1选择题
某科技小组设计一款小型机器人，其机械臂由两段伸缩杆组成。已知第一段杆的长度为 3a，第二段杆的长度为 2a，另有连接件长度为 a。若把这三部分首尾相接拼成一条直线的机械臂，再从总长度中减去一个备用校准杆的长度 a，则拼接后机械臂的有效总长度为（ ）
答案：A
解析：先合并同类项：3a + 2a + a = (3 + 2 + 1)a = 6a，再减去校准杆 a，得 6a - a = 5a - a = 4a。注意合并同类项时只把系数相加减，字母和字母的指数不变；易错点是把系数 3、2、1 中漏掉连接件的 a，或将减去 a 误算成减去 1 而丢掉字母。故选 A。
2选择题
工程实践中，某零件的材料用量（单位：克）可用整式表示。已知一个零件需用材料 5a - 3(2a - b) + 2(3a - 2b)，其中 a、b 为正数。化简该整式，所得结果为（ ）
- A. 5a - b
- B. 5a + b
- C. 11a - 7b
- D. 5a - 7b
答案：A
解析：先去括号：5a - 3(2a - b) + 2(3a - 2b) = 5a - (6a - 3b) + (6a - 4b) = 5a - 6a + 3b + 6a - 4b。再合并同类项：(5a - 6a + 6a) + (3b - 4b) = 5a - b。易错点：括号前是负号时括号内各项要变号，即 -3(2a - b) = -6a + 3b，常错写成 -6a - 3b；另外分配律要乘遍括号内每一项，不能漏乘 -b 或 -2b。故选 A。
3解答题
某科技小组设计一款小型机器人，其手臂伸展长度（单位：cm）可以用整式表示。已知第一种方案的手臂伸展长度为 (3a² - 2a + 5) cm，第二种方案比第一种方案多伸展 (2a² - 4a + 1) cm，第三种方案比第二种方案少伸展 (4a² + a - 3) cm。
（1）用整式表示第二种方案和第三种方案的手臂伸展长度；
（2）求第三种方案的手臂伸展长度比第一种方案多多少厘米（结果用含 a 的整式表示）；
（3）当 a = 2 时，求第三种方案的手臂伸展长度。
答案：解：（1）第二种方案的手臂伸展长度为：
(3a² - 2a + 5) + (2a² - 4a + 1)
= 3a² - 2a + 5 + 2a² - 4a + 1
= (3a² + 2a²) + (-2a - 4a) + (5 + 1)
= 5a² - 6a + 6（cm）。
第三种方案的手臂伸展长度为：
(5a² - 6a + 6) - (4a² + a - 3)
= 5a² - 6a + 6 - 4a² - a + 3
= (5a² - 4a²) + (-6a - a) + (6 + 3)
= a² - 7a + 9（cm）。
所以第二种方案的手臂伸展长度为 (5a² - 6a + 6) cm，第三种方案的手臂伸展长度为 (a² - 7a + 9) cm。
（2）第三种方案比第一种方案多：
(a² - 7a + 9) - (3a² - 2a + 5)
= a² - 7a + 9 - 3a² + 2a - 5
= (a² - 3a²) + (-7a + 2a) + (9 - 5)
= -2a² - 5a + 4（cm）。
（3）当 a = 2 时，第三种方案的手臂伸展长度为：
a² - 7a + 9 = 2² - 7 × 2 + 9 = 4 - 14 + 9 = -1（cm）。
答：（1）第二种方案为 (5a² - 6a + 6) cm，第三种方案为 (a² - 7a + 9) cm；（2）第三种方案比第一种方案多 (-2a² - 5a + 4) cm；（3）当 a = 2 时，第三种方案的手臂伸展长度为 -1 cm。
解析：本题考查整式加减的完整流程：先去括号，再合并同类项，最后代入求值。
（1）「第二种比第一种多」用加法，「第三种比第二种少」用减法，注意减去多项式时括号前是负号，括号内各项都要变号：-(4a² + a - 3) = -4a² - a + 3，这是最容易出错的地方。
（2）求「多多少」同样用减法，同样要注意去括号变号，以及 -7a + 2a = -5a 的符号。
（3）代入 a = 2 时，2² = 4 而不是 4 或 2×2 = 4（易错为 2² = 2×2 计算错或误写为 22），-7 × 2 = -14，最后 4 - 14 + 9 = -1。
易错点：① 去括号时括号前是负号忘记各项变号；② 合并同类项时把字母和指数也一起合并（如 a² 与 a 不是同类项，不能合并）；③ 代入负数或乘方时忘记加括号或算错符号。注意本题第（3）问结果为负值，是题目数据设计所致，答「-1 cm」即为正确结果。
故本题答案为：（1）(5a² - 6a + 6) cm、(a² - 7a + 9) cm；（2）(-2a² - 5a + 4) cm；（3）-1 cm。
4解答题
某工程队用一批长度相同的钢管搭建实验支架。已知：
① 第一堆钢管的根数可以用单项式 -7m²n 表示；
② 第二堆钢管的根数可以用多项式 4m²n - 3mn² + 2 表示；
③ 第三堆钢管的根数可以用多项式 -m²n + 5mn² - 6 表示。
请回答下列问题：
（1）指出单项式 -7m²n 的系数和次数，指出多项式 4m²n - 3mn² + 2 的项、常数项，并说明它是几次几项式；
（2）求三堆钢管的总根数（结果用含 m、n 的整式表示，并化简）；
（3）工程队计划从总根数中调出 (2m²n - 4mn² + 5) 根钢管用于加固底座，求调出后剩余钢管的根数（化简结果）。
答案：解：（1）单项式 -7m²n 的系数是 -7，次数是 2 + 1 = 3，即三次单项式。
多项式 4m²n - 3mn² + 2 的项是 4m²n、-3mn²、2，常数项是 2。
各项次数：4m²n 的次数为 2 + 1 = 3，-3mn² 的次数为 1 + 2 = 3，常数项 2 的次数为 0。
最高次项的次数为 3，共有三项，所以它是三次三项式。
（2）三堆钢管总根数为：
(-7m²n) + (4m²n - 3mn² + 2) + (-m²n + 5mn² - 6)
= -7m²n + 4m²n - 3mn² + 2 - m²n + 5mn² - 6
= (-7m²n + 4m²n - m²n) + (-3mn² + 5mn²) + (2 - 6)
= -4m²n + 2mn² - 4。
（3）调出后剩余钢管的根数为：
(-4m²n + 2mn² - 4) - (2m²n - 4mn² + 5)
= -4m²n + 2mn² - 4 - 2m²n + 4mn² - 5
= (-4m²n - 2m²n) + (2mn² + 4mn²) + (-4 - 5)
= -6m²n + 6mn² - 9。
答：（1）系数是 -7，次数是 3；多项式的项是 4m²n、-3mn²、2，常数项是 2，是三次三项式；（2）三堆钢管总根数为 (-4m²n + 2mn² - 4) 根；（3）剩余 (-6m²n + 6mn² - 9) 根。
解析：本题综合考查整式的概念辨析与整式加减运算。
（1）单项式的系数要连同符号一起写，故是 -7 而不是 7；单项式次数是所有字母指数的和：m 的指数 2 加 n 的指数 1，等于 3，易错为 2 或把 2×1 = 2 误当作次数。多项式的「几次」由最高次项决定，不是把各项次数相加（易错为 3 + 3 + 0 = 6）；常数项是 2（含符号），不要漏掉常数项也是多项式的一部分。
（2）合并同类项时只有字母及指数完全相同的项才能合并：-7m²n、4m²n、-m²n 是同类项，系数相加得 -4；-3mn² 与 5mn² 是同类项，得 2mn²；常数项 2 与 -6 合并得 -4。注意 m²n 与 mn² 字母指数不同，不是同类项，不能合并。
（3）减去多项式时括号前是负号，括号内各项都要变号：-(2m²n - 4mn² + 5) = -2m²n + 4mn² - 5，这是本题最易错处，漏变号会导致结果全错。
易错点：① 系数漏掉负号；② 次数计算时把各项次数相加；③ 去括号时括号前是负号忘记变号；④ 把 m²n 与 mn² 当成同类项。
故本题答案为：（1）系数 -7、次数 3；项为 4m²n、-3mn²、2，常数项 2，三次三项式；（2）(-4m²n + 2mn² - 4)；（3）(-6m²n + 6mn² - 9)。
5解答题
某科技创新社团设计一款小型机械臂，机械臂上三段连杆的长度（单位：cm）分别用整式表示。已知信息：第一段连杆长为 (3x² - 2xy + 4)，第二段连杆长为 (-x² + 5xy - 1)，第三段连杆长为 (2x² - xy + 3)。
(1) 将三段连杆长度相加，化简得到机械臂的总长度（用合并同类项的方法，结果按降幂排列）；
(2) 若 x = 2，y = -1，求机械臂的总长度的值。
答案：(1) 总长度 = (3x² - 2xy + 4) + (-x² + 5xy - 1) + (2x² - xy + 3)
= (3x² - x² + 2x²) + (-2xy + 5xy - xy) + (4 - 1 + 3)
= 4x² + 2xy + 6。
答：机械臂总长度为 (4x² + 2xy + 6) cm。
(2) 当 x = 2，y = -1 时，
4x² + 2xy + 6 = 4 × 2² + 2 × 2 × (-1) + 6 = 16 - 4 + 6 = 18。
答：机械臂的总长度为 18 cm。
解析：本题考查合并同类项与代入求值，属整式加减基础应用。(1) 关键是正确识别同类项：x²、xy、常数项分别为三类，合并时只把系数相加，字母及指数不变，得 4x² + 2xy + 6。易错点：① 把 2x² 与 xy 之类非同类项强行合并；② 移动项时漏掉前面的负号，如把 -x² 当成 x²；③ 常数项 4 - 1 + 3 算成 6 以外的数。(2) 代入时注意 y = -1 为负数，2xy = 2 × 2 × (-1) = -4，容易漏掉负号算成 +4，导致结果 24。正确结果为 18。
6解答题
工程队在调试一台自动化设备时，记录了四个传感器的读数（单位：mA）：-18、+7、-12、+5。调试规范要求先计算四个读数的总和，再减去基准值 (+6) mA，最后除以 -2 得到校准系数 k。
(1) 列出算式并计算校准系数 k；
(2) 若校准后每个传感器读数都乘以 k，且某传感器原读数为 -9 mA，求校准后该传感器的读数。
答案：(1) k = [(-18) + (+7) + (-12) + (+5) - (+6)] ÷ (-2)
= [(-18) + (-12) + (-6)] + [(+7) + (+5)] 除以 -2（先算中括号内）
= [(-36) + (+12)] ÷ (-2)
= (-24) ÷ (-2)
= 12。
答：校准系数 k = 12。
(2) 校准后读数 = (-9) × k = (-9) × 12 = -108 (mA)。
答：校准后该传感器的读数为 -108 mA。
解析：本题综合考查有理数加减混合运算与乘除法运算。(1) 减去 +6 即加上 -6，注意减法变加法时减数的符号要改变；按加法交换律、结合律把负数放一起算：(-18) + (-12) + (-6) = -36，正数 7 + 5 = 12，总和 -24；再做除法 (-24) ÷ (-2)，同号得正，得 12。易错点：① 忘记把 -(+6) 变成 +(-6)；② 多个负数相加时符号判断错误；③ 除法时混淆「除以 -2」与「乘 -2」，或负号个数与结果符号关系判断出错（此处两个负数相除得正）。(2) 负数乘正数得负，(-9) × 12 = -108，容易漏掉负号写成 108。
7解答题
某科技小组为校园机器人设计零件，甲种零件每个 a 元，乙种零件每个 b 元。小组第一次购买甲种零件 4 个、乙种零件 3 个，第二次购买甲种零件 2 个、乙种零件 5 个。
（1）用含 a、b 的代数式表示两次购买零件共需付的钱数；
（2）若小组带去 300 元，用含 a、b 的代数式表示应找回的钱数；
（3）当 a = 20，b = 12 时，求应找回的钱数。
答案：（1）第一次共需 (4a+3b) 元，第二次共需 (2a+5b) 元，
两次共需：(4a+3b)+(2a+5b) = 4a+3b+2a+5b = (6a+8b)（元）。
（2）应找回：[300-(6a+8b)] 元。
（3）当 a=20，b=12 时，6a+8b = 6×20+8×12 = 120+96 = 216（元），
应找回 300-216 = 84（元）。
答：（1）共需 (6a+8b) 元；（2）应找回 [300-(6a+8b)] 元；（3）应找回 84 元。
解析：第（1）问考查列代数式与合并同类项：4a 与 2a 是同类项合并为 6a，3b 与 5b 是同类项合并为 8b，字母及指数不变。第（2）问考查把 (6a+8b) 看作一个整体，用括号括起再相减，写成 300-6a-8b 也对，但未加括号直接写 300-6a+8b 就会出错。易错点：①数字与字母相乘省略乘号时把数字写在字母后面（如 a20）；②代数式后漏写单位「元」；③合并同类项时把字母或指数也相加。
8解答题
某工程队进行设备调试，记录了三段操作中某零件温度的变化（单位：℃）：第一段升高 4，第二段降低 9，第三段升高 6。调试开始时零件温度为 -2 ℃。
（1）用正负数表示这三段温度的变化量，并求调试结束时零件的温度；
（2）工程规范要求零件温度不得低于 -10 ℃。若在上述操作后，再让零件温度下降 a ℃（a>0），用含 a 的代数式表示此时零件的温度，并求出 a 满足什么条件时零件温度仍符合规范；
（3）已知零件温度 T 与加热时间 t（分）的关系为 T = -2 + 2t。计算当 t = 3 时 T 的值，并说明 t = 3 时 T 与（1）中结果的大小关系。
答案：（1）三段变化量依次记为 +4、-9、+6。
调试结束时温度：-2+4+(-9)+6 = -1（℃）。
（2）此时温度为 (-1-a) ℃。
由 -1-a ≥ -10，得 -a ≥ -9，即 a ≤ 9；又 a>0，故 0<a≤9 时零件温度仍符合规范。
（3）当 t=3 时，T = -2+2×3 = -2+6 = 4（℃）。
4 > -1，即 t=3 时的温度高于（1）中调试结束时的温度。
答：（1）变化量为 +4、-9、+6，结束时 -1 ℃；（2）温度为 (-1-a) ℃，0<a≤9；（3）T = 4 ℃，4 > -1。
解析：第（1）问考查用正负数表示相反意义的量：「升高为正、降低为负」，再按有理数加法计算，易错点是把「降低 9」记成 +9。第（2）问考查列代数式与去括号：温度为 -1-a，解不等式时两边同除以负数要注意变号，易漏掉 a>0 的限制。第（3）问考查代入求值，注意 T = -2+2t 中 2t 表示 2×t，不能写成 2+t。全题紧扣正负数意义、整式加减与代数式求值，属基础应用。