1选择题
校运会的接力赛道标志牌是一个等腰三角形（顶角朝上、底边水平）。已知信息：该等腰三角形的顶角为 80°，底边两端点分别为 P、Q，底边 PQ 的中点为 M，顶点为 R。
下列关于该三角形的说法中，正确的是（ ）
- A. 底角为 80°
- B. 线段 RM 是底边 PQ 的垂直平分线上的线段，且 RM ⊥ PQ
- C. RM 只是 PQ 边上的中线，与 PQ 不一定垂直
- D. 该三角形的三个内角都是 60°
答案：B
解析：本题考查等腰三角形的性质辨析，重点区分顶角与底角、以及「三线合一」的含义。
A 选项：顶角 80° 时，底角 = (180° - 80°) ÷ 2 = 50°，不是 80°，故 A 错误；常见错误是把顶角当底角。
B 选项：RP = RQ（等腰三角形两腰相等），M 是 PQ 中点，由「三线合一」知 RM 既是 PQ 边上的中线，也是 PQ 边上的高，即 RM ⊥ PQ；又因 R 到 P、Q 距离相等（RP = RQ），M 是 PQ 中点且 RM ⊥ PQ，故 RM 所在直线即为线段 PQ 的垂直平分线，B 正确。
C 选项：说 RM 与 PQ 不一定垂直，违背「三线合一」，错误。
D 选项：三个内角都是 60° 是等边三角形的特征，本题顶角为 80°，显然不是等边三角形，错误。
故选 B。
2选择题
学校开展「阳光体育」跳远训练，体育老师在沙坑旁用标杆和绳子摆出两个直角三角形标志区：△ABC 和 △BAD，其中 ∠C = ∠D = 90°，AC = BD = 2 m，AB 为两个三角形的公共边（斜边）。关于这两个直角三角形的全等判定，下列说法正确的是（ ）
- A. 因为两个三角形有一条公共斜边 AB，且 AC = BD，可用 HL 判定 Rt△ABC ≌ Rt△BAD
- B. 因为两个三角形都是直角三角形，且 AC = BD，可用 SSA 判定两个三角形全等
- C. 只要两个三角形都是直角三角形，且各有一条边相等，就一定全等
- D. 因为 ∠C = ∠D = 90°，AC = BD，所以可用 SAS 判定两个三角形全等
答案：A
解析：本题考查直角三角形全等的判定定理 HL 与易混判定的区别。
HL 定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。本题中 AB 为公共斜边（AB = AB），AC = BD 为对应相等的直角边，且 ∠C = ∠D = 90°，满足 HL 的前提，故 Rt△ABC ≌ Rt△BAD，A 正确。
B 错误：SSA 不能判定一般三角形全等；HL 是直角三角形特有的判定，其本质是「斜边 + 直角边」，不是 SSA 的推广，不能混为一谈。
C 错误：仅凭「都是直角三角形 + 一条边相等」不充分，必须是斜边和一条直角边对应相等，缺少对应关系无法判定。
D 错误：SAS 要求两边及其夹角对应相等，本题给出的是直角边 AC = BD 与斜边 AB，夹角并非所给条件对应的夹角（∠C、∠D 不是 AC 与 AB 的夹角），故不能用 SAS。
故选A。
3选择题
为推广健康跑活动，体育老师在跑道边设置了若干标志牌。下列关于这些标志牌形状与相关几何概念的说法中，正确的是（ ）
- A. 正五边形标志牌有 5 条对称轴，它既是轴对称图形，也是中心对称图形
- B. 在 △ABC 中，若 AB = AC，则 BC 边上的高、BC 边上的中线、∠BAC 的平分线互相重合
- C. 三角形的一个外角等于和它相邻的那个内角的补角的两倍
- D. 到 ∠AOB 两边距离相等的点，一定在线段 AB 的垂直平分线上
答案：B
解析：逐项辨析：
A 项：正五边形是轴对称图形，有 5 条对称轴，但正五边形不是中心对称图形（绕中心旋转 180° 后不能与自身重合），故 A 错误。
B 项：这正是等腰三角形的「三线合一」性质——等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，故 B 正确。
C 项：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，也等于 180° 减去与它相邻的内角，但并不是「相邻内角补角的两倍」，该说法无依据，故 C 错误。易错点：把「不相邻的两个内角」误当成「相邻的一个内角」。
D 项：到角两边距离相等的点在角的平分线上（角平分线的判定），而非线段垂直平分线上，这是把「角平分线的判定」与「线段垂直平分线的性质」混为一谈，故 D 错误。
故选 B。
4选择题
学校举行「阳光长跑」，跑道上有一段折线形路线。已知信息：点 A、B、C 在同一直线上，点 D 在直线 AC 的同侧，AD = CD，AB = CB，连结 DB。关于这段路线中的几何关系，下列说法正确的是（ ）
- A. 因为 AD = CD，所以 DB 平分 ∠ADC，这是「等边对等角」的直接应用
- B. 因为 AB = CB，所以点 B 在线段 AC 的垂直平分线上
- C. 只要 AD = CD，就能判定 △ADB ≌ △CDB，依据是 SAS
- D. 若再添加条件 ∠DAB = ∠DCB，则可由 SSS 判定 △ADB ≌ △CDB
答案：B
解析：本题考查轴对称、垂直平分线与全等判定的概念辨析。
A 项：AD = CD 只说明 △ADC 是等腰三角形，DB 是从顶点 D 引向底边 AC 上一点 B 的线段，未必是顶角平分线；只有当 B 是 AC 中点（即 DB 是中线）时，由「三线合一」才能得 DB 平分 ∠ADC。此外「等边对等角」指等边对等角（边相等推出对角相等），并非直接推出角平分，概念张冠李戴。故 A 错。
B 项：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。由 AB = CB，点 B 到 A、C 距离相等，故点 B 在线段 AC 的垂直平分线上。这正是垂直平分线的判定定理，故 B 对。
C 项：只有 AD = CD 一个条件，加上公共边 DB = DB 也只有两个条件，不能判定全等；且 SAS 要求两边的夹角，此处夹角 ∠ADB 与 ∠CDB 并未给出相等。故 C 错。
D 项：由 AD = CD、DB = DB、∠DAB = ∠DCB 得到的是「边边角（SSA）」，SSA 不能判定三角形全等；SSS 需要三组对应边分别相等，题中并未给出 AB = CB 以外的第三组对应边条件被正确对应，故 D 错。
易错点：① 把「三线合一」当成任意线段都适用，忽略其前提是该线为顶角平分线、底边中线或底边高之一；② 混淆「等边对等角」与「等角对等边」；③ 误以为 SSA 能证全等；④ 对应关系写错（如把 AD 与 CB 当对应边）。
故选 B。
5填空题
校运会开幕式上，班级方阵举着一面等腰三角形彩旗（△ABC），彩旗的两腰相等，即 AB = AC，顶角 ∠BAC = 80°。旗杆的挂绳固定在底边 BC 的中点 D 处，且挂绳 AD 与底边 BC 垂直（即 AD ⊥ BC）。请根据以上条件填空：
（1）彩旗的两个底角 ∠B = ∠C = ______°；
（2）根据等腰三角形「三线合一」的性质，AD 同时也是 ∠BAC 的平分线，所以 ∠BAD = ∠CAD = ______°；
（3）若 AB = 60 cm，且挂绳上一点 P 到 A、B 两个挂环的距离相等，则点 P 一定在 ______ 上（填「线段 AB 的垂直平分线」或「线段 BC 的垂直平分线」）。
答案：（1）在等腰△ABC 中，AB = AC，由等边对等角得 ∠B = ∠C。又三角形内角和为 180°，故 ∠B = ∠C =（180° − 80°）÷ 2 = 50°。
（2）由等腰三角形三线合一，底边上的高 AD 也是顶角的平分线，故 ∠BAD = ∠CAD = 80° ÷ 2 = 40°。
（3）点 P 到 A、B 两点距离相等，根据垂直平分线的性质（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）及其判定，点 P 在线段 AB 的垂直平分线上。
答案：（1）50；（2）40；（3）线段 AB 的垂直平分线。
解析：本题考查等腰三角形「等边对等角」「三线合一」与线段垂直平分线的概念辨析。
（1）易错：分不清顶角与底角，误用 180° − 80° = 100° 直接当底角，漏除以 2；正确做法是 (180° − 80°) ÷ 2 = 50°。
（2）易错：漏用「三线合一」，以为 AD 只是高不是角平分线，或误以为 ∠BAD = ∠B。三线合一指顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
（3）易错：误答「线段 BC 的垂直平分线」。注意题目条件是 PA = PB，涉及的是点 A、B，故应为线段 AB 的垂直平分线；若 PA = PC 或 PB = PC 才对应其他线段。
6填空题
为增强体质，学校在操场边修建了一条直跑道 l，跑道两侧各设一个饮水点 A、B（A、B 到跑道 l 的距离不相等）。体育老师要在跑道 l 上选一点 P 修建一个自动售卖机，使 P 到 A、B 两个饮水点的距离相等。
已知信息：点 A、点 B 位于直线 l 的同一侧，且 PA = PB 的点 P 在直线 l 上有且只有一个。
（1）点 P 的位置应满足的条件是：点 P 在线段 AB 的______上；
（2）若连结 PA、PB、AB，测得 AB = 20 m，则 PA = PB = 13 m 时，点 P 到线段 AB 中点 M 的距离 PM = ______m；
（3）若把题中「PA = PB」改为「PA ⊥ PB」，则满足条件的点 P 一般有______个（填「0」「1」或「2」）。
答案：（1）垂直平分线；（2）12；（3）2。
解：（1）到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，又点 P 在直线 l 上，故 P 是线段 AB 的垂直平分线与直线 l 的交点，填「垂直平分线」。
（2）设 M 为 AB 中点。由 PM 垂直平分 AB，得 PM ⊥ AB，且 AM = MB = 20÷2 = 10 m。在直角三角形 PMA 中，由勾股定理得 PM² = PA² − AM² = 13² − 10² = 169 − 100 = 69，故 PM = √69 ≈ 8.3 m。
（3）若 PA ⊥ PB，则点 P 在以 AB 为直径的圆上，该圆与直线 l 一般有两个交点，故满足条件的点 P 一般有 2 个。
解析：本题考查线段垂直平分线的性质与判定，是轴对称一章的核心概念。
（1）易错点：把「垂直平分线」误答成「角平分线」或「中线」，混淆三类线段；也有同学只答「AB 的中垂线上」而忘记 P 还须在直线 l 上（题干已给定）。
（2）易错点：① 忘记 PM ⊥ AB，直接把 PM 当成斜边；② 求 AM 时忘记除以 2；③ 误认为 PA = 13 就能推出 PM = 13。正确做法是先由垂直平分线得到 PM ⊥ AB，再用勾股定理。
（3）易错点：把「PA ⊥ PB」与「PA = PB」混为一谈。PA = PB 的点在一条直线（垂直平分线）上，与 l 只有一个交点；PA ⊥ PB 的点在以 AB 为直径的圆上，与直线 l 一般交于两点。此问正是「概念辨析」的落点。
参考数据说明：若取 PM = √69，则 PA = √(10² + 69) = 13，数据自洽。
7解答题
学校运动会的跳高横杆支架可抽象为等腰三角形 ABC，其中 AB = AC，横杆 BC 水平放置。已知信息：AD 是底边 BC 边上的中线，且 BD = 3 m，底边 BC = 6 m，AB = AC = 5 m。
（1）求 ∠B 的度数（用三角函数值表示即可，不必查表）；
（2）某同学说：「因为 AB = AC，所以 AD 既是 BC 边上的中线，也是 BC 边上的高和顶角 ∠BAC 的平分线。」请判断该说法是否正确，并说明理由；
（3）小明说：「若 ∠BAC = 80°，则 ∠B = 50°。」请判断小明的说法是否正确，并写出求 ∠B 的完整过程。
答案：（1）因为 AB = AC，AD 是底边 BC 边上的中线，由等腰三角形「三线合一」可知 AD ⊥ BC，即 △ABD 为直角三角形，且 BD = 3 m，AB = 5 m。
在 Rt△ABD 中，cos∠B = BD/AB = 3/5。
（2）该说法正确。理由：等腰三角形 ABC 中 AB = AC，AD 是底边 BC 边上的中线，由「三线合一」可知，等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线互相重合，故 AD 同时是 BC 边上的高和 ∠BAC 的平分线。
（3）小明的说法正确。因为 AB = AC，所以 △ABC 是等腰三角形，∠B = ∠C（等边对等角）。又三角形内角和为 180°，∠BAC = 80°，所以
∠B = (180° - 80°) ÷ 2 = 50°。
解析：本题考查等腰三角形的两个核心性质：「等边对等角」与「三线合一」，并结合三角函数求角。
（1）易错点：学生容易忽略「AD 是中线 + AB = AC」这一组合可以直接推出 AD ⊥ BC，从而不敢用直角三角形求 cos∠B；计算时注意 BD 是 AB 的邻边，故用 cos 而不是 sin。
（2）易错点：只答「中线与高重合」而漏答「顶角平分线」，或把「三线合一」的前提（等腰三角形、底边上的线段）说错，导致推理不完整。
（3）易错点：把 80° 误当作底角，直接得 80°；正确做法是先辨清 80° 是顶角，再用 (180° - 顶角) ÷ 2 求底角。
8解答题
为增强学生体质，学校在操场修建一处等腰三角形花坛 △ABC 用于课间拉伸练习，其中 AB = AC，∠BAC = 80°。已知信息：点 D 是 BC 的中点，连接 AD；点 P 是线段 AD 上一点（不与 A、D 重合），连接 PB、PC。
（1）求 ∠B 和 ∠C 的度数；
（2）说明 PB = PC 的理由；
（3）若 ∠PBC = 15°，求 ∠BPC 的度数。
答案：（1）因为 AB = AC，所以 △ABC 是等腰三角形，∠B = ∠C（等边对等角）。又 ∠BAC + ∠B + ∠C = 180°，即 80° + 2∠B = 180°，解得 ∠B = ∠C = 50°。
（2）因为 AB = AC，且 D 是 BC 的中点，根据等腰三角形「三线合一」，AD 是底边 BC 的垂直平分线。点 P 在直线 AD 上，由线段垂直平分线的性质（垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）得 PB = PC。
（3）由（2）知 PB = PC，故 △PBC 是等腰三角形，∠PCB = ∠PBC = 15°。在 △PBC 中，∠BPC = 180° - ∠PBC - ∠PCB = 180° - 15° - 15° = 150°。
解析：本题综合考查等腰三角形的「等边对等角」「三线合一」以及线段垂直平分线的性质。
（1）易错点：把顶角 ∠BAC 当成底角，或误用 80°÷2 得底角；应先由内角和 180° 减去顶角再平分。
（2）易错点：直接说「因为 P 在 AD 上所以 PB = PC」而漏掉「AD 是 BC 的垂直平分线」这一步；必须先由 AB = AC 且 D 为 BC 中点推出三线合一，得出 AD ⊥ BC 且平分 BC，再用垂直平分线性质。证明时漏用三线合一是本考点最常见的失分点。
（3）易错点：把 ∠PBC 与 ∠ABC 混淆；由 PB = PC 判定 △PBC 为等腰三角形是关键，注意顶角是 ∠BPC，两底角相等。