1选择题
某市为鼓励市民节约用水，规定：每户每月用水量不超过 12 m³ 时，按每 m³ 2 元收费；超过 12 m³ 的部分，按每 m³ 3 元收费。已知小明家本月水费为 33 元，设小明家本月用水量为 x m³，则 x 满足的不等关系式为（ ）
- A. 2×12 + 3(x−12) = 33，且 x > 12
- B. 2x + 3(x−12) = 33，且 x > 12
- C. 2×12 + 3(x−12) = 33，且 x ≥ 12
- D. 2x = 33，且 x ≤ 12
答案：A
解析：先判断用水量是否超过 12 m³：若 x ≤ 12，则水费最多为 12×2 = 24 元，达不到 33 元，故必有 x > 12。此时前 12 m³ 收费 12×2 = 24 元，超过部分 (x−12) m³ 按 3 元/m³ 收费，总水费为 2×12 + 3(x−12)。令其等于 33，得 24 + 3(x−12) = 33，解得 x = 15（满足 x > 12），符合题意。易错点：一是把前 12 m³ 的单价误写成对全部水量都按 2 元计（B 项重复计费）；二是分界点处等号方向弄错，实际 x = 12 时水费仅 24 元，不可能为 33 元，故应为 x > 12 而非 x ≥ 12，排除 C；D 项未考虑超量部分的加价，明显错误。故选A。
2选择题
某校为庆祝校园文化节，计划购买 A、B 两种文创笔记本共 30 本，其中 A 种笔记本每本 8 元，B 种笔记本每本 5 元。若购买总费用不超过 200 元，且 A 种笔记本的数量不少于 10 本，设购买 A 种笔记本 x 本，则 x 的取值范围是（ ）
- A. 10 ≤ x ≤ 16⅔
- B. 10 ≤ x ≤ 30
- C. 0 ≤ x ≤ 16⅔
- D. 10 ≤ x ≤ 17
答案：A
解析：设购买 A 种笔记本 x 本，则 B 种为 (30 − x) 本。由「A 种不少于 10 本」得 x ≥ 10；又 x ≤ 30。总费用为 8x + 5(30 − x) = 8x + 150 − 5x = 3x + 150，由「不超过 200 元」得 3x + 150 ≤ 200，两边同时减去 150（不等号方向不变），得 3x ≤ 50；两边同除以正数 3（方向不变），得 x ≤ 50/3 = 16⅔。综合得 10 ≤ x ≤ 16⅔。易错点：一是把总费用误算成 8x + 5×30，导致列式 8x + 150 ≤ 200，解得 x ≤ 6.25，与 x ≥ 10 矛盾而误选其他；二是忘记「不超过」含等号；三是解 3x + 150 ≤ 200 时把 3x ≤ 50 误算成 x ≤ 50，从而误选 D。故选A。
3选择题
为响应国家“旧物回收”倡议，某市开展废旧书本回收活动。回收站规定：每千克废旧书本可兑换 0.8 元环保补贴，小明一家当天共回收两种书本，其中教材类 a 千克、杂志类 b 千克，已知 a + b = 40，且教材类每千克补贴比杂志类多 0.2 元。若当天共获得补贴 36 元，则下列关于 a、b 所列的方程组正确的是（ ）
- A. a + b = 40，0.8a + 1.0b = 36
- B. a + b = 40，1.0a + 0.8b = 36
- C. a + b = 36，0.8a + 1.0b = 40
- D. a + b = 40，0.8a + 0.6b = 36
答案：B
解析：由题意，教材类 a 千克、杂志类 b 千克，共 40 千克，得 a + b = 40；杂志类每千克补贴 0.8 元，教材类每千克比杂志类多 0.2 元，即 0.8 + 0.2 = 1.0 元，故教材类补贴 1.0a 元、杂志类补贴 0.8b 元，总补贴 36 元，得 1.0a + 0.8b = 36。易错点：把“教材类每千克比杂志类多 0.2 元”误读为教材类 0.8 元、杂志类 0.6 元（选 D），或将总质量与总补贴数据对调（选 C）。故选B。
4选择题
为倡导绿色出行，某市新闻报道中提到：地铁公司推出"低碳通勤月"活动，乘客当月累计乘坐地铁次数记为 x 次。规定：累计次数不少于 12 次且不超过 20 次的乘客可领取纪念徽章；若某乘客领取徽章后，又额外乘坐了 3 次地铁，则其总次数 y 一定满足（ ）
- A. 9 < y < 17
- B. 15 ≤ y ≤ 23
- C. 12 ≤ y ≤ 20
- D. 15 < y < 23
答案：B
解析：由题意，领取徽章的条件是 12 ≤ x ≤ 20。额外乘坐 3 次后，y = x + 3。根据不等式性质一：不等式两边同时加上同一个数，不等号方向不变，故 12 + 3 ≤ x + 3 ≤ 20 + 3，即 15 ≤ y ≤ 23。易错点：①误认为"不少于"是严格大于，把端点 15、23 排除，错选 D；②只对一端加 3，忘记两端都要加 3，错选 A 或 C；③把"不超过"理解为不含等号。本题属基础题，考查不等式基本性质在陌生情境中的迁移。故选B。
5填空题
某市地铁票价规则如下：乘坐里程不超过 4 千米（含 4 千米）票价 2 元；超过 4 千米但不超过 12 千米的部分，每千米加价 0.5 元（不足 1 千米按 1 千米计）。小华上学单程票价为 5 元。若他上学的乘车里程为 x 千米，则 x 满足的不等式组为________，解这个不等式组可得 x 的取值范围为________。
答案：不等式组为 2 + 0.5(x − 4) ≥ 5，2 + 0.5(x − 4) < 2 + 0.5(12 − 4) 即 x > 4 且 x ≤ 10；整理为 { x > 4，x ≤ 10 }，解集为 4 < x ≤ 10。（也可写作：由 2 + 0.5(x − 4) = 5 得 x = 10；结合“超过 4 千米”且“不超过 12 千米”得 4 < x ≤ 10。）
解析：票价 5 元说明里程超过 4 千米（否则票价为 2 元），故 x > 4；超过 4 千米部分每千米 0.5 元，5 元票价对应超过部分为 (5 − 2) ÷ 0.5 = 6 千米，即 x ≤ 4 + 6 = 10；又题设收费上限在 12 千米以内，10 < 12 满足条件。故 4 < x ≤ 10。易错点：①忘记 x > 4 的限制，直接写 x ≤ 10；②把“每千米加价 0.5 元”误算成全部里程按 0.5 元计；③解不等式时两边乘除负数未变号，或端点处等号方向写反（≤ 与 < 混淆）。
6解答题
某市新闻媒体报道：为缓解"看病难"，社区卫生服务中心开展免费体检。已知每组医护人员一天最多能完成 60 人次的体检，本次免费体检计划至少服务 300 人次。社区拟派出若干组医护人员，设派出 x 组。
（1）根据"一天最多完成 60 人次""计划至少服务 300 人次"这两个信息，列出关于 x 的一元一次不等式组；
（2）解这个不等式组，写出 x 的取值范围；
（3）结合实际意义，指出该社区至少应派出多少组医护人员，并说明理由。
答案：（1）由"每组一天最多完成 60 人次"，x 组一天最多完成 60x 人次；由"计划至少服务 300 人次"，得 60x ≥ 300；又派出的组数不能为负且需至少派出一组，故 x ≥ 1。所列不等式组为：
{60x ≥ 300，x ≥ 1}（也可写为 {60x ≥ 300，x > 0}）。
（2）解不等式 60x ≥ 300：两边同除以正数 60，不等号方向不变，得 x ≥ 5。解不等式 x ≥ 1 得 x ≥ 1。两个解集的公共部分：同大取大，故 x ≥ 5。
（3）由（2）知 x ≥ 5。由于 x 表示派出的组数，必须是正整数，故 x 的最小值为 5。因此该社区至少应派出 5 组医护人员。理由：5 组一天最多完成 60 × 5 = 300 人次，恰好达到"至少服务 300 人次"的要求；若只派 4 组，最多完成 240 人次，不满足要求。
解析：本题把不等式组放进"社区免费体检"这一社会热点情境，考查知识迁移能力。第（1）问关键是把"最多""至少"翻译成 ≤ 与 ≥："每组最多 60 人次"意味着 x 组的总能力 60x，"至少服务 300 人次"意味着 60x ≥ 300。第（2）问考查解不等式与找公共部分（同大取大）。第（3）问考查解集与实际意义的结合：组数必须取正整数，故取满足 x ≥ 5 的最小整数 5。易错点：①把"至少服务 300 人次"误列成 60x ≤ 300，方向写反；②列不等式组时漏掉 x ≥ 1 这一实际限制；③解出 x ≥ 5 后不写"x 为正整数"，直接答"5 组以上"而不给出最小值；④把"最多能完成 60 人次"误当作"每组每天必须完成 60 人次"，从而认为 x = 5 是唯一解，忽略"至少"的下界含义。
7解答题
为倡导绿色出行，某市新闻报道：今年春季新增共享自行车投放计划共 300 辆，只投放 A、B 两种车型。已知 A 型车每辆造价 480 元，B 型车每辆造价 360 元，本次购车总预算不超过 132000 元；同时报道要求 A 型车的数量不少于 B 型车数量的一半。
（1）设投放 A 型车 x 辆，请根据题意列出关于 x 的不等式组；
（2）求 x 的取值范围，并写出所有可能的整数解；
（3）若 A 型车数量要尽可能多，应投放 A 型车多少辆？
答案：（1）B 型车为（300 - x）辆。由总造价不超过预算得：480x + 360（300 - x）≤ 132000；由 A 型车不少于 B 型车数量的一半得：x ≥ (1/2)（300 - x）。
（2）解第一个不等式：480x + 108000 - 360x ≤ 132000，120x ≤ 24000，x ≤ 200。
解第二个不等式：2x ≥ 300 - x，3x ≥ 300，x ≥ 100。
又 x 为车的辆数，须为非负整数，故不等式组的解集为 100 ≤ x ≤ 200，其中 x 为整数，即 x = 100，101，…，200，共 101 个整数解。
（3）x 越大 A 型车越多，由 x ≤ 200 知，最多投放 A 型车 200 辆（此时 B 型车 100 辆，总造价 480×200 + 360×100 = 132000 元，恰好用尽预算）。
解析：本题把不等式组放进“新闻报道中的绿色出行投放计划”这一陌生情境，考查建立不等式模型与求公共解集。
易错点一：“不超过”应写成 ≤，写成 < 会漏掉 x = 200 这个最优解；“不少于……的一半”应写成 x ≥ (1/2)(300 - x)，方向不能写反。
易错点二：解 2x ≥ 300 - x 时移项符号出错，误得 x ≥ 300；正确应为 3x ≥ 300。
易错点三：取公共部分时只写 x ≤ 200 而漏掉 x ≥ 100，或忽略“辆数为整数、非负”的隐含条件。
易错点四：第（3）问忘记结合预算上限取等号，答成“越多越好、可取 300 辆”，与实际预算矛盾。
8解答题
某市新闻报道：为提升社区服务质量，甲、乙两家物业公司竞标同一小区的年度服务项目。已知两家公司报价相同，评标按“居民满意度得分”与“服务承诺得分”合计总分决定中标方。
已知信息：甲公司居民满意度得分为 a 分，服务承诺得分为 b 分，且 a > b > 0；乙公司两项得分均由甲公司对应项经如下调整得到——居民满意度得分变为 a - 4，服务承诺得分变为 -2b + 20。
（1）判断甲公司总分与乙公司总分的大小关系，并说明理由（要求写出每一步所用的不等式性质）；
（2）若已知 a = 12，b = 5，请计算两家公司的总分并判断哪家公司中标；
（3）在（2）的条件下，若规定“居民满意度得分不低于 8 分”才能进入下一轮，请判断甲、乙两公司是否都能进入下一轮，并说明理由。
答案：（1）甲公司总分为 a + b，乙公司总分为（a - 4）+（-2b + 20）= a - 2b + 16。
作差：（a + b）-（a - 2b + 16）= 3b - 16。
当 3b - 16 > 0，即 b > 16/3 时，甲公司总分高；当 b = 16/3 时两公司总分相同；当 0 < b < 16/3 时乙公司总分高。
（说明中用到的性质：两边同时加上或减去同一个数，不等号方向不变；两边同时乘或除以同一个正数，不等号方向不变。）
（2）a = 12，b = 5 时，甲公司总分 = 12 + 5 = 17（分），乙公司总分 =（12 - 4）+（-2×5 + 20）= 8 + 10 = 18（分）。因为 18 > 17，所以乙公司中标。
（3）甲公司居民满意度得分 a = 12 ≥ 8，可以进入下一轮；乙公司居民满意度得分 a - 4 = 8 ≥ 8，也可以进入下一轮，故两家公司都能进入下一轮。
解析：本题把不等式性质（含作差比较、乘负数变号）放入“物业竞标新闻报道”这一陌生情境，考查知识迁移与灵活运用。
易错点一：作差后误以为 b > 0 就能直接判断 3b - 16 > 0，忽略常数项 16，必须分 b 与 16/3 的大小讨论。
易错点二：处理乙公司服务承诺得分 -2b + 20 时，若由 a > b 直接乘 -2，忘记不等号方向改变（-2a < -2b），导致比较方向出错。
易错点三：第（2）问代入时把 -2b + 20 误算为 -2×5 - 20，符号出错。
易错点四：第（3）问把“不低于 8 分”写成 > 8，从而误判乙公司 8 分不能进入下一轮；“不低于”应为 ≥。