1选择题
某市在城市规划中以市中心广场为原点建立平面直角坐标系：向东为横轴正方向，向北为纵轴正方向，1 个单位长度表示 1 km。新闻报道中提到该市四个新地标的位置如下：科技馆在（-2，5），滨江体育中心在（4，-3），古籍图书馆在（-6，-1），新城会展中心在（3，2）。现计划在横轴上新建一座地铁换乘站 P，使 P 到科技馆与到滨江体育中心的距离相等。则换乘站 P 的坐标为（ ）
- A. （1，0）
- B. （-1，0）
- C. （0，1）
- D. （2，0）
答案：A
解析：本题把点的坐标、象限与坐标轴知识放进城市规划的新闻情境中，考查知识迁移。设 P（x，0），由 P 到 A（-2，5）与 B（4，-3）距离相等得 (x+2)² + 5² = (x-4)² + 3²，展开得 x²+4x+4+25 = x²-8x+16+9，即 12x = 12，x = 1，故 P（1，0）。也可用几何法：AB 的中点为（1，1），AB 斜率为 (5-(-3))/(-2-4) = -4/3，故 AB 的垂直平分线斜率为 3/4，方程为 y-1 = (3/4)(x-1)，令 y = 0 得 x = 1。易错点：一是把坐标写成（横，纵）顺序时弄反，误认为 P 在纵轴上；二是把「到两点距离相等」误当作 P 是 AB 中点（中点是（1，1），不在横轴上）；三是计算 (x-4)² 时漏掉中间项的符号。故选 A。
2选择题
2024年某市开通了一条新的地铁环线，为方便乘客定位，地铁公司在车站平面图上建立了平面直角坐标系（单位：百米）：以人民广场为原点，正东方向为横轴正方向，正北方向为纵轴正方向。已知三个车站的位置分别为：科技馆 A(-4, 3)、体育馆 B(2, -5)、图书馆 C(-6, -1)。为缓解客流压力，运营方决定将这三个车站整体向正东方向平移 5 个百米，再向正北方向平移 2 个百米，得到对应车站 A′、B′、C′。则平移后点 A′、B′、C′ 的坐标依次是（ ）
- A. (1, 5)、(7, -3)、(-1, 1)
- B. (-1, 1)、(-3, -7)、(-11, -3)
- C. (1, -5)、(7, -7)、(-1, -3)
- D. (1, 5)、(7, -3)、(1, 1)
答案：A
解析：平移规则是「左减右加，上加下减」：向正东平移 5 个百米即横坐标加 5，向正北平移 2 个百米即纵坐标加 2。
对点 A(-4, 3)：横坐标 -4+5=1，纵坐标 3+2=5，得 A′(1, 5)。
对点 B(2, -5)：横坐标 2+5=7，纵坐标 -5+2=-3，得 B′(7, -3)。
对点 C(-6, -1)：横坐标 -6+5=-1，纵坐标 -1+2=1，得 C′(-1, 1)。
所以三点依次为 (1, 5)、(7, -3)、(-1, 1)。
易错点：一是把「向右平移」误当作横坐标减 5（得到选项 B 的错误结果）；二是只对横坐标做平移、忘记纵坐标也要加 2（得到选项 C 的错误结果）；三是平移计算时把横纵坐标写反或只改了一个坐标（选项 D 中 C′ 写成 (1, 1) 即横坐标加错）。注意先横后纵、逐点计算，不要漏点。故选 A。
3填空题
新闻报道中常把城市位置标注在平面直角坐标系上，以便快速定位。某市以市中心广场为原点 O，正东方向为 x 轴正方向，正北方向为 y 轴正方向，每个单位长度表示 1 km。报道中提到三个地点的坐标：高铁站 A（4，-3）、植物园 B（-2，5）、科技馆 C（-1，-6）。
（1）点 A 位于第______象限；
（2）点 B 关于 x 轴对称的点 B′ 的坐标是（______，______）；
（3）若地铁新线终点 D 与点 C 关于原点对称，则点 D 的坐标是（______，______），且点 D 位于第______象限。
答案：（1）四；（2）B′（-2，-5）；（3）D（1，6），第一象限。
解：
（1）A（4，-3）横坐标 4＞0，纵坐标 -3＜0，横正纵负，故在第四象限。
（2）关于 x 轴对称的点，横坐标不变，纵坐标变为相反数，故 B（-2，5）→ B′（-2，-5）。
（3）关于原点对称的点，横、纵坐标都变为相反数，故 C（-1，-6）→ D（1，6）；横纵坐标都为正，故 D 在第一象限。
解析：本题把坐标知识放进新闻定位情境，考查象限符号规律与对称点坐标规律。
易错点：①横纵坐标顺序写反，坐标必须「先横后纵」；②象限符号规律记混，应记：第一象限（+，+）、第二象限（-，+）、第三象限（-，-）、第四象限（+，-）；③对称规律混淆：关于 x 轴对称只变纵坐标符号，关于 y 轴对称只变横坐标符号，关于原点对称横纵坐标都变号。
4解答题
某市新建的「智慧体育公园」采用平面直角坐标系进行区域规划（单位：百米）。已知信息：公园主门设在原点 O(0, 0)；东侧为正方向，北侧为正方向；智能跑道服务点 P 的坐标为(2a-1, a+3)。
(1) 若服务点 P 恰好位于公园的南北中轴线上（即落在 y 轴上），求 a 的值，并写出此时点 P 的坐标。
(2) 若服务点 P 恰好位于公园的东西中轴线上（即落在 x 轴上），求 a 的值，并写出此时点 P 的坐标。
(3) 在(2)的条件下，园区拟把服务点 P 平移至点 Q，使 Q 与 P 关于 x 轴对称，写出点 Q 的坐标，并说明 Q 落在第几象限。
答案：(1) 点 P 在 y 轴上，则横坐标为 0，即 2a-1=0，解得 a=0.5。此时纵坐标为 a+3=0.5+3=3.5。故 a=0.5，点 P 的坐标为(0, 3.5)。
(2) 点 P 在 x 轴上，则纵坐标为 0，即 a+3=0，解得 a=-3。此时横坐标为 2a-1=2×(-3)-1=-7。故 a=-3，点 P 的坐标为(-7, 0)。
(3) 点 P(-7, 0) 关于 x 轴对称的点，横坐标不变，纵坐标变号，得 Q(-7, 0)。因为点 Q 在 x 轴上，横、纵坐标中纵坐标为 0，所以 Q 在 x 轴上，不属于任何象限。
解析：本题考查坐标轴上点的坐标特征与关于 x 轴对称的坐标变化规律。突破口：x 轴上的点纵坐标为 0，y 轴上的点横坐标为 0，务必记清「谁为 0」，不可混淆。
易错点一：把 y 轴上的点误认为纵坐标为 0，导致(1)列错方程。易错点二：由 a=-3 求横坐标 2a-1 时计算出错，漏掉减 1，误得 -6。易错点三：第(3)问求得 Q(-7, 0) 后，误答「第三象限」——坐标轴上的点不属于任何象限，这是常见失分点。另外，写坐标必须「先横后纵」，不可写反。
5解答题
为保障「城市马拉松」赛道补给，组委会在平面直角坐标系（单位：百米）中设置了两个补给点：补给点 A 位于第二象限，坐标为(-3, 4)；补给点 B 位于第一象限，坐标为(5, 2)。
(1) 补给点 A 关于 x 轴对称的点记为 A₁，关于 y 轴对称的点记为 A₂，请分别写出 A₁、A₂ 的坐标，并指出它们各自所在的象限。
(2) 若某选手从原点 O 出发，先向东跑至与 A 同一横坐标的点 C，再向北跑至 A，请写出点 C 的坐标，并判断点 C 落在坐标轴上还是某一象限内。
(3) 组委会规定：凡落在第二象限的点，其横、纵坐标之和需满足不等式 x+y > -10。请验证补给点 A(-3, 4) 是否满足该规定；并求出满足不等式组 {2x-1 > 0, (x-2)/2 ≤ 1} 的整数解 x 的个数，作为后续增设补给点的横坐标备选方案数。
答案：(1) 点 A(-3, 4) 关于 x 轴对称，横坐标不变，纵坐标变号，得 A₁(-3, -4)，在第三象限；关于 y 轴对称，横坐标变号，纵坐标不变，得 A₂(3, 4)，在第一象限。
(2) 与 A 同一横坐标的点横坐标为 -3，从原点向东跑至横坐标 -3 的点 C，故 C(-3, 0)。因为纵坐标为 0，所以点 C 在 x 轴上，不属于任何象限。
(3) 对于 A(-3, 4)：x+y = -3+4 = 1，因为 1 > -10，所以补给点 A 满足该规定。
解不等式组：由 2x-1 > 0 得 x > 0.5；由 (x-2)/2 ≤ 1 得 x-2 ≤ 2，即 x ≤ 4。公共解集为 0.5 < x ≤ 4，其中的整数解为 1、2、3、4，共 4 个。故横坐标备选方案数为 4 个。
解析：本题综合考查对称点坐标规律、坐标轴上点的特征、象限内点的符号规律，以及一元一次不等式组的解法，体现知识迁移。
(1) 易错点：关于 x 轴对称与关于 y 轴对称的变号对象记反。规律是「关于谁对称，谁不变，另一个变号」：关于 x 轴对称横坐标不变、纵坐标变号；关于 y 轴对称纵坐标不变、横坐标变号。
(2) 易错点：误答点 C 在第二象限。点 C(-3, 0) 纵坐标为 0，落在 x 轴上，坐标轴上的点不属于任何象限。
(3) 易错点一：计算 x+y 时符号出错，误得 -7 或 7。易错点二：解 (x-2)/2 ≤ 1 时忘记乘 2，误得 x ≤ 3。易错点三：求公共部分时取错方向，或求整数解时漏掉端点 4（因为 x ≤ 4 含等号，4 是解）、误把 1 排除（因为 x > 0.5 不含等号，但 1 > 0.5 成立）。正确整数解为 1、2、3、4，共 4 个。
6解答题
为迎接城市马拉松，某市在平面直角坐标系（向东为横轴正方向，向北为纵轴正方向，1 个单位长度表示 1 km）中标出赛道相关信息：起点 A（-4，3），终点 B（6，-1），补给站 C（0，-3），医疗点 D（a，b）。
（1）求 A、B 两点所在位置之间的水平距离和竖直距离分别是多少 km；
（2）若把赛道沿横轴翻折（作关于横轴的对称图形），写出起点 A 的对称点 A′ 的坐标，并判断 A′ 落在第几象限；
（3）已知医疗点 D 与补给站 C 关于纵轴对称，且 D 到横轴的距离为 3 km，求 D 的坐标；
（4）马拉松组委会规定：赛道上任一点到起点 A 与到终点 B 的距离之和不小于 10 km 才能设置饮水点。请判断补给站 C 能否设置饮水点，并说明理由（参考数据：√34 ≈ 5.83，√40 ≈ 6.32，√50 ≈ 7.07）。
答案：（1）A（-4，3），B（6，-1），水平距离为 |6-(-4)| = 10（km），竖直距离为 |-1-3| = 4（km）。
（2）关于横轴对称的点横坐标不变、纵坐标变号，故 A′（-4，-3）；横坐标为负、纵坐标为负，A′ 在第三象限。
（3）D 与 C（0，-3）关于纵轴对称，则纵坐标不变、横坐标变号，设 D（a，b），由对称得 a = -0 = 0，b = -3，但此时 D 与 C 重合，与「关于纵轴对称」不矛盾（对称轴上的点对称点即自身）。又 D 到横轴距离 |b| = 3，得 b = 3 或 b = -3。结合 D 与 C 关于纵轴对称得 b = -3，故 D（0，-3）。
说明：若取 D 到横轴距离为 3 且 D 不在纵轴上，则须由「D 与 C 关于纵轴对称」唯一确定为 D（0，-3），此时 |b| = 3 成立。
（4）AC = √[(0-(-4))² + (-3-3)²] = √(16+36) = √52 = 2√13 ≈ 7.21（km），BC = √[(6-0)² + (-1-(-3))²] = √(36+4) = √40 ≈ 6.32（km），AC + BC ≈ 13.53 km > 10 km，故补给站 C 可以设置饮水点。
解析：本题将平面直角坐标系的坐标读写、对称变换、象限符号规律与距离计算放进马拉松赛事的新闻情境，考查知识迁移与综合运用。
（1）易错点：水平距离用横坐标之差的绝对值，竖直距离用纵坐标之差的绝对值，不可混淆；写成 6-(-4) 后忘记取绝对值。
（2）易错点：关于横轴对称时误把横坐标变号，正确规律是「横不变、纵变号」；判断象限时忘记符号规律（第三象限横纵均为负）。
（3）易错点：关于纵轴对称是「纵不变、横变号」，易与关于横轴对称混淆；到横轴的距离是纵坐标的绝对值，到纵轴的距离是横坐标的绝对值，二者易混。本小题中 C（0，-3）在纵轴上，其关于纵轴的对称点即自身，故 D（0，-3），此时 |b| = 3 成立。
（4）易错点：两点距离公式中漏平方或漏开方；把 AC + BC 与 AB（= √(10²+4²) = √116 ≈ 10.77 km）比较，误以为和应等于 AB。实际上 C 不在线段 AB 上，AC + BC > AB，故和大于 10 km，可以设置饮水点。
7解答题
某市新建一条东西走向的地铁线，规划部门以市中心广场为原点建立平面直角坐标系，规定正东方向为 x 轴正方向，正北方向为 y 轴正方向，每个单位长度表示 1 km。新闻报道中给出两个换乘站的位置：站点 P（3a+1，2b-1）与站点 Q（a-1，b+3）。
（1）经实地勘测，站点 P 与站点 Q 实际是同一个地点（坐标完全相同），请求出 a、b 的值，并写出该地点的坐标；
（2）该地点再向东平移 4 km、向北平移 2 km 得到新站点 R，求点 R 的坐标，并判断点 R 位于第几象限；
（3）若在 x 轴上还规划一个站点 S，使 S 到原点 O 的距离为 5 km，求点 S 的坐标。
答案：（1）a=2，b=4，该地点坐标为（7，7）；（2）R（11，9），位于第一象限；（3）S（5，0）或 S（-5，0）。
解：
（1）因为 P、Q 是同一点，所以横坐标、纵坐标分别相等：
3a+1 = a-1，2b-1 = b+3。
由 3a+1 = a-1 得 2a = -2，a = -1；
由 2b-1 = b+3 得 b = 4。
此时 P（3×(-1)+1，2×4-1）=（-2，7），Q（-1-1，4+3）=（-2，7），坐标相同，符合题意。
故 a = -1，b = 4，该地点坐标为（-2，7）。
（2）向东平移 4 km 即横坐标加 4，向北平移 2 km 即纵坐标加 2：
R（-2+4，7+2）=（2，9），横纵坐标都为正，故 R 在第一象限。
（3）S 在 x 轴上，故纵坐标为 0，设 S（x，0）。由 |x| = 5 得 x = 5 或 x = -5，
故 S（5，0）或 S（-5，0）。
解析：本题把二元一次方程组的解法（加减法/代入法）与平面直角坐标系知识融入地铁规划这一新闻情境，考查知识迁移与综合运用。
（1）关键：「同一点」即有序数对的对应项相等，从而列出方程组，用加减法或代入法求解；求出 a、b 后必须回代验证坐标一致。
易错点：①消元时符号处理错误，如 3a+1=a-1 移项得 2a=-2 易错写成 2a=2；②解出一个未知数后忘记求另一个；③坐标写反，应先横后纵。
（2）易错点：平移方向与坐标增减搞反——向右（东）横坐标加，向上（北）纵坐标加；向左、向下则减。
（3）易错点：只写出（5，0）而漏掉（-5，0）；x 轴上的点纵坐标为 0，且到原点距离为 5 的点在原点两侧各有一个，需分类作答。
8解答题
为迎接2025年世界环境日，某市在滨河公园举行「绿色骑行」公益活动。组委会以公园南门为原点，正东方向为横轴正方向，正北方向为纵轴正方向，建立了平面直角坐标系（单位：百米）。已知各服务点坐标如下：补给站 A(2, 4)、医疗点 B(-3, 1)、终点打卡点 C(-1, -5)。
（1）补给站 A 位于第几象限？医疗点 B 与终点打卡点 C 分别位于第几象限？
（2）为照顾行动不便的市民，组委会决定将医疗点 B 沿正西方向平移 2 个百米得到新的医疗点 B′，求 B′ 的坐标，并说明 B′ 落在哪一个象限或哪一条坐标轴上。
（3）活动结束后，工作人员发现终点打卡点 C 与补给站 A 关于某条坐标轴对称的点分别是 C₁ 和 A₁。请写出点 A 关于横轴的对称点 A₁ 的坐标、点 C 关于纵轴的对称点 C₁ 的坐标，并求线段 A₁C₁ 的中点 M 的坐标。
答案：（1）A(2, 4)：横坐标 2＞0，纵坐标 4＞0，故点 A 在第一象限。
B(-3, 1)：横坐标 -3＜0，纵坐标 1＞0，故点 B 在第二象限。
C(-1, -5)：横坐标 -1＜0，纵坐标 -5＜0，故点 C 在第三象限。
（2）点 B(-3, 1) 沿正西方向平移 2 个百米，即横坐标减 2，纵坐标不变：
横坐标：-3-2 = -5，纵坐标仍为 1，
故 B′ 的坐标为 (-5, 1)。
由于 -5＜0、1＞0，所以 B′ 位于第二象限。
（3）点 A(2, 4) 关于横轴（x 轴）对称：横坐标不变，纵坐标变号，得 A₁(2, -4)。
点 C(-1, -5) 关于纵轴（y 轴）对称：纵坐标不变，横坐标变号，得 C₁(1, -5)。
线段 A₁C₁ 的中点 M 的坐标为两对应坐标取平均数：
横坐标：(2+1)÷2 = 1.5，纵坐标：(-4+(-5))÷2 = -4.5，
故 M(1.5, -4.5)，即 M(3/2, -9/2)。
解析：本题把平面直角坐标系的象限符号规律、平移与对称放进「绿色骑行」公益活动这一社会热点情境，考查知识迁移与综合运用。
第（1）问考查象限符号规律：第一象限（+，+）、第二象限（-，+）、第三象限（-，-）、第四象限（+，-）。易错点是横纵坐标符号规律记反，例如误认为 B 在第三象限。
第（2）问考查平移：向正西平移 2 个百米即横坐标减 2、纵坐标不变，得 B′(-5, 1)，落在第二象限。易错点：一是把「向西」误当作横坐标加 2；二是只写新坐标不判断象限；三是看到纵坐标 1 为正就误判在第一象限。
第（3）问考查对称与中点：关于横轴对称「横不变、纵变号」得 A₁(2, -4)；关于纵轴对称「纵不变、横变号」得 C₁(1, -5)。易错点是把两种对称规则记混（例如把关于横轴对称写成 (−2, 4)）。中点坐标公式为两坐标分别取平均：横坐标 (2+1)÷2 = 1.5，纵坐标 (-4-5)÷2 = -4.5，故 M(1.5, -4.5)。注意本题第（3）问中 A 关于横轴对称、C 关于纵轴对称，两条规则不要混用；写坐标时务必「先横后纵」，避免横纵写反。