1选择题
【历史典故情境】相传古代数学家刘徽在注《九章算术》时，用「割圆术」逼近圆周率。某次课堂上，老师把下面几个与古籍记载有关的数写在黑板上：
-√9， π， 22/7， 0.3181818…（18 循环）， √2， 0.2020020002…（每两个 2 之间依次多一个 0）。
其中无理数的个数是（ ）。
答案：B
解析：逐个判断：
-√9 = -3，是整数，有理数，不是无理数；
π 是无限不循环小数，无理数（注意 π ≠ 3.14，3.14 是有限小数）；
22/7 是分数，有理数（历史上常作为 π 的近似值，但它本身是有理数）；
0.3181818…是无限循环小数，有理数；
√2 开方开不尽，是无限不循环小数，无理数；
0.2020020002…虽然有规律，但不循环，是无限不循环小数，无理数。
所以无理数有 π、√2、0.2020020002…共 3 个。
易错点：① 看到带根号就认为是无理数，忽略了 -√9 = -3 能开得尽；② 误认为「无限小数就是无理数」，把循环小数 0.3181818…也算进去；③ 把 22/7 当成 π 的等价物而误判为无理数。
故选 B。
2选择题
我国古代数学名著《九章算术》中记载了"开方"之法。某次数学文化活动中，老师用一张边长为 4 的正方形宣纸演示"开平方"：将其面积记为 a，再分别求 a 的算术平方根与平方根。下列说法正确的是（ ）。
- A. a 的算术平方根是 ±4，a 的平方根是 4
- B. a 的算术平方根是 4，a 的平方根是 ±4
- C. a 的算术平方根与平方根都是 ±4
- D. a 的算术平方根与平方根都是 4
答案：B
解析：正方形边长为 4，则面积 a = 4 × 4 = 16。根据定义，若 x² = 16，则 x = ±4，所以 16 的平方根是 ±4，有两个，且互为相反数；而算术平方根指正数的正的平方根，记作 √16 = 4，只有一个。易错点：一是把算术平方根与平方根混淆，误以为算术平方根也有两个（如 ±4）；二是审题时只答出 4 而漏掉 -4。故选 B。
3选择题
【历史典故情境】相传古代工匠建造方塔时，先用绳围成正方形定基，再开方求边长。若工匠围出的正方形面积为 36 平方尺，则下列关于"开方"结果的说法正确的是（ ）
- A. 36 的平方根是 6
- B. 36 的算术平方根是 ±6
- C. -6 是 36 的一个平方根
- D. 负数 -36 也有平方根，且为 -6
答案：C
解析：本题考查平方根与算术平方根的区别，以及负数没有平方根这一结论。
A. 36 的平方根有两个，是 ±6，只写 6 不完整，故 A 错误；
B. 算术平方根是正数正的平方根，√36 = 6，不能带负号，故 B 错误；
C. 因为 (-6)² = 36，所以 -6 确实是 36 的一个平方根，正确；
D. 任何数的平方都不可能是负数，负数没有平方根，故 D 错误。
易错点：混淆"平方根"与"算术平方根"——平方根有两个（±6），算术平方根只有一个（6）；另一易错点是误以为负数也有平方根。故选C。
4填空题
《周髀算经》中"勾三股四弦五"是勾股定理的经典实例。若直角三角形的两直角边分别为 3 和 4，则斜边长为 √(3² + 4²) = 5。现将该直角三角形的两条直角边分别改为 1 和 2，记斜边长为 c，即 c = √(1² + 2²) = √5。
（1）c 是 ______（填"有理数"或"无理数"）；
（2）比较大小：c ______ 2（填 ">"、"<" 或 "="）；
（3）若正数 m 的平方根是 ±√5，则 m = ______。
答案：（1）无理数；（2）>；（3）5。
【解析】（1）c = √5，5 不是完全平方数，√5 是无限不循环小数，属于无理数。（2）因为 2² = 4，5 > 4，所以 √5 > √4 = 2，即 c > 2。（3）正数 m 的平方根是 ±√5，说明 (√5)² = m，故 m = 5。
解析：本题以勾股定理与传统文化为情境，综合考查算术平方根、无理数概念与平方根定义。易错点：（1）误认为带根号的数都是无理数，或误认为 √5 是有理数；实际上只有开方开不尽的正数的算术平方根才是无理数，√4 = 2 是有理数。（2）比较 √5 与 2 时易凭直觉写成 <，应转化为比较被开方数 5 与 2² = 4。（3）混淆"平方根是 ±√5"与"算术平方根是 √5"，或误答为 ±5；题目问的是 m 本身，m = (√5)² = 5，只有一个值。
5解答题
《九章算术》中记载：「开方术」用于求一个数的平方根。某校数学兴趣小组为弘扬传统数学文化，在校园文化墙上设计了一块「古今方根」展板，展板上有如下四道小题，请逐一作答。
（1）求 49 的平方根；
（2）求 √81 的值，并说明它表示的是哪一个平方根；
（3）求 -64 的立方根；
（4）请判断 √2 与 π 是有理数还是无理数，并各用一句话说明理由。
已知信息：√2 ≈ 1.41421356…，π ≈ 3.14159265…，两者都是无限不循环小数。
答案：（1）因为 7² = 49，(-7)² = 49，所以 49 的平方根是 ±7。
（2）√81 = 9，它表示 81 的算术平方根（即正的平方根）。
（3）因为 (-4)³ = -64，所以 -64 的立方根是 -4，即 ∛(-64) = -4。
（4）√2 是无理数，因为它是无限不循环小数；π 是无理数，因为它是无限不循环小数。二者都属于实数。
解析：本题考查平方根、算术平方根、立方根与无理数的辨析。
易错点一：把「49 的平方根」答成 7。平方根必须写成 ±7，因为正数有两个平方根且互为相反数。
易错点二：把 √81 误认为是 ±9。√a 专指算术平方根，只能取非负值，√81 = 9。
易错点三：认为负数没有立方根。负数没有平方根，但任何实数都有立方根，且负数的立方根是负数，故 ∛(-64) = -4。
易错点四：认为 π = 3.14 是有理数。π 是无限不循环小数，3.14 只是它的近似值，π 属于无理数。
6解答题
我国古代数学名著《周髀算经》中已有「勾三股四弦五」的记载。某校数学文化节上，老师用一条无刻度的细绳（足够长）与一把直尺，在方格桌面上搭建了一个与「勾股」有关的探究活动。
已知信息：方格桌面上每个小方格的边长为 1 个单位。在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为 (2, 1)，点 B 的坐标为 (6, 1)，点 C 的坐标为 (6, 4)。
（1）判断 △ABC 的形状，并说明理由；
（2）求线段 AC 的长度；
（3）将 △ABC 整体向左平移 5 个单位，得到 △A₁B₁C₁，写出点 A₁、B₁、C₁ 的坐标，并说明平移前后 △ABC 与 △A₁B₁C₁ 的形状和大小是否发生变化。
答案：（1）AB 在直线 y = 1 上，BC 在直线 x = 6 上，故 AB ⊥ BC，∠ABC = 90°，△ABC 是直角三角形。
（2）AC = √[(6-2)² + (4-1)²] = √(16+9) = √25 = 5。
（3）向左平移 5 个单位，横坐标减 5，纵坐标不变：
A₁(-3, 1)，B₁(1, 1)，C₁(1, 4)。
平移不改变图形的形状和大小，△A₁B₁C₁ 与 △ABC 全等，仍是直角边为 3、4，斜边为 5 的直角三角形。
解析：本题将「勾三股四弦五」的传统文化背景与坐标系中的平移、距离计算相结合，考查知识迁移能力。
易错点一：平移方向与坐标增减对应错误。向左平移是横坐标减 5，若误写成加 5，则 A₁、B₁、C₁ 坐标全错。
易错点二：认为图形平移后形状或大小发生改变。平移只改变位置，形状、大小均不变，对应边、对应角完全相等。
易错点三：计算 AC 时只写 3+4 = 7。AC 是斜边，须用勾股定理计算，AC = 5。
易错点四：误判 △ABC 为等腰三角形。AB = 4，BC = 3，两直角边不相等，应判断为直角三角形。
7解答题
【传统文化情境】《九章算术》中记载了古代工匠制作方亭（一种方形台基建筑）时的算法。某校数学兴趣小组仿照古法制作一个正方形石台模型，设计图上标注：正方形石台的底面面积为 196 cm²，石台的体积为 1372 cm³。
(1) 求这个正方形石台底面的边长，并判断该边长是否为有理数，说明理由；
(2) 求这个正方形石台的高，并写出高的立方根与平方根的情况（若存在请写出，若不存在请说明理由）；
(3) 小组同学想再做一个体积为 216 cm³ 的正方体石墩，求这个石墩的棱长，并指出棱长是 216 的平方根还是立方根。
答案：(1) 设底面边长为 a cm，则 a² = 196，因为 14² = 196，所以 a = 14（边长取正值）。14 是整数，属于有理数。
(2) 石台体积 = 底面积 × 高，即 196h = 1372，解得 h = 1372 ÷ 196 = 7 (cm)。7 的立方根是 ∛7（无理数）；7 有平方根，7 的平方根是 ±√7，算术平方根是 √7。
(3) 设棱长为 b，则 b³ = 216，因为 6³ = 216，所以 b = 6 (cm)。6 是 216 的立方根，而不是 216 的平方根（216 的平方根是 ±√216 = ±6√6）。
解析：本题把平方根、立方根、有理数/无理数的判断放入古代建筑计算情境，考查知识迁移。
(1) 关键是抓住 a² = 196 求边长，边长取正值 14，注意 196 的平方根是 ±14，而边长只能取正的 14，二者不可混淆。
(2) 由体积公式反求高 h = 7，再判断 7 的立方根与平方根是否存在：任何实数都有唯一立方根，正数有两个平方根（±√7），算术平方根只有 √7。
(3) 易错点是把「立方等于 216 的数」误当成 216 的平方根。216 的平方根是 ±6√6，与棱长 6 不同。
常见错误：① 混淆平方根与算术平方根，写「196 的平方根是 14」应为 ±14；② 认为 7 没有平方根（错，负数才没有平方根）；③ 误认为 216 的立方根 6 就是 216 的平方根。
8解答题
【传统文化情境】我国古代数学名著《九章算术》中有"开方"之术，古人常用算筹表示数。某校数学兴趣小组仿照古法设计了一道"算筹换数"游戏：
已知信息：
① 一个正方形算筹框的面积为 25 cm²，古人称其边长为"方根"；
② 一个正方体算筹匣的体积为 64 cm³，古人称其棱长为"立方根"；
③ 古书《周髀算经》记载"径一周三"，后人测得圆周率 π 为无限不循环小数。
请根据以上信息回答下列问题：
(1) 求算筹框面积 25 cm² 的平方根，并写出其算术平方根（边长）；
(2) 求算筹匣体积 64 cm³ 的立方根；
(3) 判断 √25、π、√[3]{64} 这三个数中哪些是无理数，哪些是有理数，并说明理由。
答案：(1) 因为 (±5)² = 25，所以 25 的平方根是 ±5，即 ±√25 = ±5；正数正的平方根叫做算术平方根，故边长为 √25 = 5（cm）。
(2) 因为 4³ = 64，所以 64 的立方根是 4，即 ∛64 = 4（cm）。
(3) √25 = 5，是整数，属于有理数；∛64 = 4，是整数，属于有理数；π 是无限不循环小数，是无理数。故 √25 与 ∛64 是有理数，π 是无理数。
解析：本题考查平方根、算术平方根、立方根与无理数的识别，融入古代算筹情境。(1) 易错点一：把"25 的平方根"写成 5，漏掉负的平方根——正数有两个平方根且互为相反数，应写 ±5；而算术平方根只有正的，√25 = 5。易错点二：把 √25 误当作无理数，其实 √25 = 5 是有理数，判断无理数必须先化简。(2) 立方根与平方根不同，任何数都有立方根，64 的立方根只有一个正数 4，不要写成 ±4。(3) 判断无理数的关键是看化简后是否为无限不循环小数，常见错误是"带根号就是无理数"。