1选择题
《九章算术》中记载了一道"共买鸡"问题："今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六。问人数、鸡价各几何？"意思是若干人凑钱买鸡，若每人出9钱，则多出11钱；若每人出6钱，则还差16钱。设有x人，鸡价为y钱，根据题意列出的方程组为（ ）
- A. {9x - y = 11，6x - y = -16}
- B. {y - 9x = 11，y - 6x = -16}
- C. {9x + y = 11，6x + y = -16}
- D. {9x - y = 11，6x - y = 16}
答案：A
解析：本题考查列二元一次方程组，关键是区分"盈"（多出）与"不足"（缺少）的符号方向。每人出9钱，共出9x钱，比鸡价y多11钱，故9x - y = 11（即9x = y + 11）；每人出6钱，共出6x钱，比鸡价y少16钱，故6x = y - 16，移项得6x - y = -16。B选项把"盈十一"写成 y - 9x = 11，与实际相反；C选项把"盈"误当作相加，符号全错；D选项第二个方程漏掉"不足"的负号，应为6x - y = -16而非=16。本题也可验证：由9x - y = 11与6x - y = -16相减得3x = 27，x = 9，y = 70，符合"人出九盈十一、人出六不足十六"的实际意义。故选A。
2选择题
《孙子算经》中的"鸡兔同笼"问题可借助二元一次方程组求解：笼中有鸡和兔共12只，腿共34条。设鸡有x只、兔有y只，得到方程组{x + y = 12，2x + 4y = 34}。小明用加减消元法求解，他先把第一个方程两边同乘2，得2x + 2y = 24，再与第二个方程相减。关于这一消元过程，下列说法正确的是（ ）
- A. 相减后得到2y = 10，解得y = 5，故兔有5只、鸡有7只
- B. 相减后得到2y = 34，解得y = 17，与总数12只矛盾，说明题目数据有误
- C. 相减后得到2y = 10，解得y = 5，但还需代回原方程检验，才能确定x = 7
- D. 应把第一个方程两边同乘4再与第二个方程相减，才能消去x
答案：C
解析：本题考查加减消元法的原理与"消元后须回代求另一未知数并检验"的完整过程，属于概念辨析题。第一步：由x + y = 12两边同乘2得2x + 2y = 24，与2x + 4y = 34中x的系数相同，相减可消去x，做法正确。第二步：(2x + 4y) - (2x + 2y) = 34 - 24，得2y = 10，y = 5。第三步：把y = 5代回x + y = 12得x = 7。选项A只说"故兔有5只、鸡有7只"，虽结果正确，但跳过了"把y = 5代回原方程求x"这一必要步骤，叙述不完整，是常见的步骤缺失易错点；选项B计算相减时用34 - 0，未减去24，属于加减消元时常见的减法错误；选项D说需同乘4才能消去x，混淆了"消x"与"消y"，同乘4后第二个方程无法直接与2x + 4y = 34相减消元。正确表述是C：相减得y = 5后必须代回原方程求出并检验x = 7，才能得到完整解{x = 7，y = 5}（检验：7 + 5 = 12，2×7 + 4×5 = 34，均成立）。故选C。
3填空题
《九章算术》是我国古代数学名著，其中"盈不足"章记载了一类分配问题。今有"共买物"之题：数人合伙买羊，若每人出 5 钱，则多出 3 钱；若每人出 4 钱，则还差 2 钱。设人数为 x，羊价为 y 钱，则根据题意可列方程组为 ____，解得 x = ____，y = ____。
（本题考查从实际情境中找出两个独立等量关系并列出二元一次方程组，注意"多出"与"还差"对应的加减关系不要写反。）
答案：根据题意：
第一个等量关系（每人出 5 钱，多出 3 钱）：5x = y + 3，即 5x - y = 3；
第二个等量关系（每人出 4 钱，还差 2 钱）：4x = y - 2，即 4x - y = -2。
所以方程组为 {5x - y = 3, 4x - y = -2}。
用加减消元法：两式相减，(5x - y) - (4x - y) = 3 - (-2)，得 x = 5。
把 x = 5 代入 5x - y = 3，得 25 - y = 3，y = 22。
故方程组为 {5x - y = 3, 4x - y = -2}，x = 5，y = 22（即 5 人合伙买羊，羊价 22 钱）。
解析：易错点一：等量关系方向写反，如写成 5x = y - 3 或 4x = y + 2，把"多出"与"还差"的符号弄错。本题正确理解是"出的钱 = 羊价 + 多出的"与"出的钱 = 羊价 - 还差的"，也可统一写成"出的钱 - 羊价 = 多出（正）/ 还差（负）"。易错点二：设未知数不明确（如"设买了 x 钱"），必须说清 x 是人数、y 是羊价。易错点三：加减消元时符号弄错，相减时 3 - (-2) = 5，不是 1。也可用代入消元：由 5x - y = 3 得 y = 5x - 3，代入 4x - y = -2 得 4x - (5x - 3) = -2，-x + 3 = -2，x = 5，再得 y = 22。检验：5×5 = 25 = 22 + 3 ✓；4×5 = 20 = 22 - 2 ✓。
4填空题
《孙子算经》中"鸡兔同笼"是我国古代经典问题，体现了方程消元思想。今有鸡兔同笼，上有 8 个头，下有 22 只足。设鸡有 x 只，兔有 y 只，则方程组为 ____；若某同学把第二个方程误写成"2x + 4y = 24"（即把足数 22 错看成 24），则会解得 x = ____，y = ____，此时总足数比实际多了 ____ 只足。请对照正确结果，指出消元时最容易出错的一点：____。
（本题考查二元一次方程组的代入消元法与加减消元法，以及对"代入代错式子、加减弄错符号"这两大易错点的辨析。）
答案：正确方程组：{x + y = 8, 2x + 4y = 22}。
解：由 x + y = 8 得 x = 8 - y，代入 2x + 4y = 22，得 2(8 - y) + 4y = 22，16 - 2y + 4y = 22，2y = 6，y = 3，x = 5。即鸡 5 只、兔 3 只。
检验：5 + 3 = 8（头）✓；2×5 + 4×3 = 10 + 12 = 22（足）✓。
误写情形：{x + y = 8, 2x + 4y = 24}。
由 x = 8 - y 代入，得 2(8 - y) + 4y = 24，16 + 2y = 24，2y = 8，y = 4，x = 4。
此时总足数为 2×4 + 4×4 = 8 + 16 = 24，比实际的 22 多出 2 只足。
消元时最易错的一点：代入时把 x = 8 - y 整体代入却漏乘系数 2，写成"16 - y + 4y = 22"（应为 16 - 2y + 4y = 22），从而解错；或加减消元时把 2x + 4y 与 2(x + y) 相减弄错符号。因此消元时要牢记：代入的式子要加括号并逐项乘系数，加减相减时逐项变号。
解析：本题以"鸡兔同笼"传统典故为情境，把二元一次方程组的概念（两个二元一次方程合在一起，其解是两个方程的公共解）与两种消元法（代入消元、加减消元）结合起来，并通过"看错数据"的变式训练概念辨析能力。易错点一：代入时代错式子或漏乘系数，如把 2(8 - y) 写成 16 - y，这是课程明确指出的高频错误。易错点二：加减消元时符号出错，如用 (2x + 4y) - (x + y) = 22 - 8 时右边算成 14 而不是 14（此处应为 22 - 8 = 14），或把 2(x + y) = 16 写成 2x + 2y = 8。易错点三：概念不清，把"头数 8"与"足数 22"两个独立等量关系混成一个，导致方程组不独立、无从求解。易错点四：解完不检验，误写情形解得 x = 4、y = 4 时头数虽对但足数为 24，与题给 22 不符，正是通过检验才能发现的错误。
5解答题
《九章算术》中记载了一类"共买物"问题，其大意是：几人合伙买东西，若每人出 8 文钱，则多出 3 文钱；若每人出 7 文钱，则还差 4 文钱。设合伙人数为 x 人，所买物品的总价为 y 文钱。
（1）请根据题意列出关于 x、y 的二元一次方程组；
（2）小明观察到两个方程中 y 的系数相同，于是用加减消元法求解，请你按他的思路写出完整的求解过程；
（3）小华认为本题也可以用代入消元法求解，请你用代入法再解一次，并说明两种消元方法在本题中各自的"入手点"是什么；
（4）小华在用代入法时，把第一个方程变形得到的式子错代入了原方程本身，结果出现"8x = 8x + 3"这样的矛盾等式。请指出他错在哪里，并结合本题说说消元时最需要注意的一点。
答案：（1）每人出 8 文钱多 3 文钱，即总价 y = 8x − 3；每人出 7 文钱差 4 文钱，即总价 y = 7x + 4。故方程组为：
{ 8x − y = 3 （1）
{ 7x − y = −4 （2）
（也可写作 { y = 8x − 3, y = 7x + 4 }）
（2）观察到两个方程中 y 的系数都是 −1（相同），用加减消元法。用（1）式减去（2）式：
(8x − y) − (7x − y) = 3 − (−4)
8x − y − 7x + y = 3 + 4
x = 7
把 x = 7 代入（1）式：8×7 − y = 3，56 − y = 3，解得 y = 53。
所以方程组的解为 x = 7，y = 53。
（3）代入消元法：由（1）式得 y = 8x − 3，把它代入（2）式：
7x − (8x − 3) = −4
7x − 8x + 3 = −4
−x = −7
x = 7
再代入 y = 8x − 3，得 y = 8×7 − 3 = 53。
所以方程组的解为 x = 7，y = 53，与（2）一致。
两种方法的入手点：加减法的入手点是观察"同一未知数的系数相同或互为相反数"，直接相加或相减消元；代入法的入手点是观察"某个未知数的系数为 1 或 −1，容易用另一个未知数表示"，本题由 8x − y = 3 解出 y = 8x − 3 正是利用了 y 的系数为 −1。
（4）小明的错误在于"代入时把变形得到的式子代回了原来的那个方程"，这样恒等变形必然回到恒等式（出现 8x = 8x + 3 这类矛盾或恒等式），无法消元。正确做法是把一个方程变形得到的式子代入"另一个"方程。消元时最需要注意的一点是：代入时代错方程（或漏加括号导致符号出错），以及加减消元时符号处理出错，解出一个未知数后还要回代求另一个未知数。
检验：x = 7 人，y = 53 文。每人出 8 文共 56 文，比 53 文多 3 文；每人出 7 文共 49 文，比 53 文差 4 文，符合题意。
解析：本题以《九章算术》"共买物"为情境，考查二元一次方程组的建立、代入消元法与加减消元法的对比，属于基础题。
易错点一：列方程时"多出 3 文"与"差 4 文"的符号方向弄反，应明确总价是定值，故列成 y = 8x − 3 与 y = 7x + 4（或移项后的 8x − y = 3、7x − y = −4）。
易错点二：加减消元时，(1) − (2) 中 −y − (−y) = 0 消元正确，但右端 3 − (−4) 容易误算成 3 − 4 = −1，注意减去负数要变号。
易错点三：代入时把变形式代回原方程（小明的典型错误）而无法消元，必须代入另一个方程；同时 y = 8x − 3 代入 7x − y = −4 时要加括号：7x − (8x − 3) = −4，否则符号出错。
易错点四：只解出 x 就作答，忘记回代求 y，导致步骤不完整。
6解答题
《孙子算经》中"鸡兔同笼"问题流传甚广。某校数学兴趣小组为体会古人的"消元"思想，在坐标纸上设计了一个探究活动：他们把"鸡的只数 x"和"兔的只数 y"看作有序数对 (x, y)，在平面直角坐标系中用点来表示。
已知信息：
① 同笼的鸡和兔共有 12 只，脚共 34 只（每只鸡 2 只脚，每只兔 4 只脚），可得方程组 { x + y = 12 （1）, 2x + 4y = 34 （2） }，其解为有序数对 P(x, y)；
② 小组把点 P 先向左平移 3 个单位，再向上平移 2 个单位，得到点 Q。
（1）用加减消元法解方程组，求出点 P 的坐标，并解释这里的横坐标、纵坐标分别代表什么实际含义；
（2）求点 Q 的坐标，并写出平移过程中坐标变化所遵循的规则；
（3）小组成员认为"点 P 平移到点 Q 后，坐标变了，所以原来的问题也被改变了"。请判断这一说法是否正确，并结合平移的性质说明理由。
答案：（1）{ x + y = 12 （1）, 2x + 4y = 34 （2） }。
两个方程中 x 的系数不同，先把系数变相同：用（1）式乘 2 得 2x + 2y = 24 （3）。
用（2）式减去（3）式：
(2x + 4y) − (2x + 2y) = 34 − 24
2y = 10
y = 5
把 y = 5 代入（1）式：x + 5 = 12，解得 x = 7。
所以方程组的解为 x = 7，y = 5，点 P 的坐标为 (7, 5)。
实际含义：横坐标 7 表示鸡有 7 只，纵坐标 5 表示兔有 5 只。
检验：7 + 5 = 12（只），2×7 + 4×5 = 14 + 20 = 34（只脚），符合题意。
（2）点 P(7, 5) 先向左平移 3 个单位，再向上平移 2 个单位。
向左平移横坐标减 3：7 − 3 = 4；向上平移纵坐标加 2：5 + 2 = 7。
所以点 Q 的坐标为 (4, 7)。
平移的坐标变化规则：左减右加，上加下减；即向左（或向右）平移只改变横坐标，向上（或向下）平移只改变纵坐标。
（3）说法不正确。平移只改变图形（或点）的位置，不改变图形的形状和大小，也不改变点之间的相对位置关系；点 P 与点 Q 的坐标不同只是因为点在坐标系中的位置发生了移动。鸡兔同笼问题的答案由方程组本身决定，仍然是鸡 7 只、兔 5 只，平移这一作图操作不会改变原问题的数量关系和结论。
解析：本题把"鸡兔同笼"古题与坐标平移结合，考查加减消元法解二元一次方程组、坐标表示地理位置、平移的坐标变化规则及平移性质，属于基础题、中档穿插。
易错点一：加减消元时系数不同，忘记先把系数变相同（如直接用（2）−（1）消元导致出错）；正确做法是（1）×2 后再相减，或者用（2）式先两边同除以 2 得 x + 2y = 17 再与（1）相减。
易错点二：相减时符号出错，34 − 24 = 10 而不是 −10，2x + 4y − 2x − 2y = 2y。
易错点三：解出 y 后忘记求 x，步骤不完整。
易错点四：平移规则记反（误记成"左加右减、上减下加"），或混合平移时只做一次变化，漏掉另一个方向；本题应为横坐标 7 − 3 = 4，纵坐标 5 + 2 = 7。
易错点五：误认为平移会改变图形的形状、大小或问题的结论，混淆"坐标变化"与"数量关系变化"。
7解答题
《九章算术》中记载了一道著名的"共买鸡"问题："今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。今用百钱买百鸡，问翁、母、雏各几何？"为降低难度，本次改编为两元情形：某同学用 23 元钱到集市上买"翁"（公鸡）和"母"（母鸡）两种鸡，已知公鸡每只 5 元，母鸡每只 3 元，恰好把钱用完，且共买了 7 只鸡。设买公鸡 x 只、买母鸡 y 只。
（1）根据题意列出关于 x、y 的二元一次方程组；
（2）分别用代入消元法和加减消元法解这个方程组，并说明每一步消元的依据；
（3）小明说："二元一次方程组的解就是方程组中两个方程的公共解。"请结合本题验证这句话是否正确，并指出解题中最容易出错的地方。
答案：（1）由"共买 7 只"得 x + y = 7；由"共用 23 元"得 5x + 3y = 23。
所以方程组为：x + y = 7，5x + 3y = 23。
（2）代入消元法：由第一个方程得 y = 7 − x，把它代入第二个方程：5x + 3(7 − x) = 23，即 5x + 21 − 3x = 23，2x = 2，x = 1，再代回 y = 7 − x 得 y = 6。
加减消元法：把第一个方程两边同乘 3，得 3x + 3y = 21，与第二个方程 5x + 3y = 23 相减（y 的系数相同，直接相减即可消去 y），得 2x = 2，x = 1，代回 x + y = 7 得 y = 6。
依据：代入消元是把一个未知数用另一个未知数表示后代入另一方程，化为一元一次方程；加减消元是先把同一未知数的系数变相同（或相反），再相加或相减消去该未知数。
（3）把 x = 1，y = 6 代入第一个方程：1 + 6 = 7，成立；代入第二个方程：5 × 1 + 3 × 6 = 5 + 18 = 23，成立。说明 x = 1、y = 6 同时满足两个方程，确实是两方程的公共解，小明的说法正确。
易错点：① 代入时把 y = 7 − x 写成 y = 7 + x，或代入时代错式子；② 加减消元时 3x + 3y = 21 与 5x + 3y = 23 相减弄错符号，算成 2x = 44 或 −2x = 2；③ 乘 3 时只乘了 3y 一项，漏乘 x 与常数项。
答：买公鸡 1 只、母鸡 6 只。
解析：本题以《九章算术》"百钱百鸡"典故为背景，考查二元一次方程组的建模、代入消元与加减消元两种解法的对比辨析，以及"方程组的解是两个方程的公共解"这一概念的验证。关键点：① 根据两个等量关系（只数、钱数）列组；② 代入法用 y = 7 − x 整体代入，加减法需先把 x + y = 7 扩倍为 3x + 3y = 21 再与 5x + 3y = 23 相减；③ 通过代回两式验证"公共解"含义。易错：代入式写错符号、加减时相减方向弄反、扩倍时漏乘某项、把最终结果写成 x = 1 而漏写 y = 6。
8解答题
《孙子算经》"鸡兔同笼"题云："今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？"（雉即鸡，两足；兔四足。）
（1）小华列出了如下方程组：x + y = 35，2x + 4y = 94，其中 x 表示鸡的只数，y 表示兔的只数。请判断这个方程组是否为二元一次方程组，并说明理由；
（2）小华用加减消元法求解时，写出了如下过程：把第一个方程两边同乘 2，得 2x + 2y = 70，再与 2x + 4y = 94 相加，得 4x + 6y = 164。请你指出他的错误，并给出正确的加减消元过程与结果；
（3）小丽说："如果把第一个方程改写成 x = 35 − y，再代入第二个方程，就变成了一元一次方程，这就是消元。"请按小丽的思路求解，并比较两种消元方法在本题中的异同。最后把所得结果代回原方程组检验，并用一句话解释为什么"检验"这一步在解应用题时必不可少。
答案：（1）是二元一次方程组。理由：x + y = 35 与 2x + 4y = 94 都含有两个未知数 x、y，且每个方程中未知数的次数都是 1（即都是一次方程），两个这样的方程合在一起就组成了二元一次方程组。
（2）错误：两个方程相加不能消去未知数，因为两个方程中 x 的系数都是 2，应相减消去 x（或让 y 的系数变相同后相减）。
正确过程（加减消元）：把 x + y = 35 两边同乘 2，得 2x + 2y = 70；用 2x + 4y = 94 减去 2x + 2y = 70（同减，符号不变），得 2y = 24，y = 12；把 y = 12 代入 x + y = 35，得 x = 23。
（3）代入消元：由 x = 35 − y 代入 2x + 4y = 94，得 2(35 − y) + 4y = 94，即 70 − 2y + 4y = 94，2y = 24，y = 12，再由 x = 35 − y 得 x = 23。
异同：两种方法的目标都是"消元"，把二元化为一元；不同在于代入法是用一个未知数表示另一个后代入，加减法是把同一未知数的系数变相同（或相反）后相加或相减消去该未知数。
检验：把 x = 23，y = 12 代入 x + y = 35，得 23 + 12 = 35，成立；代入 2x + 4y = 94，得 2 × 23 + 4 × 12 = 46 + 48 = 94，成立。所以鸡 23 只、兔 12 只。
一句话解释：检验能确认所得结果是否同时满足两个方程（是否为公共解），并能及时发现代入代错、符号弄反等计算错误，避免答非所问。
解析：本题以《孙子算经》"鸡兔同笼"典故为情境，分三问层层辨析概念：① 二元一次方程组的定义（两个未知数、次数为 1、两个方程合成一组）；② 加减消元的适用条件——同一未知数系数相同应相减而非相加，这是学生最易混淆之处；③ 代入消元与加减消元的对比及"公共解"的检验。易错点：看到两个方程就机械相加；乘 2 时只乘一项；把 y = 12 直接当作答案而不回代求 x；检验时只代入一个方程。结果为鸡 23 只、兔 12 只。