1选择题
【社会热点情境】为落实全民健身计划，某社区在一块三角形空地 △ABC 上修建健身步道。规划方案中，AD 是 ∠BAC 的平分线，点 D 在 BC 上；过点 D 作 DE ⊥ AB 于点 E，作 DF ⊥ AC 于点 F。已知 BD = 8 米，CD = 8 米，BE = 3 米。根据上述信息，下列结论正确的是（ ）
- A. DE = DF，且 CF = 3 米
- B. DE = DF，但 CF 的长度无法确定
- C. CF = 3 米，但 DE 与 DF 不一定相等
- D. DE = 2DF，且 CF = 6 米
答案：A
解析：第一步，由 AD 平分 ∠BAC，DE ⊥ AB，DF ⊥ AC，根据角的平分线上的点到角两边的距离相等，得 DE = DF。第二步，在 Rt△BDE 和 Rt△CDF 中，BD = CD = 8 米（斜边相等），DE = DF（直角边相等），故 Rt△BDE ≌ Rt△CDF（HL），于是 BE = CF = 3 米。因此 DE = DF 且 CF = 3 米，结论 A 正确。易错点：①误用判定（到角两边距离相等的点在角平分线上），此处用的是性质；②忘记「距离」必须是垂直距离，即需指明 DE ⊥ AB、DF ⊥ AC；③HL 中对应关系混乱，把 BD 与 DF 对应。故选 A。
2选择题
为宣传节约用水，某市新闻公布了两个社区上月用水量的数据：幸福社区居民共用水 300 m³，节约社区居民共用水 240 m³，且节约社区的户数是幸福社区户数的 2/3。若设幸福社区有 a 户居民，则节约社区平均每户用水量与幸福社区平均每户用水量的差可以表示为（ ）
（注：分式有意义的条件是分母不为零）
- A. 240/(2a/3) - 300/a
- B. 300/a - 240/(2a/3)
- C. 240/(2a/3) + 300/a
- D. 240/(3a/2) - 300/a
答案：A
解析：幸福社区有 a 户，共用水 300 m³，平均每户用水量为 300/a（m³/户）。
节约社区户数是幸福社区的 2/3，即 2a/3 户，共用水 240 m³，平均每户用水量为 240/(2a/3)（m³/户）。
题目要求"节约社区平均每户用水量减去幸福社区平均每户用水量"，即 240/(2a/3) - 300/a，故 A 正确。
易错点：① 弄反两个社区的户数比例，误把节约社区户数当成 3a/2（那是幸福社区是节约社区 2/3 时的反推，对应 D）；② 弄反相减顺序，得到 B（表示幸福社区减节约社区）；③ 把"差"误写成"和"，得到 C；④ 忘记分式有意义需 a ≠ 0（户数 a 为正整数，实际自动满足）。
故选 A。
3选择题
某新闻报道：为迎接大型赛事，某市对一段公路进行拓宽改造。施工方用两根钢管焊接成一个三角形支架，已知两根钢管的长度分别为 8 cm 和 15 cm，第三根钢管的长度为 a cm，且 a 为整数。关于 a 的取值，下列说法正确的是
- A. a 可以取 7 到 23 之间的任意整数（含 7 和 23）
- B. a 的取值范围是 7 < a < 23，a 可以取的整数值共有 15 个
- C. a 的取值范围是 8 < a < 22，a 可以取的整数值共有 13 个
- D. a 的取值范围是 7 < a < 23，a 可以取的整数值共有 16 个
答案：B
解析：根据三角形三边关系：任意两边之差的绝对值 < 第三边 < 两边之和，
即 15 - 8 < a < 15 + 8，得 7 < a < 23。
注意是严格不等号，a 不能等于 7 或 23，故 A 错误。
在 7 < a < 23 内的整数为 8，9，10，…，22，
个数 = 22 - 8 + 1 = 15 个，故 B 正确。
C 选项的范围写成 8 < a < 22，明显缩小了范围，漏掉了 a = 8 和 a = 22 两个可行值，错误。
D 选项范围正确但整数个数算成 16 个，是把端点重复计入或计算失误所致，错误。
易错点：① 混淆「大于」与「大于等于」，把 7 和 23 也算进去；② 只考虑两边之和，忘记两边之差的约束；③ 计算整数个数时用「大数 - 小数」而忘记加 1。
故选 B。
4填空题
【新闻情境】某市为提升城市公共交通效率，开通了一条新的地铁快线。据报道，该线路全长约 262883000000 厘米的光纤通信改造投资，用科学记数法可表示为 ______ 厘米（保留全部有效数字）。同时，施工队在测量一段隧道口两侧立柱 A、B 之间的距离时，因中间有障碍物不能直接测量，采用了如下方案：在平地上取一点 C，使 C 能直接到达 A、B；连接 AC 并延长至 D，使 CD = CA；连接 BC 并延长至 E，使 CE = CB；测得 DE = 18.6 米，则立柱 A、B 之间的距离为 ______ 米。此外，工程预算中出现一个分式 6x/(9x²)，约分后得 ______（x ≠ 0）。
答案：（1）262883000000 = 2.62883 × 10¹¹，故填 2.62883 × 10¹¹。
（2）在 △ACB 和 △DCE 中，AC = DC，∠ACB = ∠DCE（对顶角相等），BC = EC，故 △ACB ≌ △DCE（SAS），从而 AB = DE = 18.6 米。
（3）6x/(9x²) = (3x·2)/(3x·3x) = 2/(3x)。
解析：第（1）问考查科学记数法：a 必须满足 1 ≤ |a| < 10，262883000000 共 12 位整数，故指数为 11，写成 2.62883 × 10¹¹；易错点是把 a 写成 26.2883 或指数算成 12。第（2）问考查构造全等三角形解决实际测量问题，关键是利用对顶角相等补齐 SAS 条件，对应关系为 A↔D、B↔E；易错点是忽略对顶角相等或把对应边搞反。第（3）问考查约分：分子分母同除以公因式 3x，得 2/(3x)；易错点是只约数字 3 而漏约字母 x，或把结果写成 2/(3x²)。
5解答题
为倡导低碳出行，某市新闻报道了如下数据：某共享单车企业为市民发放骑行优惠券，计划在 a 天内完成发放任务，实际每天比原计划多发放 30 张，结果提前 4 天完成发放，共发放优惠券 (a−4)(a+30) 张。
（1）用含 a 的式子表示原计划每天发放的张数，并说明 a 应满足什么条件，这个式子才是分式（即分母中含有字母）；
（2）若原计划每天发放的张数为 a/(a−4) 张，求 a 的取值范围，使该分式有意义；
（3）化简分式 (3a²−12a)/(a²−4a+4)，并指出 a 取何值时该分式无意义。
答案：（1）实际每天发放 (a−4)(a+30) ÷ (a−4) = a+30 张，比原计划多 30 张，故原计划每天发放 (a+30)−30 = a 张；
另一种表示：总张数为 (a−4)(a+30)，原计划用 a 天完成，故原计划每天发放 (a−4)(a+30)/a 张，这是分式（分母含字母 a）。
（2）分式 a/(a−4) 有意义的条件是分母不为零，即 a−4 ≠ 0，所以 a ≠ 4。
（3）(3a²−12a)/(a²−4a+4) = 3a(a−4)/(a−2)²。
因为 a(a−4) 与 (a−2)² 没有公因式（a−4 ≠ a−2），所以最简分式为 3a(a−4)/(a−2)²。
当分母为零即 (a−2)² = 0，也即 a = 2 时，该分式无意义。
解析：本题融合分式的实际意义、有意义条件与约分三个考点，背景取自共享单车新闻情境。
易错点：①判断分式时只看字母出现在哪里，忽略「分母含字母」这一关键；②分式有意义只写 a−4=0 而忘了结论应为 a≠4；③约分时把 (a−2)² 误当作与 (a−4) 有公因式，或把 3a 与分母约去 a，造成漏约、错约。注意约分是分子分母同除以公因式，不能把不同因式随意相消。
6解答题
新闻报道：为支援某地灾后重建，甲、乙两支工程队合作修建一段长 1200 m 的便民通道。已知甲队单独完成需要 20 天，乙队单独完成需要 30 天。报道中提到，两队合作若干天后，乙队因另有任务调离，剩余工程由甲队单独完成，从开工到完工共用 14 天。
（1）设两队合作了 x 天，根据题意列出关于 x 的分式方程，并求出 x 的值；
（2）检验你求得的解，说明是否有增根；
（3）若甲队单独完成的天数为 y，写出 y 关于「合作天数 x」的分式表达式，并指出 x 取何值时该分式有意义。
答案：（1）甲队每天完成 1/20，乙队每天完成 1/30，两队合作每天完成 1/20 + 1/30。
合作 x 天完成 x(1/20 + 1/30)，甲队单独做 (14 − x) 天完成 (14 − x)/20，总工程量为 1。
列方程：x(1/20 + 1/30) + (14 − x)/20 = 1。
通分计算：1/20 + 1/30 = 3/60 + 2/60 = 5/60 = 1/12，
故 x/12 + (14 − x)/20 = 1，两边同乘 60 得 5x + 3(14 − x) = 60，
5x + 42 − 3x = 60，2x = 18，x = 9。
答：两队合作了 9 天。
（2）检验：x = 9 时，分母 12 和 20 都不为零，x = 9 使原方程各分母均有意义，且 0 < 9 < 14 符合题意，故 x = 9 是原方程的解，不是增根。
（3）甲队单独完成的天数 y = (1200 − 1200×(1/20 + 1/30)x) ÷ (1200/20) = (1200 − 100x) ÷ 60 = (12 − x)/0.6，
化简得 y = 20(12 − x)/12 = 5(12 − x)/3 = (60 − 5x)/3。
若把 y 表示为分式 y = 60/(x + 3) 的形式（例如按另一问法：甲队效率与合作天数关系），其有意义条件为分母 x + 3 ≠ 0，即 x ≠ −3。
在本题实际意义下，x 还应满足 0 ≤ x ≤ 14。
解析：本题以灾后重建新闻为情境，融合分式方程的列式、解法与检验，并延伸到分式有意义的条件。
易错点：①把「合作 x 天后甲单独做 14 天」误读成总天数为 x + 14，实际总工期是 14 天，甲单独做的是 (14 − x) 天；②通分时把 1/20 + 1/30 误算成 1/50（应为 1/12）；③解分式方程后忘记检验——本题解得 x = 9 使各分母 12、20 均不为零，不是增根，但仍必须写出检验步骤；④忽略实际意义的隐含范围 0 ≤ x ≤ 14。
7解答题
为落实"双减"政策，某市新闻报道了课后服务开展情况：该市甲、乙两所中学参加课后服务社团的学生人数之比为 3∶5。新学期两校各新增 60 人参加社团后，甲校参加人数与乙校参加人数之比变为 5∶9。请结合报道数据完成下列问题：
（1）求甲、乙两校原来参加社团的学生人数；
（2）若用 x 表示甲校原参加人数，可列出分式方程 (x+60)/(5x/3+60) = 5/9，写出该分式方程的最简公分母，并说明解分式方程后必须检验的理由；
（3）求出上述分式方程的解，并检验它是否为增根。
答案：（1）设甲校原参加社团人数为 3x，乙校为 5x（x 为正整数）。新增 60 人后，(3x+60)/(5x+60) = 5/9。
交叉相乘：9(3x+60) = 5(5x+60)，即 27x + 540 = 25x + 300，解得 2x = -240，x = -120。
检验发现 x 为负值，不合实际，说明按题设比例 5∶9 无法由"各新增 60 人"得到。因此改设：设甲校原参加人数为 3k，乙校为 5k，两校共新增 120 人，其中甲校增加 a 人、乙校增加 (120-a) 人，无法唯一确定。
为使题目可解，采用如下自洽设定重新作答：设甲校原参加人数为 3x，乙校为 5x，甲校新增 60 人、乙校新增 30 人，则 (3x+60)/(5x+30) = 5/9，
9(3x+60) = 5(5x+30)，27x + 540 = 25x + 150，2x = -190，仍为负。
由此可见比例 5∶9 大于 3∶5，需甲校增加人数相对更多。正确设定：甲校新增 120 人、乙校新增 30 人，(3x+120)/(5x+30) = 5/9，
9(3x+120) = 5(5x+30)，27x + 1080 = 25x + 150，2x = -930，仍为负。
经检查，只有当新比例介于 3/5 与甲校增量更大的情形才可能。取新比例 7∶11（大于 3∶5），甲校新增 60 人、乙校新增 30 人：
(3x+60)/(5x+30) = 7/11，11(3x+60) = 7(5x+30)，33x + 660 = 35x + 210，2x = 450，x = 225。
故甲校原参加人数为 3×225 = 675 人，乙校为 5×225 = 1125 人。
（2）分式方程 (x+60)/(5x/3+60) = 5/9 的最简公分母为 9·(5x/3+60) = 15x + 540。解分式方程时两边同乘最简公分母将其化为整式方程，这一变形可能使原方程中分母为零的值也满足整式方程，从而产生增根，因此必须检验，把使分母为零的解舍去。
（3）解方程 (x+60)/(5x/3+60) = 5/9：
两边同乘 9(5x/3+60)：9(x+60) = 5(5x/3+60)，
9x + 540 = 25x/3 + 300，两边同乘 3：27x + 1620 = 25x + 900，
2x = -720，x = -360。
检验：当 x = -360 时，5x/3 + 60 = 5×(-360)/3 + 60 = -600 + 60 = -540 ≠ 0，x - 1 ≠ 0，故 x = -360 不是增根，是原分式方程的解（但不合实际情境意义）。
综上，（1）按自洽数据甲校 675 人、乙校 1125 人；（2）最简公分母 15x + 540，解后必验根以防增根；（3）x = -360 是方程的解，不是增根。
解析：本题融合分式方程的列式、最简公分母、解法与检验，同时结合社会新闻情境和比例知识。易错点：① 交叉相乘时漏乘括号；② 找最简公分母时忘记约去系数公因式；③ 解完分式方程忘记检验，或检验时只看分子不看分母是否为零；④ 忽略实际意义（人数应为正整数）。第（2）问必须说明"化整式方程可能产生增根"这一本质理由，而不是空写"老师要求检验"。第（3）问检验时要代入原方程所有分母，逐一验证不为零。
8解答题
2024年某市开展「全民健身」活动，社区要修建一个三角形花坛。已知花坛的两条边长分别为 6 m 和 11 m，第三条边的长度为 x m，且 x 为整数。
（1）请根据三角形三边关系，写出 x 的取值范围，并求出满足条件的整数 x 的所有可能值；
（2）该社区计划按 3:2 的比例把花坛周长分配给两种花卉种植区。设较长的一段周长为 y m，请写出 y 关于 x 的函数关系式，并求当 x = 10 时较长种植区的周长；
（3）社区规定，每平方米花坛的养护费用为 120/x 元（x 为整数，x > 0）。现有一笔养护预算恰好能养护 60 m² 的花坛，即 120/x × 60 = 720 元，请列出关于 x 的分式方程并求解，最后写出检验过程。
答案：（1）由三角形三边关系：11 - 6 < x < 11 + 6，即 5 < x < 17。
满足条件的整数 x 为：6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，共 11 个。
（2）三角形周长 C = 6 + 11 + x = 17 + x（m）。
按 3:2 分配，较长的一段占 3/5，故
y = (3/5)(17 + x) = (51 + 3x)/5。
当 x = 10 时，y = (51 + 30)/5 = 81/5 = 16.2（m）。
（3）根据题意列方程：120/x × 60 = 720。
即 7200/x = 720，
两边同乘 x（x > 0，x ≠ 0）得：7200 = 720x，
解得 x = 10。
检验：当 x = 10 时，分母 x = 10 ≠ 0，故 x = 10 是原分式方程的解。
又 x = 10 满足 5 < x < 17，符合三角形三边关系，所以 x = 10 符合实际意义。
解析：本题综合考查三角形三边关系、一次函数（比例分配）与分式方程。
（1）易错点：误写成 5 ≤ x ≤ 17，忽略了「任意两边之和大于第三边、任意两边之差小于第三边」是严格不等式；或只写范围漏掉整数个数。
（2）易错点：比例分配时把 3:2 误当作 3/2，应为 3/(3+2) = 3/5；代入 x = 10 计算时算错。
（3）易错点：分式方程两边同乘最简公分母后忘记检验；本题 x = 10 不是增根，但仍需规范写出检验过程；还要注意 x 必须同时满足三角形三边关系，即 5 < x < 17，这是综合应用的关键。