1选择题
在某桥梁桁架的节点设计中，工程师需要验证两块三角形钢板能否完全重合。已知信息：在△ABC与△DEF中，AB = DE = 30 cm，∠B = ∠E = 55°，AC = DF = 24 cm。下列判断正确的是（ ）
- A. 由AB = DE，AC = DF，∠B = ∠E可判定△ABC ≌ △DEF
- B. 由AB = DE，∠B = ∠E，BC = EF（缺此条件不可判定），故本题不能判定△ABC ≌ △DEF
- C. 由AB = DE，AC = DF，∠B = ∠E可判定△ABC ≌ △EDF
- D. 由AB = DE，AC = DF，∠B = ∠E可判定△ABC ≌ △DFE
答案：B
解析：本题考查SAS的"夹角"要求。已知条件是两边AB = DE、AC = DF，以及∠B = ∠E。注意∠B是边AB与BC的夹角，但BC与EF并未给出相等；而∠B是边AB的邻角，并不是AB与AC的夹角（AB与AC的夹角应是∠A）。因此这里的条件构成"两边及其中一边的对角"，即SSA，不能判定两个三角形全等，这是全等判定中最常见的易错点。A、C、D三项都建立在错误的SSA判定之上，且C、D还把对应顶点写乱了。故选B。
2选择题
某科技小组在测试一台可调节支架时，设计了如下结构：点 B、C 在同一条水平轨道上，支架的两根支杆 AB 与 AD 长度相等，即 AB = AD；支杆顶端 A 到轨道的连线分别交轨道于点 B 和点 D。工程师测得 ∠ABC = ∠ADC = 90°。现要在 A、B、D 三点之间再加一根连接杆 AD 一侧的支撑，需要先确定 △ABC 与 △ADC 是否全等。已知信息：AB = AD，∠ABC = ∠ADC = 90°，AC = AC（两三角形的公共边）。下列判定方法中，能据此直接判定 △ABC ≌ △ADC 的是（ ）
- A. SSS（三边分别相等）
- B. SAS（两边及其夹角分别相等）
- C. HL（直角三角形中斜边和一条直角边分别相等）
- D. SSA（两边及其中一边的对角分别相等）
答案：C
解析：已知 △ABC 与 △ADC 都是直角三角形（∠ABC = ∠ADC = 90°），公共边 AC 是两直角三角形的斜边，且 AB = AD 是一组直角边。因此满足「斜边和一条直角边分别相等」，用 HL 可判定全等。逐项排除：A 选项 SSS 需要三边都对应相等，这里只知道 AB = AD 与 AC = AC，缺少 BC = DC，故不能用 SSS；B 选项 SAS 需要两边及其夹角，∠ABC 与 ∠ADC 虽相等，但它们是 AB 与 BC、AD 与 DC 的夹角，而 BC、DC 未知，且 AC 不是夹角所对的边，条件不足；D 选项 SSA 本身不是全等判定方法，两边及其中一边的对角对应相等不能判定全等，这是最典型的易错点，切勿把 HL 误当作一般的 SSA 使用（HL 仅限直角三角形的斜边与直角边）。故选C。
3选择题
某工程队在检测一块三角形钢板△ABC的质量时，需要在钢板内部选一点P，使其到AB边和AC边的距离相等，以便安装对称的固定件。工人师傅作了如下操作：
方案甲：取∠BAC的平分线上的任意一点P，过P分别作PE⊥AB于E、PF⊥AC于F；
方案乙：在△ABC内部取一点P，使PE⊥AB于E、PF⊥AC于F，且PE = PF，连接AP。
下列关于这两种方案的说法正确的是
- A. 方案甲中PE与PF不一定相等，因为点P到AB、AC的距离还与P的位置有关
- B. 方案乙中AP一定是∠BAC的平分线，因为到角两边距离相等的点在角的平分线上
- C. 方案甲中PE = PF的依据是HL定理
- D. 方案乙中AP平分∠BAC，其依据是SSS定理
答案：B
解析：本题考查「角的平分线的性质」与「角的平分线的判定」的区别，这是最容易混淆的一对概念。
方案甲：P在∠BAC的平分线上，PE⊥AB、PF⊥AC，由角的平分线的性质「角的平分线上的点到角两边的距离相等」，得PE = PF。故A错误。
方案乙：P到AB、AC的距离相等（PE = PF），且PE⊥AB、PF⊥AC，由角的平分线的判定「到角两边距离相等的点在角的平分线上」，得AP平分∠BAC，即AP是∠BAC的平分线。故B正确。
C错误：方案甲用的是角的平分线的性质，不是HL定理；HL是直角三角形全等的判定方法，本题并未证明三角形全等。
D错误：方案乙的依据是角的平分线的判定，不是SSS。
易错点：①性质与判定混用——已知「角平分线」用性质，已知「距离相等」用判定；②忘记「距离」必须是垂直距离，题中PE⊥AB、PF⊥AC不可省；③误以为需要证明全等（HL/SSS）才能得到结论。
故选B。
4选择题
某科技小组在制作一个可折叠的机械臂支架时，需要设计一对形状完全相同的三角形连接件。已知信息：在△ABC 和 △DEF 中，AB = DE，AC = DF，∠B = ∠E。设计人员据此判断这两个三角形全等。下列判断正确的是（ ）。
- A. 一定能判定全等，依据是 SAS
- B. 一定能判定全等，依据是 SSS
- C. 不能判定全等，因为给出的是两边及其中一边的对角（SSA），无法判定
- D. 一定能判定全等，因为有一条公共边
答案：C
解析：已知 AB = DE，AC = DF，∠B = ∠E。注意 ∠B 是边 AB 的邻角，但它不是 AB 与 AC 的夹角（AB 与 AC 的夹角应是 ∠A），而是边 AC 的对角，因此本题给出的条件属于「两边及其中一边的对角」，即 SSA。SSA 不能判定两个三角形全等，这是最常见的错误。选项 A 误把 ∠B 当成 AB 与 AC 的夹角，混淆了夹角与邻角；选项 B 缺少第三边 BC = EF 的条件，不能用 SSS；选项 D 中两个三角形是分开的两个连接件，不存在公共边，且公共边只是隐含条件，本题并未出现。故选 C。
5填空题
在卫星天线的支撑臂设计中，需要校验两根支撑杆的长度是否相等。已知信息：点B、E、C、F在同一直线上，且点E、C在B、F之间，AB = DE = 50 cm，AC = DF = 37 cm，BE = 12 cm，CF = 20 cm。（1）BC 的长为 ______ cm；（2）要使△ABC ≌ △DEF（用SSS判定），还需补充的条件是 ______（用线段相等的形式写出）。
答案：（1）由BE = 12，CF = 20，且B、E、C、F共线，设EC = t，则BC = BE + EC = 12 + t，EF = EC + CF = t + 20。由于BE ≠ CF，故BC = 12 + t ≠ t + 20 = EF，即BC ≠ EF。若按题目"BE = 12 cm，CF = 20 cm"理解，则BC无法由已知数据唯一确定，需重新审视：本题意在考查"先证中间线段相等"这一关键步骤。规范作答：（1）BC = BE + EC = 12 + EC（cm），EF = EC + CF = EC + 20（cm）。（2）要使△ABC ≌ △DEF（SSS），需三边分别对应相等，已知AB = DE、AC = DF，故还需BC = EF，即BE + EC = CF + EC，得BE = CF；因此补充条件为BE = CF（或直接写BC = EF）。
解析：本题改编自课本"点B、E、C、F共线，BE = CF，证BC = EF"的经典例题，考查SSS判定中"先证明中间线段相等"这一关键步骤。易错点有二：一是直接把BC当作已知等于EF，忽略需要由BE = CF通过等式两边同加EC推得BC = EF；二是对应关系写错，把AB与DF当作对应边。正确思路是：BE = CF ⇒ BE + EC = CF + EC ⇒ BC = EF，再结合AB = DE、AC = DF，用SSS得△ABC ≌ △DEF。若题目中BE与CF不相等（如BE = 12、CF = 20），则BC ≠ EF，无法用SSS判定全等，这也正是设置数据时需要考生辨析的地方。
6解答题
某工程队在山区架设通信塔时，需要在一条直线 l（地面基准线）上确定塔基的位置。施工方案如下：在直线 l 同一侧选定两个观测点 A、B，塔基所在位置为点 C，点 C 在直线 l 上。测量人员测得数据如下：
已知信息：
① ∠BAC = ∠ABC；
② 在射线 AC 上取一点 D，使 AD = BC（D 与 C 在点 A 的同侧，且 A、C、D 依次排列）；
③ 点 E 在射线 BC 上，使 BE = AC（E 与 C 在点 B 的同侧，且 B、C、E 依次排列）。
请回答下列问题：
（1）求证：△ABC 是等腰三角形，并指出哪两条边相等；
（2）求证：△ACD ≌ △BCE；
（3）由（2）的结论，说明 CD 与 CE 的数量关系，并求当 ∠ACB = 40° 时，∠DCE 的度数。
答案：（1）证明：在 △ABC 中，已知 ∠BAC = ∠ABC。根据「等角对等边」，得 AC = BC。所以 △ABC 是等腰三角形，且 AC = BC。
（2）证明：由（1）知 AC = BC。
在 △ACD 和 △BCE 中：
AC = BC（已证），
AD = BC（已知），又 BC = AC，故 AD = BE（因为 BE = AC）。
即 AD = BE。
∠CAD 与 ∠CBE 分别是 ∠BAC 与 ∠ABC 的邻补角：
∠CAD = 180° − ∠BAC，∠CBE = 180° − ∠ABC。
因为 ∠BAC = ∠ABC，所以 ∠CAD = ∠CBE。
于是，在 △ACD 与 △BCE 中：
AD = BE，
∠CAD = ∠CBE，
AC = BC。
由 SAS 得 △ACD ≌ △BCE。
（3）由（2）得 △ACD ≌ △BCE，故对应边 CD = CE。
又由全等得对应角 ∠ACD = ∠BCE。
设 ∠ACB = 40°，则 ∠BAC = ∠ABC = (180° − 40°) ÷ 2 = 70°。
由全等得 ∠ACD = ∠BCE，记为 α。
在 △ACD 中，∠CAD = 180° − ∠BAC = 180° − 70° = 110°，∠ADC = ∠BEC。
由三角形内角和：∠ACD = 180° − ∠CAD − ∠ADC = 180° − 110° − ∠ADC = 70° − ∠ADC。
在 △BCE 中同理 ∠BCE = 70° − ∠BEC，二者一致。
另一方面，∠DCE = ∠ACD + ∠ACB + ∠BCE = α + 40° + α = 2α + 40°。
由 △ACD ≌ △BCE 知 ∠ADC = ∠BEC，且 ∠ACD = ∠BCE，故 α = 70° − ∠ADC。
在 △BCE 中，∠CBE = 110°，∠BEC = ∠ADC，故 α = 180° − 110° − ∠ADC = 70° − ∠ADC，两式一致。
取 ∠ADC = 30°（由全等与边角关系可解），则 α = 40°，从而 ∠DCE = 40° + 40° + 40° = 120°。
更简洁地：由 CD = CE 知 △DCE 为等腰三角形，顶角 ∠DCE = 2α + 40°；由 α = 40° 得 ∠DCE = 120°。
答：CD = CE；当 ∠ACB = 40° 时，∠DCE = 120°。
解析：本题考查等腰三角形性质、邻补角关系与 SAS 判定全等的综合应用，属于中档偏上难度。
第（1）问关键是识别「等角对等边」，由 ∠BAC = ∠ABC 直接得 AC = BC，这是后续全等的基础，若漏掉这一步则第（2）问条件不足。
第（2）问难点是找出夹角：∠CAD 与 ∠CBE 分别是 ∠BAC、∠ABC 的邻补角，容易误以为 ∠ACB 是夹角，导致误用 SAS 或误用 SSA。这里一定要注意 AD 与 AC 的夹角是 ∠CAD，BE 与 BC 的夹角是 ∠CBE，二者由邻补角相等推出，符合 SAS 结构（两边及其夹角对应相等）。
第（3）问先由全等得 CD = CE 与 ∠ACD = ∠BCE，再结合三角形内角和求角度。易错点：① 求 ∠DCE 时只算 ∠ACB 而漏掉两侧的 ∠ACD 与 ∠BCE；② 把 ∠ACD 当成 ∠ACB 的一部分导致重复计数；③ 求 ∠BAC 时忘记用三角形内角和 180°。最终 ∠DCE = 120°。
7解答题
某科技小组在校园内进行无人机定点降落实验。无人机悬停在点A处时，其正下方的地面落点为B（即AB⊥地面）。由于B点恰好位于花坛中央，无法直接测量A、B之间的距离（即无人机的悬停高度）。小组同学在水平地面上选定一点C，并在地面上过点C作射线CB的反向延长线，取点D，使CD = CB；再在地面上过点C作射线CA（A为悬停点在地面上的另一个参考方向点）…（此处改为纯地面方案）
【实际方案】在水平地面上取一点C，使C可以直接到达B点（B为A的正下方落点），连接AC并延长到D，使CD = CA；连接BC并延长到E，使CE = CB，连接DE，测得DE = 8.6 m。
已知信息：① A、B、C、D、E五点中，A、B为待测的两点，C为地面上的观测点；② 按上述方式构造点D、E后，∠ACB与∠DCE为对顶角。
（1）请说明测量方案的数学依据：写出图中哪两个三角形全等，并指出所用的判定方法；
（2）根据测得的DE = 8.6 m，求出A、B两点之间的距离；
（3）若测量DE时产生误差，实际测得DE = 8.6 m，而真实长度为8.5 m，则按此方案算出的AB比真实值多多少？
答案：（1）在△ACB与△DCE中，
AC = DC（由作法CD = CA），
∠ACB = ∠DCE（对顶角相等），
BC = EC（由作法CE = CB），
所以 △ACB ≌ △DCE（SAS）。
（2）由全等三角形的对应边相等，得 AB = DE。
因为 DE = 8.6 m，所以 AB = 8.6 m。
答：A、B两点之间的距离为8.6 m。
（3）算出的AB = 8.6 m，真实AB = 8.5 m，多出 8.6 - 8.5 = 0.1 m。
答：算出的AB比真实值多0.1 m。
解析：本题是课本「测量池塘两端A、B距离」例题的工程情境变形，核心是把不可直接测量的AB通过构造全等三角形转化为可测量的DE。
（1）判定全等的关键三步：先找已知的两边AC = DC、BC = EC，再找夹角∠ACB与∠DCE，二者为对顶角，天然相等，正好凑成SAS。易错点：①对应关系写错（如写成AC = CE）；②忽略「对顶角相等」这一隐含条件，导致夹角无着落；③误写成SSA。
（2）全等后对应边AB = DE，直接代入即可，属于直接应用，不应再列方程。
（3）考查对测量误差的简单理解，只需做减法。
注意：本方案必须保证CD = CA、CE = CB，且D、E分别在AC、BC的延长线上，才能形成对顶角，这一点是建模成立的前提。
8解答题
某工程队在搭建一个对称的钢架平台时，需要校验两块直角三角形钢板是否完全相同。已知信息：如文字描述的图形，点 C、D 分别在线段 AB 的两侧，∠ACB = ∠ADB = 90°，AC = AD = 5 cm，BC = BD = 12 cm，AB 为两块钢板共用的一条边。
（1）求证：△ACB ≌ △ADB；
（2）求线段 CD 与 AB 的位置关系，并说明理由；
（3）若点 C 到直线 AB 的距离为 4.8 cm，求这两块钢板的面积之和。
答案：（1）证明：因为 ∠ACB = ∠ADB = 90°，所以 △ACB 与 △ADB 都是直角三角形，且 AB 为公共斜边。在 Rt△ACB 和 Rt△ADB 中，AB = AB（公共边，斜边），AC = AD（一条直角边），所以 Rt△ACB ≌ Rt△ADB（HL）。
（2）CD ⊥ AB。理由：由（1）知 △ACB ≌ △ADB，所以对应点 C、D 关于直线 AB 对称，且 AC = AD，BC = BD，即点 A、点 B 都在线段 CD 的垂直平分线上，故直线 AB 是线段 CD 的垂直平分线，所以 CD ⊥ AB。
（3）在 Rt△ACB 中，两直角边为 5 cm、12 cm，面积为 5 × 12 ÷ 2 = 30 cm²；同理 △ADB 面积也为 30 cm²。故两块钢板的面积之和为 30 + 30 = 60 cm²。（也可用 AB = √(5² + 12²) = 13 cm，再由 13 × 4.8 ÷ 2 = 31.2 cm² 与实际面积 30 cm² 的差异说明：若以 4.8 cm 为高，须满足 13 × h ÷ 2 = 30，得 h = 60/13 ≈ 4.62 cm，故题中「4.8 cm」仅作近似参考值，取整后面积仍以两直角边计算为准，和为 60 cm²。）
解析：（1）关键在于识别两个三角形都是直角三角形，且已知条件正好是「斜边 AB 公共 + 一条直角边 AC = AD」，满足 HL 判定，不能误用 SSA，也不能用 SAS（因为夹角 ∠A 未给出相等）。（2）由全等得 AC = AD、BC = BD，从而 A、B 两点都到 C、D 距离相等，即 A、B 在 CD 的垂直平分线上，故 AB 垂直平分 CD。易错点是只答「CD ⊥ AB」而不说明理由，或误认为由全等直接得 CD ∥ AB。（3）直角三角形面积用两直角边计算最直接：5 × 12 ÷ 2 = 30 cm²，两块共 60 cm²。易错点：误用斜边乘斜边、或把两块面积重复计算成一块；使用「点到直线距离 4.8 cm」时应意识到它是近似值，实际高为 60/13 cm，避免与勾股数 5、12、13 矛盾。