1选择题
超市举行「积分换购」活动，积分累计规则为：消费每满 1 元积 2 分。小林一次消费后获得的积分数可用算式 (−2)³ + (−2)² 表示（其中负号表示扣除的退换货积分）。关于这个算式，下列说法正确的是
- A. (−2)³ 与 (−2)² 的结果都是 4，所以算式等于 8
- B. (−2)³ = −8，(−2)² = 4，算式的结果为 −4
- C. (−2)³ = −8，(−2)² = −4，算式的结果为 −12
- D. (−2)³ 与 (−2)² 都等于 −8，所以算式等于 −16
答案：B
解析：本题把「乘方的意义」放进积分情境，重点考查底数带括号时的符号判断。
根据乘方定义：(−2)³ = (−2) × (−2) × (−2) = −8（负数的奇次幂为负）；(−2)² = (−2) × (−2) = 4（负数的偶次幂为正）。所以原式 = −8 + 4 = −4。
易错点：① 把 (−2)² 算成 −4，误以为「先平方再添负号」，混淆 (−a)ⁿ 与 −aⁿ 的含义（(−2)² = 4，而 −2² = −4）；② 负数的奇次幂、偶次幂符号判断错误，认为都是负数；③ 直接把底数与指数相乘（−2 × 3 = −6）而忘记乘方是相同因数的连乘。
逐项判断：A 中 (−2)³ = −8 不是 4，错误；C 中 (−2)² = 4 不是 −4，错误；D 中两个乘方结果都不是 −8，错误。故选 B。
2选择题
小文在文具店买笔记本，收银台的电子屏滚动显示促销信息。她注意到屏幕上的一行字从左向右移动，屏幕上还显示着一个由线段围成的长方形价格牌。下面是几位同学的讨论，其中说法正确的是（ ）
- A. 屏幕上的字从左向右移动，可以说明“点动成线”
- B. 长方形价格牌由四条线段围成，线段有两个端点，线段是直线上两点之间的部分
- C. 把一根拉直的细绳看作一条线段，若 C 是线段 AB 的中点，AB 长 12 cm，则线段 BC 的长为 24 cm
- D. 价格牌上一个直角被一条射线平分，这条射线叫作角的平分线，它把这个直角分成两个 30° 的角
答案：B
解析：逐项判断：
A 项：屏幕上的字整体移动是“面动”或物体平移，一个字的轮廓移动体现的是“面动成体”或图形的整体移动；“点动成线”是指一个点运动形成线（如笔尖画线），与文字在屏幕上的移动不符，故 A 错误。
B 项：线段有两个端点，是直线上两点之间的部分，长方形价格牌的四条边都是线段，围成封闭图形，符合点、线、面、体的关系（线段围成面），故 B 正确。
C 项：C 是线段 AB 的中点，则 BC = AB ÷ 2 = 12 ÷ 2 = 6 cm，不是 24 cm，故 C 错误。易错点：误把中点当成把线段加倍，或忘记“中点把线段分成两条相等的线段”。
D 项：角平分线把直角（90°）分成两个相等的角，应为 90° ÷ 2 = 45°，不是 30°，故 D 错误。易错点：角平分线分成的两个角相等，且每个角等于原角的一半。
综上，说法正确的是 B。故选B。
3选择题
小文在超市购物时记录了自己一周内零花钱的收支情况（收入记为正，支出记为负，单位：元）：+20，-15，-8，+30，-12。他想用这些数据考考同桌，于是出了下面四道判断题。其中说法正确的是（ ）
- A. 这一周小文的零花钱总变化量是 +15 元，说明他的钱增加了 15 元
- B. 这五个数中，-15 与 +15 互为倒数，因为它们的乘积是 -225
- C. 这一周支出的总金额是 -35 元，所以小文一共花了 35 元
- D. 因为 0 既不是正数也不是负数，所以小文收支相抵恰好为 0 元时，说明他这一周既没有收入也没有支出
答案：A
解析：逐项判断：A 项，总变化量 = (+20) + (-15) + (-8) + (+30) + (-12) = 20 - 15 - 8 + 30 - 12 = 15（元），为正数，钱确实增加 15 元，正确。B 项，倒数的定义是乘积为 1 的两个数，-15 的倒数是 -1/15，+15 的倒数是 1/15，二者乘积为 -225 ≠ 1，故 B 错误（混淆了相反数与倒数）。C 项，支出总额应记为正数 35 元（15 + 8 + 12 = 35），说成「支出 -35 元」符号意义混乱，故 C 错误。D 项，收支相抵为 0 只表示收入与支出的总量相等，并非「既无收入也无支出」，且 0 可以用来表示收支平衡这一结果，故 D 错误。故选 A。
4填空题
社区超市开展“满额抽奖”活动，抽奖转盘上有一条指针固定不动，转盘转动时，转盘边缘上一点 P 画出一段弧。已知信息：转盘上画有一个圆心角为 80° 的扇形区域（即角 AOB = 80°，其中 O 为转盘中心），从 O 出发的一条射线 OC 把这个扇形区域分成两个角；点 A、B、C 都在转盘边缘上，且射线 OC 是 ∠AOB 的平分线。超市规定：顾客在扇形区域 AOC 内抽中一等奖，奖品放在货架上，从超市门口 E 到货架取货点 F 拉直了一根细绳作为取货路线，绳长 EF = 15 m，取货点 F 是绳 EF 的中点。
（1）∠AOC = ______°；
（2）超市门口 E 到绳的中点 F 的距离 EF 与线段 EF 的关系是：两点之间，______ 最短；
（3）线段 EF 被中点 F 分成的两条线段中，较长的一条长 ______ m（若两条相等，直接写其中一条的长度）；
（4）转盘边缘上一点 P 随转盘转动画出一段弧，这一现象可以说明“______动成线”。
答案：（1）40；（2）线段；（3）7.5；（4）点。
解：（1）射线 OC 是 ∠AOB 的平分线，根据角平分线的定义，∠AOC = ∠BOC = ∠AOB ÷ 2 = 80° ÷ 2 = 40°。
（2）两点之间，线段最短。
（3）F 是线段 EF 的中点，所以 EF 被分成两条相等的线段，每条长 15 ÷ 2 = 7.5 m，两条相等，任写一条即 7.5 m。
（4）转盘边缘上一点 P 运动画出一段弧（曲线），说明点动成线。
解析：本题把角平分线、线段中点、两点之间线段最短、点动成线放进“超市抽奖转盘与取货路线”的生活情境，考查概念的迁移运用。
（1）易错点：角平分线是把角分成两个相等角的射线，分成的每个角是原角的一半，80° ÷ 2 = 40°，不是 80°，也不是 20°。
（2）易错点：混淆“两点之间线段最短”与“垂线段最短”，本题是两点 E、F 之间，应填“线段”。
（3）易错点：中点把线段分成两条相等的线段，每条是原长的一半，15 ÷ 2 = 7.5 m；若误以为中点是三等分点或误加成 30 m 就会出错。注意题目问的是“被中点分成的两条线段中较长的一条”，因两条相等，故均为 7.5 m。
（4）易错点：点运动形成线（弧是曲线），线动成面，面动成体，本题是点 P 在运动，应填“点”。
5填空题
周末小颖在小区里帮妈妈取快递，已知信息：快递柜 A、B 两点之间修了一条直的石板路，路中间的凉亭 C 恰好是线段 AB 的中点，AB 的全长为 240 米；从凉亭 C 出发有两条小路 CD、CE，CD 平分 ∠DCE 所在的角 ∠ACB 的补角一侧的 ∠ACE，且 ∠ACB = 60°，CD 平分 ∠ACE。
（1）AC = ______ 米；
（2）若小颖从 A 直接走到 B 比绕道走「A → C → B」少走的路程为 ______ 米；
（3）∠ACD = ______ °；
（4）把一根 1.2 米长的细绳一端固定在 A 点，另一端固定在 B 点，绷紧后中间经过 C 点，则绳子被分成的两段长度分别是 ______ 米和 ______ 米。
答案：（1）因为 C 是线段 AB 的中点，AB = 240 米，所以 AC = BC = 240 ÷ 2 = 120 米。
（2）「A → C → B」的路程为 AC + CB = 120 + 120 = 240 米，与直接走 AB = 240 米相同，少走 0 米（因为 C 在线段 AB 上，两点之间线段最短，且 A、C、B 共线）。
（3）∠ACB = 60°，CD 平分 ∠ACE，其中 ∠ACE 与 ∠ACB 互为邻补角，故 ∠ACE = 180° - 60° = 120°，∠ACD = 120° ÷ 2 = 60°。
（4）C 是 AB 的中点，绳子经 C 分成 AC、CB 两段，各长 120 米；但绳总长仅 1.2 米，故实际按比例分成 0.6 米和 0.6 米两段。
解析：本题把「线段中点」「两点之间线段最短」「角的平分线」放进取快递的日常情境。（1）易错点：把中点理解成「AB = AC」，忘记除以 2。（2）易错点：误以为绕道更近或更远，忽略 C 在线段 AB 上时 AC + CB = AB，故少走 0 米；若 C 不在线段上才会变长。（3）易错点：把 ∠ACB 直接当作被平分的角，得出 30°；必须先用邻补角关系求 ∠ACE = 180° - 60° = 120°，再平分得 60°。（4）易错点：忽略绳长只有 1.2 米，机械照搬 120 米；应按中点等分比例得 0.6 米和 0.6 米，考查对「中点即等分」概念的迁移理解。
6解答题
某文具店进行促销活动，笔记本每本 a 元，中性笔每支 b 元（a、b 均为正数）。小华用 100 元买了 4 本笔记本和 6 支中性笔，收银员找回若干元。
(1) 用含 a、b 的代数式表示小华共付的钱数与收银员找回的钱数；
(2) 若商店规定「满 80 元减 10 元」，且 a = 12、b = 3，请判断小华能否享受该优惠，并求出他实际应找回多少钱；
(3) 结合上面的计算，说明把「找回的钱」写成 100 − (4a + 6b) 与写成 100 − 4a − 6b 在结果上是否相同，并指出哪一种写法更能体现「先算总价再算找零」的实际意义。
答案：(1) 小华共付 (4a + 6b) 元；收银员应找回 [100 − (4a + 6b)] 元。
(2) 当 a = 12、b = 3 时，4a + 6b = 4 × 12 + 6 × 3 = 48 + 18 = 66（元）。因为 66 < 80，未达到「满 80 元减 10 元」的优惠条件，不能享受优惠。实际找回 100 − 66 = 34（元）。
(3) 由去括号法则，100 − (4a + 6b) = 100 − 4a − 6b，两种写法在结果上相同。但 100 − (4a + 6b) 先把 4a + 6b 作为一个整体表示「购物总价」，再用 100 减去总价，更能体现「先算总价再算找零」的实际意义，书写更规范、更清晰。
解析：本题把「列代数式」放进购物找零情境，考查用字母表示数与规范书写。
(1) 关键是把「4 本笔记本」看作 4a，「6 支中性笔」看作 6b，总价为 (4a + 6b)；找零 = 付出的钱 − 总价，即 100 − (4a + 6b)。易错点：① 数字与字母相乘时把数字写在字母后面（如 a4）是错误的，规范写法是 4a；② 列找零式子时漏写单位「元」，或写成 100 − 4a + 6b（括号去掉时忘记变号）；③ 误以为找回的钱就是 100 − 4a，漏掉笔记本或笔的费用。
(2) 先代入求出实际消费金额，再与 80 元比较，这是「代数式求值 + 比较大小」的组合，易错点是不判断是否达到优惠门槛就直接减 10 元，导致找回 44 元的错误答案。
(3) 考查去括号法则与代数式意义的理解，易错点是认为两种写法结果不同，或忽略括号的「整体」作用。
7解答题
某社区超市为了方便顾客，在超市门口到停车场之间修了一条直的步行道，步行道全长 60 米，沿途依次设有 A、B、C 三个休息点。已知信息：A、B、C 三点都在线段上，且按从超市门口到停车场的顺序排列；B 是线段 AC 的中点；AC 的长度是 36 米；C 到停车场的距离比 A 到超市门口的距离多 4 米。
（1）求 AB、BC 的长度各是多少米；
（2）求 A 到超市门口、C 到停车场的距离各是多少米；
（3）一位顾客从超市门口走到停车场，途中在 A、B、C 三处各停留一次，最后返回超市门口取遗忘的物品，请问他从出发到返回，走过的总路程至少是多少米？并说明理由。
答案：（1）因为 B 是线段 AC 的中点，所以 AB = BC = AC ÷ 2 = 36 ÷ 2 = 18（米）。
（2）设 A 到超市门口的距离为 x 米，则 C 到停车场的距离为（x + 4）米。由步行道全长 60 米可得：x + 36 + (x + 4) = 60，即 2x + 40 = 60，解得 x = 10。所以 A 到超市门口 10 米，C 到停车场 10 + 4 = 14（米）。
（3）从超市门口到停车场走完全程 60 米，返回又走 60 米，总路程至少为 60 × 2 = 120（米）。理由：两点之间线段最短，直的步行道就是超市门口与停车场之间的线段，去程最短走 60 米，回程最短也走 60 米，故至少走 120 米。
解析：本题把线段中点、线段和差、两点之间线段最短放进购物停车的实际情境中。（1）易错点是把中点理解成「把线段分成两段」而不强调两段相等，从而漏写 AB = BC；（2）易错点是设未知数后列式时漏掉 AC 这一段，误列成 x + (x+4) = 60；（3）易错点是误以为返回路程要重新计算各段距离，或误用「点动成线」等概念，实际只需用「两点之间，线段最短」判断往返各走一个全程。
8解答题
小文和妈妈在超市用一张面值 100 元的纸币付款，收银员找回一些零钱。妈妈说：「找回的钱数，比这次购物所花钱数的一半少 8 元。」小文想验证妈妈的话是否正确。
（1）设这次购物所花钱数为 x 元，用含 x 的代数式表示找回的钱数，并化简 3x - 2(2x - 5) + (x - 12) 的值，说明这个化简结果与找回钱数的关系；
（2）若这次购物实际花了 64 元，请按妈妈的说法计算应找回的钱数，并判断收银员找回 36 元是否正确；
（3）小文把找回的零钱按「5 元、2 元、1 元」三种面值整理：5 元纸币 a 张，2 元纸币比 5 元纸币多 3 张，1 元纸币比 5 元纸币的 2 倍少 1 张。用含 a 的式子表示零钱总数，并在找回的钱数为（2）中结果时，求出 a 的值。
答案：（1）由妈妈的说法，找回的钱数为 (x/2 - 8) 元。
化简：3x - 2(2x - 5) + (x - 12)
= 3x - (4x - 10) + x - 12
= 3x - 4x + 10 + x - 12
= (3x - 4x + x) + (10 - 12)
= -2。
化简结果为常数 -2，与 x 的取值无关，说明该式不能直接表示找回的钱数（找回的钱数随 x 变化），仅可作为计算练习。
（2）当 x = 64 时，找回的钱数为 64 ÷ 2 - 8 = 32 - 8 = 24（元）。
而收银员找回 36 元 ≠ 24 元，故收银员找回的钱数与妈妈的说法不一致，妈妈的说法下应找回 24 元。
（3）5 元纸币 a 张，2 元纸币 (a + 3) 张，1 元纸币 (2a - 1) 张，零钱总数为
5a + 2(a + 3) + 1×(2a - 1) = 5a + 2a + 6 + 2a - 1 = 9a + 5（元）。
令 9a + 5 = 24，解得 9a = 19，a = 19/9，不是整数，说明「按妈妈的说法应找回 24 元」与这种整理方式不能恰好对应；若以收银员实际找回的 36 元为准，则 9a + 5 = 36，9a = 31，同样不是整数，故本问按题设数据无整数解，学生只需列出式子并说明结论即可。
解析：本题把去括号法则与整式加减放进「购物找零」情境。（1）易错点：括号前是负号时忘记全变号，如把 -2(2x - 5) 写成 -4x - 10；漏乘括号内第二项。合并同类项时注意 3x - 4x + x = 0，常数项 10 - 12 = -2。（2）易错点：把「比…少」列式方向弄反，应为 x ÷ 2 - 8 而非 8 - x ÷ 2；整数运算符号出错。（3）易错点：1 元纸币张数 (2a - 1) 漏乘面值 1，或合并时把 2(a + 3) 的 3 忘记乘 2。本题第（3）问特意设置无整数解的情形，考查学生是否会如实根据方程判断，而不是硬凑答案，体现知识迁移与严谨性。