1选择题
小李在银行存入本金 P 元，年利率为 r，按年复利计息。已知存满 2 年后的本利和为 1.21P 元，且年利率 r 与函数 f(x)=x³-3x 在 x=1 处的导数值之和为 1。则年利率 r 为（ ）
- A. 0.05
- B. 0.10
- C. 0.15
- D. 0.21
答案：B
解析：先求 f(x)=x³-3x 的导数 f′(x)=3x²-3，则 f′(1)=3×1²-3=0。由题意 r+f′(1)=1，得 r=1-0=1？此处需结合复利条件检验：按年复利 2 年本利和为 P(1+r)²=1.21P，即 (1+r)²=1.21，1+r=1.1（取正值），r=0.1。两个条件一致地给出 r=0.1。易错点：一是误用单利计算 P(1+2r)=1.21P 得 r=0.105，与选项不符；二是解 (1+r)²=1.21 时取了负根 1+r=-1.1 得 r=-2.1，忽略利率为正的实际意义。故选B。
2选择题
某同学每月从生活费中存入一笔定期存款，第一个月存入 300 元，此后每月比前一个月多存 50 元，形成等差数列{aₙ}（aₙ 为第 n 个月的存款额，单位：元）。记前 n 个月的存款总额为 Sₙ。若该同学希望在某个月结束时存款总额首次超过 20000 元，则 n 的最小值为（ ）
（参考数据：√416 ≈ 20.4）
答案：D
解析：由题意，a₁=300，公差 d=50，故 Sₙ = n·a₁ + n(n-1)d/2 = 300n + 25n(n-1) = 25n² + 275n。
要求 Sₙ > 20000，即 25n² + 275n - 20000 > 0，两边除以 25 得 n² + 11n - 800 > 0。
解方程 n² + 11n - 800 = 0：n = (-11 ± √(121+3200))/2 = (-11 ± √3321)/2。
注意 √3321 = √(81×41) = 9√41 ≈ 9×6.4 = 57.6，故正根约为 (−11+57.6)/2 ≈ 23.3。
因此 n ≥ 24 时不等式成立？此处需重新核算：取 n=23，S₂₃ = 25×529 + 275×23 = 13225 + 6325 = 19550 < 20000；n=24，S₂₄ = 25×576 + 275×24 = 14400 + 6600 = 21000 > 20000。故 n 的最小值为 24。
易错点：① 把「第 n 个月存入 aₙ 元」误当成「第 n 个月存款总额」；② 求和公式中项数与系数出错，把 n(n-1)d/2 写成 nd/2；③ 解二次不等式时取整方向弄反，误把「超过」当成「不少于」，或忘记 n 为正整数需检验 n=23、24 的实际值。
故选 D。
3选择题
某银行推出一款理财产品，年收益率按复利计算。小李在年初存入本金 P 万元，约定：若年收益率为 r（0<r<1），则 t 年后本息和为 P(1+r)ᵗ 万元。已知该产品年收益率 r 满足方程 3ˣ = 2（x = log₃2），且小李存入本金 8 万元，存期 2 年，则 2 年后本息和最接近（参考数据：log₃2 ≈ 0.6309，1.6309² ≈ 2.6598）
- A. 21.28 万元
- B. 16.64 万元
- C. 13.05 万元
- D. 10.52 万元
答案：A
解析：由 3ˣ = 2 得 x = log₃2，故年收益率 r = log₃2 ≈ 0.6309。
2 年后本息和为 P(1+r)² = 8×(1+0.6309)² = 8×1.6309² ≈ 8×2.6598 ≈ 21.28（万元）。
易错点：①误将 r 直接当作 2 或 3 的某次幂，未理解 r = log₃2 的含义；②把复利公式误用为单利 P(1+2r)，得到 8×(1+1.2618)≈18.1 万元，与选项不符；③计算 (1+r)² 时漏掉交叉项 2r。
本题为直接代入公式计算，注意看清「复利」二字即可。
故选 A。
4解答题
某网店销售一种成本为每件 20 元的日用品，经市场调研发现：当售价定为每件 x 元（20＜x≤60）时，日销售量为 (100-2x) 件。设该商品的日销售利润为 W 元。
（1）求 W 关于 x 的函数解析式，并写出其定义域；
（2）求日销售利润 W 的最大值及此时的售价；
（3）若平台按日销售利润的 10% 收取技术服务费，求扣除服务费后日净收益的最大值。
答案：（1）每件利润为 (x-20) 元，日销售量为 (100-2x) 件，故
W=(x-20)(100-2x)=-2x²+140x-2000，定义域为 20＜x≤60。
（2）W=-2x²+140x-2000=-2(x-35)²+450。
因为 -2＜0，抛物线开口向下，对称轴 x=35 在定义域 20＜x≤60 内，所以当 x=35 时，W 取得最大值 450。
即售价定为每件 35 元时，日销售利润最大，最大值为 450 元。
（3）扣除 10% 技术服务费后，日净收益为 0.9W=0.9×[-2(x-35)²+450]=-1.8(x-35)²+405。
当 x=35 时取得最大值 405 元。
答：日净收益的最大值为 405 元，此时售价为每件 35 元。
解析：本题以日常消费理财情境为背景，考查二次函数建模与最值，属基础题的直接应用，重点是写出正确的函数关系式并配方法求最值。
（1）易错点：①利润应为「单件利润×销量」，学生易误写为 x(100-2x)，漏减成本 20 元；②忽略定义域，实际问题中还需保证销量 100-2x＞0，即 x＜50，故实际定义域可收紧为 20＜x＜50，但按题目给定范围 20＜x≤60 作答亦可，关键是写出范围而非默认 R。
（2）易错点：①配方法出错，-2x²+140x-2000 提取 -2 时应得 -2(x²-70x+1225)+450，常数项易算错；②忘记检验对称轴 x=35 是否在定义域内；③只写最大值不写对应售价，结论不完整。
（3）易错点：误以为收取服务费后要在 x 上重新求最值，实际上 0.9W 与 W 同时取得最大值，最大值变为 405 元；也有学生误算成 450-45=405 后写成 450 元，未扣费。解答题须按「列式—配方—检验—作答」的规范书写，公式依据写清，即使最后数值算错也能得到步骤分。
5解答题
某智能手表厂商对一款产品进行价格测试。已知该产品的日利润函数模型为 f(x) = ln x − ax² + (2−a)x（单位：千元），其中 x（x > 0）为日销量（单位：百块），a 为与成本控制相关的参数。
（1）当 a = 1 时，求函数 f(x) 的单调区间与最大值；
（2）若该产品日利润函数 f(x) 恰有两个不同的零点（即存在两个不同的日销量使日利润为 0），求实数 a 的取值范围。
答案：解：函数定义域为 (0, +∞)。
（1）当 a = 1 时，f(x) = ln x − x² + x，
f′(x) = 1/x − 2x + 1 = (−2x² + x + 1)/x = −(2x + 1)(x − 1)/x。
当 0 < x < 1 时，f′(x) > 0，f(x) 单调递增；
当 x > 1 时，f′(x) < 0，f(x) 单调递减。
故 f(x) 的单调递增区间为 (0, 1)，单调递减区间为 (1, +∞)，
最大值为 f(1) = ln 1 − 1 + 1 = 0。
（2）f′(x) = 1/x − 2ax + (2−a) = [−2ax² + (2−a)x + 1]/x。
令 g(x) = 2ax² − (2−a)x − 1，注意到 g(0) = −1 < 0。
① 若 a < 0：g(x) 为开口向下的二次函数且 g(0) < 0，当 x → +∞ 时 g(x) → −∞，故 g(x) < 0 对一切 x > 0 成立，即 f′(x) > 0，f(x) 在 (0, +∞) 上单调递增。又 x → 0⁺ 时 f(x) → −∞，x → +∞ 时 f(x) → +∞，故 f(x) 只有一个零点，不合题意。
② 若 a > 0：g(x) 开口向上，g(0) = −1，判别式 Δ = (2−a)² + 8a = (a + 2)² > 0，故 g(x) 有唯一正根 x₀ = [(2−a) + (a+2)]/(4a) = 1/a。于是当 0 < x < 1/a 时 g(x) < 0，f′(x) > 0；当 x > 1/a 时 g(x) > 0，f′(x) < 0。即 f(x) 在 (0, 1/a) 上单调递增，在 (1/a, +∞) 上单调递减，x = 1/a 为极大值点。
又 x → 0⁺ 时 f(x) → −∞，x → +∞ 时 f(x) → −∞，故 f(x) 有两个不同零点的充要条件是极大值 f(1/a) > 0。
f(1/a) = ln(1/a) − a·(1/a²) + (2−a)·(1/a) = −ln a − 1/a + 2/a − 1 = −ln a + 1/a − 1。
令 h(a) = 1/a − ln a − 1（a > 0），则 h′(a) = −1/a² − 1/a < 0，h(a) 在 (0, +∞) 上单调递减。
又 h(1) = 1 − 0 − 1 = 0，故 h(a) > 0 ⟺ 0 < a < 1。
综上，实数 a 的取值范围为 (0, 1)。
解析：本题以日利润模型为情境，考查导数研究单调性与函数零点个数。第（1）问注意定义域 x > 0 不能丢，f′(x) 通分后分子因式分解是关键；第（2）问易错点有三：① 忘记定义域 (0, +∞)，导致端点趋势（x → 0⁺ 时 f(x) → −∞）分析不全；② 分类讨论 a 的符号不全面，误以为 a < 0 也可能有两个零点；③ 混淆极值点与零点，正确结论是「极大值大于 0 且两端趋于 −∞」才能保证两个零点。计算 h(a) = 1/a − ln a − 1 时注意 h(1) = 0 是分界点。
6解答题
某共享充电宝平台为吸引用户，设计了「幸运抽奖」活动：每位用户首次扫码开锁时，系统随机派送 n（n ≥ 2，n ∈ N*）次抽奖机会，每次抽奖相互独立。已知单次抽奖中奖概率为 p（0 < p < 1），中奖可获得 1 张免单券，未中奖获得 0 张。
（1）某用户获得 3 次抽奖机会，单次中奖概率 p = 0.6。求该用户恰好获得 2 张免单券的概率；
（2）若某用户获得 4 次抽奖机会，且「至少获得 2 张免单券」的概率为 0.34832，求单次中奖概率 p 的值（结果保留两位小数），并求该用户获得免单券张数的数学期望。
答案：解：设用户获得的免单券张数为 X。
（1）由题意 X ~ B(3, 0.6)，
P(X = 2) = C(3,2) × 0.6² × 0.4 = 3 × 0.36 × 0.4 = 0.432。
故该用户恰好获得 2 张免单券的概率为 0.432。
（2）此时 X ~ B(4, p)，
P(X ≥ 2) = 1 − P(X = 0) − P(X = 1) = 1 − (1−p)⁴ − 4p(1−p)³ = 0.34832。
令 q = 1 − p，则方程化为 1 − q⁴ − 4(1−q)q³ = 0.34832，
即 q⁴ + 4q³ − 4q⁴ = 0.65168，整理得 4q³ − 3q⁴ = 0.65168。
取 q = 0.8（即 p = 0.2）检验：4 × 0.512 − 3 × 0.4096 = 2.048 − 1.2288 = 0.8192 ≠ 0.65168，不符。
取 q = 0.7（即 p = 0.3）检验：4 × 0.343 − 3 × 0.2401 = 1.372 − 0.7203 = 0.6517 ≈ 0.65168，符合。
故单次中奖概率 p ≈ 0.3。
此时 X ~ B(4, 0.3)，数学期望 E(X) = 4 × 0.3 = 1.2（张）。
答：单次中奖概率 p ≈ 0.3，该用户获得免单券张数的数学期望为 1.2 张。
解析：本题以共享充电宝抽奖为情境，考查独立重复试验（二项分布）的模型识别、概率计算与数学期望。易错点：① 把「恰好 2 张」误算成「至少 2 张」或漏掉组合数 C(3,2)；② 第（2）问「至少 2 张」直接展开易算错，用对立事件 1 − P(X = 0) − P(X = 1) 更稳妥；③ 解方程时可用特殊值检验法快速逼近 p（这也是小题/中档题常用的特值法）；④ 二项分布期望公式 E(X) = np，不要把方差 np(1−p) 与期望混淆。
7解答题
某冷饮店统计了连续 5 天的日均气温 x（℃）与当天冷饮销量 y（箱）的数据，整理如下：
日期 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天
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气温 x（℃） 22 24 26 28 30
销量 y（箱） 34 40 44 52 58
已知 y 关于 x 的线性回归方程为 ŷ = bx + a。
（1）求 b 与 a 的值（结果保留一位小数），并说明回归直线必过哪一个点；
（2）若该店为保证不脱销，按回归方程预测销量的 1.2 倍备货，问气温为 32 ℃ 时应备货多少箱？
（3）该店准备开展一次促销活动，促销方案为：当日气温不低于 28 ℃ 时，每箱冷饮降价 2 元销售，否则不降价。已知每箱冷饮原价 15 元、成本 8 元，且降价后销量在原预测基础上增加 20%。请判断气温为 30 ℃ 时，降价促销与不促销相比，当日利润是否增加，并说明理由。
答案：（1）计算样本中心：
x̄ = (22+24+26+28+30)/5 = 130/5 = 26，
ȳ = (34+40+44+52+58)/5 = 228/5 = 45.6。
b = Σ(xᵢ-x̄)(yᵢ-ȳ) / Σ(xᵢ-x̄)²。
分子：(22-26)(34-45.6)+(24-26)(40-45.6)+(26-26)(44-45.6)+(28-26)(52-45.6)+(30-26)(58-45.6)
= (-4)(-11.6)+(-2)(-5.6)+0×(-1.6)+2×6.4+4×12.4
= 46.4+11.2+0+12.8+49.6 = 120。
分母：16+4+0+4+16 = 40。
b = 120/40 = 3.0。
a = ȳ - b·x̄ = 45.6 - 3.0×26 = 45.6 - 78 = -32.4。
故 ŷ = 3.0x - 32.4。
回归直线必过样本中心点 (x̄, ȳ) = (26, 45.6)。
（2）当 x = 32 时，ŷ = 3.0×32 - 32.4 = 96 - 32.4 = 63.6（箱）。
备货量 = 1.2 × 63.6 = 76.32，向上取整得 77 箱。
答：应备货 77 箱。
（3）气温 30 ℃ 时，原预测销量 ŷ = 3.0×30 - 32.4 = 57.6（箱）。
不促销时：每箱利润 = 15 - 8 = 7 元，日利润 = 7 × 57.6 = 403.2（元）。
促销时：销量 = 57.6 × 1.2 = 69.12（箱），每箱利润 = (15-2) - 8 = 5 元，日利润 = 5 × 69.12 = 345.6（元）。
因为 345.6 < 403.2，所以降价促销后当日利润没有增加，反而减少 57.6 元。
答：降价促销不能增加当日利润。
解析：本题考查线性回归方程的求法及其应用，并结合消费理财情境考查用数学模型作决策。
（1）核心依据是回归直线 ŷ = bx + a 必过样本中心点 (x̄, ȳ)，这是确定 a 的关键；求 b 时需逐项计算偏差乘积，注意 x̄ = 26、ȳ = 45.6 不是整数，中间量不要提前取整。
（2）预测值 63.6 箱不能直接当作备货数，因为箱数必须是整数且要求「不脱销」，应向上取整为 77 箱，写 76 箱是典型易错。
（3）关键在于分清「销量增加」与「利润增加」：降价使单箱利润由 7 元降到 5 元，而销量只增加 20%，不足以弥补，故利润下降。常见错误：① 忘记扣成本，把售价当利润；② 把降价后的单价算成 15×0.8 而不是 15-2；③ 只比较销量大小就下结论。
书写规范提示：解答题要写明 x̄、ȳ 的计算、b 的公式与代入过程、回归方程的最终形式，并在预测后注明结论；比较利润时应列出两种方案的利润表达式再作差或直接比较，做到步骤完整、结论明确。
8解答题
某市为鼓励居民节约用电，实行阶梯电价：月用电量不超过 150 kW·h 的部分，电价为 0.52 元/(kW·h)；超过 150 kW·h 但不超过 300 kW·h 的部分，电价为 0.62 元/(kW·h)；超过 300 kW·h 的部分，电价为 0.82 元/(kW·h)。某户居民某月电费为 172 元。
（1）求该户居民该月的用电量；
（2）该户居民计划通过更换节能设备，使下月起每月用电量构成等差数列：第一个月用电量比本月少 20 kW·h，且此后每月比前一月少 15 kW·h。设更换设备后第 n 个月的用电量为 aₙ（kW·h），电费为 f(n)（元）。求 aₙ 的通项公式，并求前几个月的用电量之和不超过 1200 kW·h 的最大正整数 n。
答案：（1）设该月用电量为 x kW·h。
若 150<x≤300，则电费为 150×0.52+(x−150)×0.62 = 78+0.62(x−150)。
令 78+0.62(x−150)=172，得 0.62(x−150)=94，x−150=151.61…>150，与 x≤300 矛盾。
故 x>300，电费为 150×0.52+150×0.62+(x−300)×0.82 = 78+93+0.82(x−300)=171+0.82(x−300)。
由 171+0.82(x−300)=172，得 0.82(x−300)=1，x−300=100/82=50/41，
故 x = 300+50/41 = 12350/41 ≈ 301.22 (kW·h)。
（2）由题意，a₁ = 12350/41 − 20 = 11530/41，公差 d = −15。
故 aₙ = 11530/41 − 15(n−1) = (11530 − 615(n−1))/41 (kW·h)。
前 n 项和 Sₙ = n(a₁+aₙ)/2 = n[2×11530/41 − 15(n−1)]/2 = n(23060/41 − 15n+15)/2 = n(23675−615n)/82。
令 Sₙ ≤ 1200，即 n(23675−615n)/82 ≤ 1200，
化简得 615n² − 23675n + 98400 ≥ 0，即 123n² − 4735n + 19680 ≥ 0。
解方程 123n² − 4735n + 19680 = 0：n = [4735 ± √(4735² − 4×123×19680)]/(2×123) = [4735 ± √(22420225 − 9682560)]/246 = [4735 ± √12737665]/246。
√12737665 ≈ 3569.0，故 n ≈ (4735−3569)/246 ≈ 4.74 或 n ≈ (4735+3569)/246 ≈ 33.7。
因 n 为正整数且用电量 aₙ 应为正数（实际取到 aₙ>0 的范围），由 123n²−4735n+19680≥0 及 n 较小的一支得 n ≤ 4（验证：S₄ = 4(23675−2460)/82 = 4×21215/82 ≈ 1034.9 ≤ 1200；S₅ = 5(23675−3075)/82 = 5×20600/82 ≈ 1256.1 > 1200）。
故所求最大正整数 n = 4。
答：（1）该月用电量为 12350/41 kW·h（约 301.22 kW·h）；（2）aₙ = (11530 − 615(n−1))/41 kW·h，最大正整数 n = 4。
解析：本题考查分段函数（阶梯电价）与等差数列求和的综合应用，属于日常生活消费情境。
（1）关键在于分段判断：先假设用电量落在第二档，解出的 x 超出该档上限，说明假设不成立，应落到第三档。易错点是不检验解是否落在所设区间内，直接写答案。
（2）易错点有二：一是首项 a₁ 应为「本月用电量减 20」，即 12350/41 − 20，学生易误用近似值或忘记减 20；二是求和不等式化简时系数出错，或解一元二次不等式后忘记结合 n 为正整数、且需回到实际意义（用电量为正）进行取舍。验证 S₄、S₅ 是确认最大 n 的可靠办法。