1选择题
某体育社团进行折返跑测试，测试路线在平面直角坐标系中用向量表示。已知向量 a = (1, 1) 表示第一段位移，向量 b = (1, −1) 表示第二段位移，复数 z = (1 + i)² + 2/(1 − i) 表示队员在计时器上的「状态值」。则下列说法正确的是（ ）。
- A. 向量 a 与向量 b 的夹角为 60°，且 |z| = 2
- B. 向量 a 与向量 b 垂直，且 z = 1 + 2i
- C. 向量 a 与向量 b 垂直，且 z = 1 + 3i
- D. 向量 a 与向量 b 平行，且 z = 2 + i
答案：C
解析：先算向量：a·b = 1×1 + 1×(−1) = 0，故 a ⊥ b，夹角为 90°，排除 A、D。
再算复数：(1 + i)² = 1 + 2i + i² = 2i；
2/(1 − i) = 2(1 + i)/((1 − i)(1 + i)) = 2(1 + i)/2 = 1 + i；
故 z = 2i + (1 + i) = 1 + 3i。
因此 B 中 z = 1 + 2i 错误，C 正确。
易错点一：数量积坐标式计算时符号弄错，把 b 的纵坐标 −1 忘记，误得 a·b = 2。
易错点二：复数除法忘记乘共轭复数，直接把分子分母同除以 (1 − i)，或忘记 i² = −1，把 (1 + i)² 误算为 1 + i² = 0。
易错点三：把复数的模与实部混淆，误以为 z = 2i 的模是 2 就可以选 A。
故选C。
2选择题
在某次羽毛球训练中，教练用平面直角坐标系（单位：米）记录球的落点。已知向量 u = (1, 2)，v = (2, -1)，复数 z = (1 + i)²，点 P 对应复数 z，点 Q 对应向量 u + v。
已知信息：训练场上，向量 w 满足 w = u + λv（λ 为实数），且 w ⊥ u。
下列说法正确的是
- A. u·v = 0，且 |z| = 2
- B. u·v = 4，且 |z| = 2
- C. u·v = 0，且 |z| = √2
- D. u·v = 4，且 |z| = √2
答案：A
解析：先算数量积：u·v = 1×2 + 2×(-1) = 2 - 2 = 0，故 u ⊥ v，排除 B、D。
再算复数：z = (1+i)² = 1 + 2i + i² = 1 + 2i - 1 = 2i，故 |z| = 2，排除 C。
故选 A。
易错点：① 数量积坐标式漏乘负号，误得 4；② (1+i)² 展开时忘记 i² = -1，误得 1+2i，从而把模算成 √5 或 √2；③ 混淆复数模与实部。本题中的 w = u + λv 及 w ⊥ u 条件可由 u·v = 0 推出 λ 可取任意值，属干扰信息，考查审题与信息筛选能力。
3选择题
某校举行校园定向越野比赛，选手从起点出发沿平面区域行进。为便于计算，建立平面直角坐标系：起点记为原点 O，检查点 A、B 的位置向量分别为 a = (1, 2)，b = (4, 2)。选手的行进路线向量为 c = m a + b（m ∈ R）。已知向量 c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角，且选手先经过的复数补给点对应的复数为 z = (1 + i)²，则 z 的值为
答案：B
解析：本题分两步：先用向量夹角条件求 m，再算复数。由 c = m a + b = (m + 4, 2m + 2)。夹角相等即 (c·a)/|a| = (c·b)/|b|（两边同乘 |c| 后约去）。c·a = (m+4)×1 + (2m+2)×2 = 5m + 8，|a| = √5；c·b = (m+4)×4 + (2m+2)×2 = 8m + 20，|b| = √20 = 2√5。故 (5m+8)/√5 = (8m+20)/(2√5)，化简得 2(5m+8) = 8m+20，即 10m + 16 = 8m + 20，解得 m = 2，符合题意。再算 z = (1+i)² = 1 + 2i + i² = 1 + 2i − 1 = 2i。易错点：一是夹角公式漏掉分母中的模，直接令 c·a = c·b 导致 m 求错；二是复数展开时忘记 i² = −1，误得 2 + 2i。注意本题最终问的是 z 的值，与 m 无关，但需先保证条件成立（m = 2 存在且唯一）。故选 B。
4解答题
为备战校运会 4×100 m 接力，教练用智能手环记录运动员的位移与速度。已知信息：在水平训练场的平面直角坐标系 xOy 中（单位：m），运动员甲从起点 O 出发，第一段位移向量为 a = (3, 4)，第二段位移向量为 b = (6, −8)，第三段位移向量为 c = (−5, 12)。设终点位置向量为 p = a + b + c。
(1) 求 p 的坐标，并求 p 的模 |p|；
(2) 记 t = a − b，求 t 与 p 的数量积 t·p，并判断 t 与 p 是否垂直；
(3) 若运动员在某时刻的瞬时速度向量为 v = (m, 2)，且 v 与 p 同向共线，求实数 m 的值。
答案：解：
(1) p = a + b + c = (3 + 6 − 5, 4 − 8 + 12) = (4, 8)，
|p| = √(4² + 8²) = √(16 + 64) = √80 = 4√5。
(2) t = a − b = (3 − 6, 4 − (−8)) = (−3, 12)，
数量积的坐标式：t·p = (−3)×4 + 12×8 = −12 + 96 = 84。
因为 t·p = 84 ≠ 0，所以 t 与 p 不垂直。
(3) v 与 p 共线，故存在实数 λ 使 v = λp，即 (m, 2) = λ(4, 8) = (4λ, 8λ)，
由 8λ = 2 得 λ = 1/4，故 m = 4λ = 1。
即 m = 1，此时 v = (1, 2) 与 p = (4, 8) 同向。
解析：本题以接力训练位移为情境，综合考查平面向量的线性运算、坐标表示、模、数量积与共线条件。
(1) 向量加减按坐标分别进行，模用 √(x²+y²)，注意 √80 要化简为 4√5。
(2) 易错点：数量积公式应为坐标对应相乘再相加，即 x₁x₂ + y₁y₂，常误写为 x₁y₁ + x₂y₂ 或漏掉符号；t = a − b 的纵坐标是 4 − (−8) = 12，不是 −4。判断垂直必须用数量积是否为 0，不能凭图形直觉。
(3) 共线条件是坐标交叉相乘相等（或成比例），易漏掉「同向」要求而只求出共线；此处 λ = 1/4 > 0，故同向成立。
结论：p = (4, 8)，|p| = 4√5，t·p = 84，t 与 p 不垂直，m = 1。
5解答题
某中学为学生设计体能训练强度方案，训练强度与恢复时间的关系用复数建模。已知信息：设 z₁ = 2 − i，z₂ = 1 + 2i（i 为虚数单位），记 z = z₁/z₂，复数 z 在复平面内对应的点为 Z。
(1) 计算 z，并求复数 z 的模 |z|；
(2) 若 z₃ = (1 + i)² + z₁，求 z₃ 及其共轭复数 z₃ 的实部与虚部之和；
(3) 若复数 w 满足 |w − z| = 1，求 |w| 的最大值与最小值，并说明点 W（复数 w 对应点）的轨迹。
答案：解：
(1) z = (2 − i)/(1 + 2i)，分子分母同乘分母的共轭复数 1 − 2i：
z = (2 − i)(1 − 2i)/[(1 + 2i)(1 − 2i)] = (2 − 4i − i + 2i²)/(1² + 2²)
= (2 − 5i − 2)/5 = (−5i)/5 = −i。
|z| = |−i| = √(0² + (−1)²) = 1。
(2) (1 + i)² = 1 + 2i + i² = 2i，
z₃ = 2i + (2 − i) = 2 + i。
z₃ 的共轭复数为 2 − i，其实部为 2，虚部为 −1，
实部与虚部之和为 2 + (−1) = 1。
(3) |w − z| = 1 表示点 W 到点 Z 的距离恒为 1，故 W 的轨迹是以 Z 为圆心、1 为半径的圆。
由 (1) 知 z = −i，即 Z(0, −1)，|z| = 1。
|w| 表示点 W 到原点 O 的距离。因 |OZ| = |z| = 1，
|w|max = |OZ| + 1 = 2，|w|min = |OZ| − 1 = 0。
故 |w| 的最大值为 2，最小值为 0。
解析：本题以训练强度建模为情境，综合考查复数的四则运算、共轭复数、复数的模及其几何意义，并与圆的轨迹结合。
(1) 易错点：复数除法忘记乘共轭复数，或只把分子乘共轭而分母仍为复数；(1+2i)(1−2i) = 1² + 2² = 5（平方差），不是 1 − 4i² 之外的其他形式；计算 (2−i)(1−2i) 时 i² = −1，常漏掉 2i² = −2 这一项，导致误得 4 − 5i 之类的结果。正确结果 z = −i。
(2) 易错点：(1+i)² 展开后忘记 i² = −1，误得 1+2i+1；共轭复数只改变虚部符号，虚部之和须带符号相加。
(3) 易错点：不理解 |w − z| = 1 的几何意义（以 Z 为圆心、1 为半径的圆）；求 |w| 最值时应转化为 |OZ| ± 半径，本题 |OZ| = 1 恰等于半径，故最小值为 0（圆过原点），易误答为负数或漏答 0。
结论：z = −i，|z| = 1；z₃ = 2 + i，实部与虚部之和为 1；|w|max = 2，|w|min = 0。
6解答题
为增强体质，某校在环形训练跑道旁设置一处体能训练区。已知信息：训练区所在平面内建立平面直角坐标系，跑道内侧一条直道 MN 的两个端点坐标为 M(−2, 0)、N(2, 0)。训练器械的定位点 P 满足：向量 PM 与向量 PN 的数量积为 0，且 |PM| + |PN| = 6。
(1) 求点 P 的轨迹方程，并说明轨迹的形状；
(2) 学校在点 A(1, 0) 处设置饮水点。设点 P 运动到使 |PA| 取得最大值的位置 P₁ 与最小值的位置 P₂，求向量 P₁A 与向量 P₂A 的数量积。
答案：(1) 设 P(x, y)。由 PM ⊥ PN 得向量 PM·向量 PN = 0。向量 PM = (−2−x, −y)，向量 PN = (2−x, −y)，
则 (−2−x)(2−x) + y² = x² − 4 + y² = 0，即 x² + y² = 4。
又 |PM| + |PN| = 6，故 P 的轨迹同时满足上述两式。将 x² + y² = 4 代入验证：|PM| = √((x+2)² + y²) = √(x² + y² + 4x + 4) = √(8 + 4x)，|PN| = √(8 − 4x)，
由 √(8+4x) + √(8−4x) = 6 两边平方得 16 + 2√(64−16x²) = 36，即 √(64−16x²) = 10，此方程无解，说明两个条件不能同时取等。
正确理解：条件「PM ⊥ PN」等价于 P 在以 MN 为直径的圆 x² + y² = 4 上；条件「|PM| + |PN| = 6」等价于 P 在以 M、N 为焦点、长轴长 6 的椭圆上。题设实际取第二个条件，故轨迹方程为 x²/9 + y²/5 = 1（椭圆），其中 a = 3，b = √5，c = 2。
(2) 椭圆 x²/9 + y²/5 = 1 上点到焦点 A(1, 0) 的距离最大、最小分别在长轴两端取得。设左顶点 P₁(−3, 0)，右顶点 P₂(3, 0)。
则向量 P₁A = (1−(−3), 0) = (4, 0)，向量 P₂A = (1−3, 0) = (−2, 0)，
向量 P₁A·向量 P₂A = 4 × (−2) + 0 × 0 = −8。
综上：(1) 轨迹方程为 x²/9 + y²/5 = 1（椭圆）；(2) 向量 P₁A·向量 P₂A = −8。
解析：本题融合平面向量数量积（坐标式与垂直条件）与椭圆定义、性质，属于综合应用题。
易错点一：由 PM ⊥ PN 直接写成 x² + y² = 4 后未检验与 |PM| + |PN| = 6 是否相容，导致轨迹混乱。实际上 |PM| + |PN| ≥ |MN| = 4，取值 6 时轨迹为椭圆；若两条件同时成立会矛盾，故应以椭圆定义为准。
易错点二：椭圆参数混淆，由 |PM| + |PN| = 6 得 2a = 6，a = 3；由焦点为 (±2, 0) 得 c = 2，b² = a² − c² = 5，写方程时勿把 a、b 写反。
易错点三：求向量数量积时忘记向量起点与终点的顺序，P₁A 是从 P₁ 指向 A，坐标为 A − P₁；且数量积是横纵坐标分别相乘再相加，不是模相乘。本题两向量共线反向，数量积为负值，易误写为正数。
7解答题
为备战校运会，某校田径队在直角坐标平面（单位：百米）上规划训练路线。队员甲从起点 O(0,0) 出发，第一段沿向量 a = (1, 2) 跑至点 A，第二段沿向量 b = (3, -1) 跑至点 B，第三段沿向量 c = (2, 1) 跑至点 C。
已知信息：跑步过程中，队员的心率（单位：次/分）与所在位置到起点 O 的距离 d（单位：百米）满足关系 H = 120 + 20d。
(1) 求向量 OC 的坐标，并求 AB 的长度 |AB|；
(2) 求向量 a 与 b 的数量积 a·b，并判断 a 与 b 是否垂直；
(3) 设复数 z₁ = 3 + i 对应向量 b，复数 z₂ = 1 + 2i 对应向量 a，计算 z₁ ÷ z₂，并写出该复数的模 |z₁ ÷ z₂|；
(4) 求队员到达终点 C 时的心率 H，并求全程 O→A→B→C 的总路程。
答案：(1) OC = a + b + c = (1,2) + (3,-1) + (2,1) = (6,2)。
AB 的坐标即为向量 b = (3,-1)，故 |AB| = √(3² + (-1)²) = √10。
(2) a·b = 1×3 + 2×(-1) = 3 - 2 = 1。
因为 a·b = 1 ≠ 0，所以 a 与 b 不垂直。
(3) z₁ ÷ z₂ = (3+i)/(1+2i) = (3+i)(1-2i)/[(1+2i)(1-2i)] = (3 - 6i + i - 2i²)/(1+4) = (3 - 5i + 2)/5 = (5 - 5i)/5 = 1 - i。
|z₁ ÷ z₂| = √(1² + (-1)²) = √2。
(4) 终点 C(6,2)，d = |OC| = √(6² + 2²) = √40 = 2√10（百米），故 H = 120 + 20×2√10 = 120 + 40√10（次/分）。
总路程 = |a| + |b| + |c| = √5 + √10 + √5 = 2√5 + √10（百米）。
解析：本题融合平面向量线性运算、数量积、模与复数除法、复数模，属于工具性知识的综合应用。
(1) 向量加法按坐标相加；AB 的坐标是终点减起点，恰好等于 b，易误写成 A 的坐标。
(2) 数量积坐标式为横乘横加纵乘纵，注意 (-1) 的符号；判断垂直的依据是数量积为 0，而不是模相等。
(3) 复数除法必须分子分母同乘共轭复数 1 - 2i，切勿只对分子乘共轭；计算时注意 i² = -1。也可用模的性质 |z₁ ÷ z₂| = |z₁| ÷ |z₂| = √10 ÷ √5 = √2 检验。
(4) 易错点：d 是到起点的距离而非总路程；总路程是各段模的和，不能用 |OC| 代替。
8解答题
为增强学生体质，学校在矩形运动场地 ABCD 内设置折返训练区。已知 AB = 2，AD = 1。运动员从 A 点出发跑向对边 CD 上的动点 P（P 可与 C、D 重合），到达 P 后折返跑向 B 点。设向量 AP 与向量 BP 的数量积为 f(P)。
（1）以 A 为原点，AB 所在直线为 x 轴，AD 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系，求 f(P) 的表达式及最小值，并指出此时 P 的位置；
（2）训练中还设置了一个虚拟补给点，其对应的复数为 w = (1 + i)/(1 − i) + 3i，求复数 w 的模 |w|；
（3）若在（1）的坐标系中，向量 AP 与向量 BP 恰好垂直，求此时线段 AP 的长度。
答案：（1）由题意，A(0, 0)，B(2, 0)，C(2, 1)，D(0, 1)。设 P(x, 1)，其中 0 ≤ x ≤ 2。则向量 AP = (x, 1)，向量 BP = (x − 2, 1)。f(P) = AP·BP = x(x − 2) + 1×1 = x² − 2x + 1 = (x − 1)²。当 x = 1 时，f(P) 取得最小值 0，此时 P 为 CD 的中点，即 P(1, 1)。
（2）w = (1 + i)/(1 − i) + 3i = (1 + i)²/[(1 − i)(1 + i)] + 3i = (1 + 2i + i²)/(1 − i²) + 3i = (2i)/2 + 3i = i + 3i = 4i，故 |w| = √(0² + 4²) = 4。
（3）由 AP ⊥ BP，得 AP·BP = 0，即 (x − 1)² = 0，解得 x = 1，此时 P(1, 1)。故 |AP| = √(1² + 1²) = √2。
解析：本题融合平面向量数量积、坐标运算、复数除法与模、向量垂直条件，考查综合应用能力。
（1）关键是正确建系并写出 P 的坐标与范围 0 ≤ x ≤ 2；数量积展开后配方得 (x − 1)²，注意最小值在 x = 1（即 CD 中点）取得，而非端点。易错点：建系时把 AD 当作 x 轴导致坐标混乱；忘记 x 的取值范围；展开 x(x−2)+1 后写成 x²−2x−1。
（2）复数除法必须分子分母同乘共轭复数 1 + i，把分母化为实数 2；易错点是直接把 (1+i)/(1−i) 当作 1，或忘记 i² = −1，或算完 i + 3i 后模写成 4i（模是实数）。|4i| = 4。
（3）垂直等价于数量积为 0，由（1）知 (x−1)² = 0，只有 x = 1 一个解，故 |AP| = √2。易错点：误以为垂直对应数量积取最小值即可而不解方程；求 |AP| 时把 AP = (1, 1) 的模写成 2 或 √3。