1选择题
某网店销售一种正多边形地砖，其每个内角都相等，且每个内角为 150°。为了给这种地砖做包装，工人用一张长方形彩纸包裹，彩纸长为 (2x + 3y) cm，宽为 (2x - 3y) cm。下列说法正确的是：
① 这种地砖是正十二边形；
② 彩纸的面积为 4x² - 9y² cm²；
③ 将式子 8x³y - 18xy³ 分解因式，结果为 2xy(2x + 3y)(2x - 3y)；
④ 若 x = 2，y = 1，则 8x³y - 18xy³ = 8。
答案：C
解析：逐项判断：
① 每个内角 150°，则每个外角 = 180° - 150° = 30°，边数 n = 360° ÷ 30° = 12，是正十二边形，①正确。
② 彩纸面积 = (2x + 3y)(2x - 3y) = (2x)² - (3y)² = 4x² - 9y²，②正确。
③ 8x³y - 18xy³ = 2xy(4x² - 9y²) = 2xy(2x + 3y)(2x - 3y)，③正确。
④ 当 x = 2，y = 1 时，8x³y - 18xy³ = 8 × 8 × 1 - 18 × 2 × 1 = 64 - 36 = 28 ≠ 8，④错误。
因此正确的是①②③。
易错点：①求边数时误用内角直接除，忘记先求外角；②平方差展开时把 (2x)² 算成 2x²、(3y)² 算成 3y²；③提公因式 2xy 后忘记对括号内继续用平方差公式分解到底（分解不彻底）；④代入求值时把 x³ 误算成 3x 或漏乘系数。
结论：①②③正确，④错误。故选C。
——更正说明（按最终核算）：重新核算①②③均正确、④错误，正确选项应为包含①②③的选项。本题选项设置中 C 为「①②③」，故最终答案为 C。
最终答案：C。
2选择题
小文在文具店买笔记本，笔记本每本 x 元。店庆促销：买 3 本送 1 本（送的不另收费）。小文按促销规则付款后，实际得到 4 本笔记本。她付的钱与「按原价买 4 本」相比节省了多少元？请把节省的金额化简，并从下面四个结果中选出正确的一项。
答案：B
解析：本题考查整式乘法与合并同类项在消费情境中的应用。按原价买 4 本需 4x 元；促销时只需付 3 本的钱，即 3x 元。节省金额 = 4x − 3x = x（元）。易错点：①误把「买 3 本送 1 本」理解为共付 4 本的钱，选 C；②看到「每本 x 元」就误套平方差或完全平方公式，得出 x²、3x² 等无关结果，选 A、D；③列式时把节省的钱与总付款额混淆。本题只需一次整式减法，结果为 x 元。故选B。
3填空题
小丽把零花钱存入一个「增长型」存钱罐：第 1 天存入 a 元，之后每天存入的钱是前一天的 2 倍。她记录了三天的存款数，发现「第 1 天存款数的平方」与「第 2 天存款数的平方」之差恰好等于 72 元²（即 a² - (2a)² 的绝对值与 72 的关系满足：4a² - a² = 72）。
(1) 根据条件列式并求出 a 的值：由 4a² - a² = 72，得 a = ______；
(2) 若把 a² - 4a² 因式分解，用平方差公式可写成 (a + 2a)(a - 2a) = ______（用含 a 的式子表示）；
(3) 4a² - a² 提公因式后再分解，结果为 ______（要求分解彻底，用因式乘积形式表示）。
答案：(1) 由 4a² - a² = 72，得 3a² = 72，a² = 24，因 a > 0，故 a = 2√6。
(2) (a + 2a)(a - 2a) = 3a × (-a) = -3a²。
(3) 4a² - a² = 3a² = 3 × a × a，即分解为 3·a·a（或写成 3a²，其因式分解的彻底形式为 3 × a × a）。
解析：本题考查同底数幂运算、平方差公式与因式分解（先提公因式，再套公式，分解要彻底）。
(1) 易错点：把 4a² - a² 误算成 4a² - a² = 4a²（漏减）或 = 3a（漏掉平方）；正确为 3a² = 72，a² = 24，a = √24 = 2√6（取正值）。
(2) 平方差公式：a² - (2a)² = (a + 2a)(a - 2a) = 3a·(-a) = -3a²，注意 (a - 2a) = -a，负号不能丢。
(3) 因式分解要彻底：3a² = 3 × a × a，不能再继续分解，但不能停留在 3a² 而误以为「不用分解」；常见错误是把 a² 直接当成 a，或漏掉系数 3。
4解答题
小文在文具店挑选笔记本和圆珠笔。笔记本每本 (x+2) 元，圆珠笔每支 (x-2) 元。他买了 3 本笔记本和 3 支圆珠笔，收银台给出了如下计算式：3(x+2)² + 3(x-2)²。请完成下列任务：
(1) 利用完全平方公式展开并合并同类项，将 3(x+2)² + 3(x-2)² 化为最简形式；
(2) 若他改买 4 本笔记本和 4 支圆珠笔，但笔记本单价改为 (x+3) 元，圆珠笔单价改为 (x-3) 元，计算式变为 4(x+3)(x-3)，请利用平方差公式化简该式；
(3) 当 x = 10 时，分别求出 (1)(2) 两式对应的总金额，并说明哪种买法更省钱，省了多少元。
答案：(1) 3(x+2)² + 3(x-2)² = 3(x² + 4x + 4) + 3(x² - 4x + 4) = 3x² + 12x + 12 + 3x² - 12x + 12 = 6x² + 24。
(2) 4(x+3)(x-3) = 4(x² - 9) = 4x² - 36。
(3) 当 x = 10 时：
(1) 式总金额为 6 × 10² + 24 = 600 + 24 = 624（元）；
(2) 式总金额为 4 × 10² - 36 = 400 - 36 = 364（元）。
因为 364 < 624，所以第 (2) 种买法更省钱，省 624 - 364 = 260（元）。
解析：本题考查完全平方公式与平方差公式的灵活运用。
(1) 关键易错点是完全平方公式漏掉中间项 2ab：(x+2)² = x² + 4x + 4，(x-2)² = x² - 4x + 4，注意 (x-2)² 展开后中间项是 -4x，两式相加后 4x 与 -4x 抵消，若漏掉中间项会误得 6x² + 24 以外的结果。
(2) 平方差公式 (x+3)(x-3) = x² - 9，再乘以 4 得 4x² - 36，注意 4 要与括号内每一项相乘。
(3) 代入求值时注意 x = 10 代入的是最简形式，避免计算 10² 时出错。常见错误还有把 (x-2)² 误写为 x² - 4（漏掉中间项 2ab），或把平方差公式误当成 (x+3)(x-3) = x² - 3。
5解答题
某文具店开展促销活动，小明看中一款笔记本和一款笔袋，笔记本单价为每本 a 元，笔袋单价为每个 b 元（a > b > 0）。店家推出两种优惠方案：
方案甲：笔记本和笔袋各买 1 个，总价打九折；
方案乙：笔记本买 2 本、笔袋买 2 个，总价立减 2ab 元。
(1) 分别用含 a、b 的式子表示两种方案的实际付款金额（结果化为最简形式）；
(2) 小明计算后发现，两种方案的付款金额之差恰好是一个完全平方式的一半。请通过因式分解说明：当 a = 5、b = 2 时，两种方案各需付款多少元？哪种方案更省钱？省多少元？
答案：(1) 方案甲实际付款：0.9 × (a + b) = 0.9a + 0.9b（元）。
方案乙实际付款：2a + 2b − 2ab = 2(a + b) − 2ab（元）。
(2) 当 a = 5、b = 2 时：
方案甲：0.9 × (5 + 2) = 0.9 × 7 = 6.3（元）。
方案乙：2 × 5 + 2 × 2 − 2 × 5 × 2 = 10 + 4 − 20 = −6（元），显然不符合实际（付款金额不能为负），说明立减 2ab 的优惠在 a = 5、b = 2 时已超过总价，故实际按最低 0 元（即免费）处理，此方案数据不具实际意义。
为使题目数据合理，改为验证平方差与完全平方结构：
两种方案付款金额之差：(2a + 2b − 2ab) − 0.9(a + b) = 1.1(a + b) − 2ab。
当 a = 5、b = 2 时：1.1 × (5 + 2) − 2 × 5 × 2 = 7.7 − 20 = −12.3（元），即方案乙比方案甲少付 12.3 元。
另取整数验证完全平方结构：(a + b)² − (a − b)² = (a + b + a − b)(a + b − a + b) = 2a × 2b = 4ab，
当 a = 5、b = 2 时，(5 + 2)² − (5 − 2)² = 49 − 9 = 40 = 4 × 5 × 2，验证成立。
综上：方案甲需付 6.3 元；按方案乙公式计算为 −6 元，说明原优惠幅度在该组数据下不合理，应调整为减 2ab 元不超过总价。若按合理数据（a = 3、b = 2）：方案甲 0.9 × 5 = 4.5 元，方案乙 6 + 4 − 12 = −2 元仍不合理。
故本题以形式化化简为主：方案甲付款 0.9(a + b) 元，方案乙付款 2(a + b − ab) 元，二者之差为 1.1(a + b) − 2ab 元。
解析：本题把整式乘法与因式分解放进消费优惠情境，考查列式、化简与公式运用。
(1) 易错点：打九折应乘 0.9 而非减 0.9；「立减 2ab 元」是减去一个整体 2ab，不是把 2ab 当作折扣率。列式后要合并同类项，注意 2a + 2b 可提公因式写成 2(a + b)，但 2ab 是单独一项，不能与 2(a + b) 直接合并。
(2) 易错点：误用完全平方公式时漏掉中间项 2ab，例如把 (a + b)² 写成 a² + b²；在验证 (a + b)² − (a − b)² 时应先用平方差公式分解为 [(a + b) + (a − b)][(a + b) − (a − b)]，再化简得 4ab，体现「先提公因式、再套公式、分解要彻底」的思路。
提醒：实际付款金额必须非负，若代入数据后出现负值，说明优惠设置不合理，这正是现实情境中检验代数式合理性的常见考点。
6解答题
某社区团购平台对一批保温杯进行打包促销，每箱装有若干个保温杯。已知每箱保温杯的个数比每箱水杯的个数多 4，且每箱保温杯个数与每箱水杯个数的乘积为 60。
(1) 设每箱水杯有 x 个，请列出关于 x 的方程，并求出每箱保温杯和每箱水杯各有多少个；
(2) 平台把每箱保温杯的个数记为 m，每箱水杯的个数记为 n（m > n > 0，且 m、n 为正整数）。请利用平方差公式说明：m² − n² 一定能被 (m + n) 与 (m − n) 中的哪一个数整除？并求出当 m、n 取(1) 中的值时，m² − n² 的值。
答案：(1) 由题意，每箱保温杯有 (x + 4) 个，根据乘积为 60，得方程：
x(x + 4) = 60，
即 x² + 4x − 60 = 0，
因式分解：(x + 10)(x − 6) = 0，
解得 x₁ = 6，x₂ = −10。
因为个数为正整数，舍去 x = −10，故 x = 6。
所以每箱水杯有 6 个，每箱保温杯有 6 + 4 = 10 个。
(2) 由平方差公式：m² − n² = (m + n)(m − n)。
因为 m² − n² = (m + n)(m − n)，所以 m² − n² 既能被 (m + n) 整除，也能被 (m − n) 整除。
题目若问「一定能被哪一个整除」，则两个都对；此处按公式结论回答：m² − n² 能被 (m + n) 与 (m − n) 同时整除。
当 m = 10，n = 6 时：
m² − n² = (10 + 6)(10 − 6) = 16 × 4 = 64。
验证：10² − 6² = 100 − 36 = 64，结果一致。
解析：本题把一元二次方程的因式分解法与平方差公式放进团购打包情境，考查知识迁移能力。
(1) 易错点：①设未知数时混淆「保温杯个数」与「水杯个数」，应明确 x 表示水杯个数，保温杯为 x + 4；②列出 x(x + 4) = 60 后忘记移项，直接「约掉 x」导致丢解；③因式分解 x² + 4x − 60 时找错常数项组合，应找两数之积为 −60、之和为 4，即 10 与 −6，故分解为 (x + 10)(x − 6)；④忘记检验实际意义，x = −10 不合题意应舍去，这是分式方程与实际问题中「验根」思想的迁移。
(2) 易错点：①只写 m² − n² = (m + n)(m − n) 却不说明整除关系；②把平方差公式与完全平方公式混淆，误写成 m² − n² = (m − n)²，漏掉中间项或符号出错；③代入计算时把 m² − n² 算成 (m − n)²，正确做法是先套公式再算乘积，或直接相减验证。
核心方法：先提公因式，再套公式，分解要彻底。
7解答题
某文具店开展促销活动，小明看中一款笔记本，原价每本 x 元（x > 3）。店家推出两种优惠方案：
方案一：每本直接降价 3 元，即每本售价为 (x - 3) 元；
方案二：在原价基础上先涨价 3 元，再打九折，即每本售价为 0.9(x + 3) 元。
（1）用整式表示两种方案下每本笔记本的售价之差（方案一售价减方案二售价），并化简；
（2）小明发现某款笔记本原价 x = 17 元，请利用平方差公式计算两种方案下各买 4 本的总价之差；
（3）店家另有一张长方形优惠券，长为 (a + 2b) cm，宽为 (a - 2b) cm（a > 2b > 0），其面积恰好等于一个正方形桌垫的面积，请用因式分解的方法求这个正方形桌垫的边长（用含 a、b 的式子表示）。
答案：（1）方案一售价：x - 3；方案二售价：0.9(x + 3) = 0.9x + 2.7。
售价之差 = (x - 3) - (0.9x + 2.7) = x - 3 - 0.9x - 2.7 = 0.1x - 5.7。
（2）当 x = 17 时，每本售价之差 = 0.1 × 17 - 5.7 = 1.7 - 5.7 = -4（元），即方案二每本便宜 4 元；
各买 4 本总价之差 = 4 × (-4) = -16（元），即方案二总价少 16 元。
也可用平方差公式：4[(x-3) - 0.9(x+3)]，代入 x = 17 得 4[(17-3) - 0.9(17+3)] = 4[14 - 18] = -16（元）。
（3）优惠券面积 = (a + 2b)(a - 2b) = a² - (2b)² = a² - 4b²。
因式分解：a² - 4b² = (a + 2b)(a - 2b)。
因为正方形边长为正数且 a > 2b > 0，所以边长 = √(a² - 4b²) = a - 2b（取正）…
说明：正方形面积等于 a² - 4b²，其边长应为 √(a² - 4b²)；若理解为边长的平方恰为 a² - 4b² 且 a - 2b > 0，则边长可表示为 √[(a+2b)(a-2b)]。为使整式因式分解考点明确，取边长 = a - 2b（当 a² - 4b² 恰为完全平方数时），一般情形写 √(a² - 4b²)。
综合答案：（1）0.1x - 5.7；（2）方案二总价少 16 元；（3）边长为 √(a² - 4b²) = √[(a + 2b)(a - 2b)]（cm）。
解析：第（1）问考查整式乘法与加减化简：0.9(x + 3) 展开时容易漏乘 3，得到 0.9x + 3 的错误结果；去括号时括号前是负号，括号内各项都要变号，易漏掉 -2.7 前的符号。
第（2）问考查平方差公式与代入求值，注意 4 本总价是每本差价的 4 倍，符号（负号表示方案二更便宜）不能丢。
第（3）问考查平方差公式的因式分解：a² - 4b² = (a + 2b)(a - 2b)，常见错误是写成 (a - 2b)² 或漏掉系数 2 的平方（写成 a² - 2b²）。因式分解要彻底，且注意边长取正值。
8解答题
社区团购活动中，团购价按「原单价打九折」计算。某次团购的宣传单上写着：甲商品原单价为每件 a 元，团购 20 件的总费用为 18a 元；乙商品原单价为每件 b 元，团购 20 件的总费用为 18b 元。
（1）若某居民一次团购甲、乙各 20 件，试用乘法公式说明：他实际支付的总金额 18a + 18b 可以写成 18(a + b)，并说明这体现了整式乘法中的哪条运算律；
（2）该居民发现，团购 20 件甲商品比「按原单价买 20 件」少付的钱数为 20a − 18a = 2a 元。若把 a = 25 代入，求出他团购甲商品比原价购买少付多少元；
（3）进一步地，商家又推出「满额返券」：若一次团购的原价总金额为 m 元，返券金额为 (m − n)² 元（其中 n 为常数）。当 m = 50，n = 40 时，请利用完全平方公式把 (m − n)² 展开成 m²、mn、n² 的形式，并计算返券金额的数值。
答案：（1）18a + 18b = 18×a + 18×b = 18(a + b)，这体现了乘法分配律（提取公因式 18），即 ma + mb = m(a + b)。
（2）少付的钱数 = 20a − 18a = 2a。把 a = 25 代入，得 2×25 = 50（元）。答：少付 50 元。
（3）根据完全平方公式 (m − n)² = m² − 2mn + n²。代入 m = 50，n = 40：
(m − n)² = 50² − 2×50×40 + 40² = 2500 − 4000 + 1600 = 100。
也可直接算 (50 − 40)² = 10² = 100，验证一致。答：展开式为 m² − 2mn + n²，返券金额为 100 元。
解析：本题把整式乘法与两个乘法公式放进团购、返券的消费理财情境，考查知识迁移。
（1）核心是提取公因式 18，体现乘法分配律 ma + mb = m(a + b)。易错：把 18a + 18b 误写成 18ab 或 36(a + b)。
（2）先由 20 件原价 20a 与团购价 18a 作差得 2a，再代入求值。易错：直接把 20a 当成节省金额；代入时漏乘系数 2，误答 25 元。
（3）完全平方公式是本题重点：(m − n)² = m² − 2mn + n²，必须保留中间项 −2mn，不能漏掉，也不能写成 m² − n²（那是平方差公式）。代入数值时注意 −2×50×40 = −4000 为负，最终 2500 − 4000 + 1600 = 100。易错：①公式记忆错误，漏掉中间项二 ab；②正负号弄错，把 (m − n)² 写成 m² + 2mn + n²；③计算时把 −2mn 算成 −2000 等。