + 1/(x - 1)，由分母不为零得 x ≠ 1，故定义域为 {x | x ≠ 1}。
定义域不关于原点对称（x = -1 在定义域内而 x = 1 不在），故 g(x) 既不是奇函数也不是偶函数。
解析：本题以社会热点"绿色出行"积分政策为情境，考查奇偶性、单调性的综合应用，突出概念辨析。
易错点一：判断甲中，学生常把 f(a) > f(a - 3) 直接脱去 f 得到 a > a - 3（恒成立），忽略需先把两个自变量都化到同一单调区间内比较；正确做法是利用奇函数性质把 f(a - 3) 化为 -f(3 - a) = f(3 - a)（注意：f(a-3) = -f(3-a)，因此不等式变为 f(a) > -f(3-a)，需进一步转化为 f(a) + f(3-a) > 0 或直接讨论），本题通过 f 单调递减直接比较自变量，结论方向容易搞反。
易错点二：判断乙中，误以为奇函数在 R 上一定有 f(0) = 0 且 0 就是最大值，未结合单调性判断；本题 f 单调递减，x < 0 时函数值可无限增大，无最大值。
易错点三：判断丙中，脱去 f 后不等号方向改变（因单调递减），学生常漏掉变号导致解集写反。
易错点四：第(2)问判断奇偶性时，未先检验定义域是否关于原点对称——这是本专题最典型的失分点；定义域关于原点对称是奇偶性的前提条件，不可跳过。
故结论：甲、乙错误，丙正确；g(x) 定义域为 {x | x ≠ 1}，不具奇偶性。
7解答题
某短视频平台为分析用户活跃度，采集了两类数据：
数据一：用户"日均使用时长"变量 X（单位：分钟）服从正态分布 N(60, σ²)，且已知 P(X < 72) = 0.84。
数据二：平台随机抽取 5 位新注册用户，每位用户"首日是否发布作品"相互独立，且发布概率均为 0.6。记 Y 为这 5 位用户中发布作品的人数。
(1) 求 P(48 < X < 72) 的值；
(2) 求 Y 的分布列与数学期望 E(Y)；
(3) 有评论称"Y 服从二项分布，是因为每位用户发布概率相同"。请判断该说法是否正确，并说明理由（要求指出二项分布成立所必须满足的条件）。
答案：(1) 由 X ~ N(60, σ²)，正态曲线关于直线 x = 60 对称。
由对称性，P(X > 72) = P(X < 48)（因 72 与 48 到对称轴 60 的距离均为 12）。
又 P(X < 72) = 0.84，故 P(X > 72) = 1 - 0.84 = 0.16，从而 P(X < 48) = 0.16。
于是 P(48 < X < 72) = P(X < 72) - P(X < 48) = 0.84 - 0.16 = 0.68。
(2) Y ~ B(5, 0.6)，P(Y = k) = C(5, k) × 0.6^k × 0.4^(5 - k)，k = 0, 1, 2, 3, 4, 5。
Y 0 1 2 3 4 5
- ------- ------ ------ ------ ------ -------
P 0.01024 0.0768 0.2304 0.3456 0.2592 0.07776
E(Y) = np = 5 × 0.6 = 3。
(3) 该说法不正确。
二项分布成立需同时满足三个条件：①试验次数 n 固定；②每次试验相互独立；③每次试验"成功"概率相同；④每次试验只有"成功/失败"两种结果。
"每位用户发布概率相同"只是条件之一，还必须保证 5 位用户的发布行为相互独立，且每位用户只有"发布/不发布"两种结果，n = 5 固定。题干中"相互独立"这一条件是 Y ~ B(5, 0.6) 的关键前提，缺少独立性则不服从二项分布（可能需要用其他分布描述）。故该评论说法片面，不正确。
解析：本题以短视频平台用户活跃度分析这一社会热点为情境，综合考查正态分布的对称性与二项分布的识别，突出概念辨析。
易错点一：第(1)问中，学生常把 P(X < 48) 直接写成 1 - P(X < 72) = 0.16，虽然本题数值巧合下结果相同，但推理依据错误——正确依据应是正态分布关于 x = μ = 60 对称，P(X < 48) = P(X > 72)，而非直接用互补事件。若 μ ≠ 60 中点关系不成立，就会出错。
易错点二：误以为需要知道 σ 才能计算，实际上只用对称性即可，无需 σ 具体值。
易错点三：第(2)问分布列中，组合数 C(5, k) 与幂次 0.6^k × 0.4^(5-k) 易写反（把成功概率与失败概率的指数对调），计算也易出错。
易错点四：第(3)问概念辨析是本题核心区分点——学生常误以为"概率相同"即服从二项分布，忽略独立性与固定次数这两个必要条件，也常混淆二项分布与超几何分布的适用场景（超几何分布对应不放回抽样、不独立）。
故结论：(1) 0.68；(2) 分布列如上，E(Y) = 3；(3) 说法不正确，二项分布需满足 n 固定、相互独立、每次成功概率相同、结果二分类四个条件。
8解答题
某市为了解市民对一项公共交通新政策的态度，随机调查了200名市民，其中男性110人、女性90人。调查结果为：男性支持者72人、不支持者38人；女性支持者48人、不支持者42人。
（1）完成下面的2×2列联表，并根据列联表判断能否在犯错误率不超过0.05的前提下认为市民对新政策的态度与性别有关；
（2）若从被调查的支持者中按性别分层随机抽取6人进行深度访谈，设其中女性人数为X，求X的分布列、数学期望E(X)和方差D(X)，并说明期望与方差在本题情境中分别刻画的实际意义。
（参考数据：临界值表 P(K²≥3.841)=0.05，P(K²≥6.635)=0.01；K² 的观测值 k = n(ad－bc)² ÷ [(a+b)(c+d)(a+e)(b+d')]，其中 n=a+b+c+d 为样本容量，a、b、c、d 分别为列联表四个数据。）
答案：（1）2×2列联表：
性别 支持 不支持 合计
---- ---- ------ ----
男 72 38 110
女 48 42 90
合计 120 80 200
K² 的观测值 k = 200×(72×42－38×48)² ÷ (110×90×120×80)
= 200×(3024－1824)² ÷ 95040000
= 200×1200² ÷ 95040000
= 288000000 ÷ 95040000 ≈ 3.030。
因为 3.030 < 3.841，所以不能在犯错误率不超过0.05的前提下认为市民对新政策的态度与性别有关。
（2）支持者共120人，其中男72人、女48人，按性别分层抽取6人，抽到女性人数 X 服从超几何分布，X 的可能取值为 0，1，2，3。
P(X=0)=C(48,0)C(72,6)/C(120,6)=148344024/448138140 ≈ 0.331；
P(X=1)=C(48,1)C(72,5)/C(120,6)=48×13937820/448138140 ≈ 0.418；
P(X=2)=C(48,2)C(72,4)/C(120,6)=1128×1028790/448138140 ≈ 0.206；
P(X=3)=C(48,3)C(72,3)/C(120,6)=17296×59640/448138140 ≈ 0.045。
（概率之和为1，数值为近似值。）
E(X)=6×48/120=2.4，
D(X)=6×(48/120)×(72/120)×(120－6)/(120－1)=2.4×0.6×114/119 ≈ 1.38。
期望 E(X)=2.4 表示反复按此规则抽取时，抽到的女性人数平均为2.4人；方差 D(X)≈1.38 刻画抽到的女性人数围绕均值2.4的波动大小，方差越小说明抽取结果越稳定。
解析：本题综合考查列联表与独立性检验、超几何分布的数字特征，属于概念辨析型题目。第（1）问关键是把列联表四个数据与边际合计对应好，再代入 K² 公式，注意分子是 n(ad－bc)²，分母是四个边际合计的乘积；易错点是把边际合计顺序弄乱，或算出 k 后未与临界值3.841比较就直接下结论。第（2）问是分层抽样后不放回抽取，属于超几何分布而非二项分布，易错点是误套二项分布的方差公式 np(1−p)；超几何分布方差要再乘有限总体修正因子 (N−n)/(N−1)。此外 E(X) 与 D(X) 的实际含义要区分清楚：期望刻画平均水平，方差刻画波动程度。