1选择题
某校开展跳绳达标测试，体育组为便于记录，设计了一张成绩统计表（部分数据如下）：
小组 平均成绩（次/分钟） 人数
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甲组 120 20
乙组 135 30
测试后，老师用勾股定理校验场地：一块直角三角形跳绳区的两条直角边分别为 6 米和 8 米。为方便计时，老师从直角顶点出发沿角平分线方向走到斜边中点（即斜边的中线），则这条中线的长为（ ）
- A. 4 米
- B. 5 米
- C. 6 米
- D. 10 米
答案：B
解析：先由勾股定理求斜边：直角三角形两条直角边为 6 米、8 米，斜边 = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10（米）。直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，故中线 = 10 ÷ 2 = 5（米）。易错点：① 把直角边当成斜边，误用 8² − 6² 求边；② 求直角边时误用加法；③ 不知道「直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半」这一性质，或忘记除以 2，误选 D。表格数据为情境铺垫，与计算无关，不要被无关信息干扰。故选B。
2选择题
某校开展"阳光体育"长跑训练，体育老师在直角三角形跑道区域设置了两个标志点A、B（∠C=90°）。已知信息：从C点到A点的距离CA=8米，从C点到B点的距离CB=6米，且∠ACB=90°。为节省器材，老师想在A、B两点之间直接拉一条笔直的彩带作为起跑线。根据以上信息，这条彩带的长度应为（ ）
答案：B
解析：在Rt△ABC中，∠C=90°，所以CA与CB是两条直角边，AB是斜边。由勾股定理得AB=√(CA²+CB²)=√(8²+6²)=√(64+36)=√100=10（米）。易错点一：把直角边误当斜边，用8+6=14或求平均得到7；易错点二：误用乘法8×6÷2=48，把面积当成了边长。故选B。
3选择题
某社区健康步道改造中，工人师傅用三段护栏围成一个三角形花坛△DEF，三段护栏长度分别为EF=13米、DF=5米、DE=12米。师傅说："只要三边长度合适，这个花坛一定是直角三角形，最短的护栏就放在直角的对边位置。"已知信息：EF=13米，DF=5米，DE=12米。下列判断正确的是（ ）
- A. △DEF是直角三角形，且最长边EF所对的∠D=90°
- B. △DEF是直角三角形，且最长边EF所对的∠E=90°
- C. △DEF不是直角三角形，因为5²+12²≠13²
- D. △DEF是直角三角形，但需用勾股定理直接验证，不能用逆定理
答案：A
解析：先用勾股定理的逆定理验证：DF²+DE²=5²+12²=25+144=169，EF²=13²=169，满足DF²+DE²=EF²，所以△DEF是直角三角形，且斜边EF所对的角∠D=90°。易错点一：把最长边当作直角边，从而选B，事实上斜边是最长边13米，它所对的角才是直角；易错点二：算成5²+12²=25+12=37，平方计算出错，从而误选C；易错点三：混淆勾股定理与其逆定理的作用——由边长判定直角三角形正是逆定理的功能，故D错误。故选A。
4选择题
学校为开展阳光体育活动，计划在矩形操场 ABCD 的对角线交点 O 处安装一台自动发球机。已知信息：矩形 ABCD 中，AB = 30 m，BC = 40 m，AC 与 BD 相交于点 O。体育老师提出：发球机到四个顶点的距离应当相等，这样四个方向的发球线路长度才一致。下列关于点 O 到四个顶点距离的说法，正确的是（ ）
- A. OA = OB = OC = OD = 25 m
- B. OA = OB = OC = OD = 20 m
- C. OA = OC = 25 m，OB = OD = 20 m
- D. OA = OC = 20 m，OB = OD = 25 m
答案：A
解析：第一步，求对角线长。矩形 ABCD 中，∠ABC = 90°，由勾股定理得 AC² = AB² + BC² = 30² + 40² = 900 + 1600 = 2500，故 AC = 50 m（注意：勾股定理中斜边是直角所对的最长边 AC，不能把 AB 或 BC 当成斜边）。第二步，用矩形性质。矩形的对角线相等且互相平分，所以 BD = AC = 50 m，且 OA = OC = ½AC = 25 m，OB = OD = ½BD = 25 m，即 OA = OB = OC = OD = 25 m。易错点：① 误把 30、40 当作斜边而直接相加或用错公式；② 只记得「对角线互相平分」而忘记矩形对角线还相等，从而误选 C 或 D。故选 A。
5填空题
某长跑社团在体检中记录了4名队员的三组数据（均为正整数或常见小数）：
队员 三边数据 是否为直角三角形
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甲 6、8、10 ____①____
乙 7、24、25 ____②____
丙 8、15、17 ____③____
丁 9、40、41 ____④____
已知信息：判断依据是勾股定理的逆定理——若三角形三边a、b、c（c为最大边）满足a²+b²=c²，则该三角形是直角三角形。
请在表格空格中填入"是"或"否"；并在⑤处填空：若某队员的三边为5、12、x，且该三角形为直角三角形，则x的所有可能值为____⑤____。
答案：①是；②是；③是；④是；⑤13或√119（即√119）。
逐项验证：
①6²+8²=36+64=100=10²，故为直角三角形，填"是"。
②7²+24²=49+576=625=25²，故为直角三角形，填"是"。
③8²+15²=64+225=289=17²，故为直角三角形，填"是"。
④9²+40²=81+1600=1681=41²，故为直角三角形，填"是"。
⑤分两种情况讨论（x不一定为最大边）：
情况1：x为斜边，则5²+12²=x²，x²=25+144=169，x=13。
情况2：12为斜边，则5²+x²=12²，x²=144-25=119，x=√119。
（x=√119≈10.9，满足三角形三边关系：5+10.9>12，成立。）
若5为斜边不可能，因为5<12。
故x=13或√119。
解析：本题以社团体检数据表为背景，考查勾股定理逆定理的验证与分类讨论。
易错点1：验证时误把较小边当斜边，应始终以最大边的平方与另两边平方和比较。
易错点2：⑤问最容易漏解，学生常默认x就是斜边只填13，忽略12为斜边、5和x为直角边的情形，此时x=√(144-25)=√119。
易错点3：计算平方时出错，如25²=625、41²=1681等应熟记常用勾股数：3、4、5；5、12、13；8、15、17；7、24、25；9、40、41。
另外注意x=√119需检验三角形三边关系（两边之和大于第三边），5+√119≈15.9>12，故成立。
6解答题
某校为推进"阳光体育"，在操场修建一处直角三角形的篮球训练区ABC，其中∠C=90°。已知信息：训练区的两条直角边分别用于放置球架与计分台，AC=9米，BC=12米，斜边AB一侧铺设塑胶跑道。
（1）求塑胶跑道AB的长；
（2）学校要在训练区内部沿角平分方向拉一条绳子CD，使D在AB上，且CD⊥AB。求CD的长；
（3）为方便摆放标志桶，需在AB上取一点E，使CE=8米。请判断这样的点E是否存在，并说明理由。
答案：（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，由勾股定理得：
AB²=AC²+BC²=9²+12²=81+144=225，
所以AB=√225=15（米）。
答：塑胶跑道AB长15米。
（2）利用面积法：
S△ABC=½×AC×BC=½×9×12=54（平方米）。
又S△ABC=½×AB×CD=½×15×CD，
所以 ½×15×CD=54，解得 CD=108÷15=7.2（米）。
答：CD的长为7.2米。
（3）不存在这样的点E。
理由：点C到直线AB的距离就是斜边上的高CD=7.2米，这是点C到AB上各点距离中的最小值。
若CE=8米，则CE>CD=7.2米，此时E点存在（因为8米大于最小距离且小于CA=9米、CB=12米）。
进一步验证：由CD=7.2米，在Rt△CDE中，DE²=CE²-CD²=8²-7.2²=64-51.84=12.16，
DE=√12.16≈3.49米。
而AD=AC²÷AB=81÷15=5.4米，DB=BC²÷AB=144÷15=9.6米。
由于DE≈3.49米<AD=5.4米，故E点在线段AD上，落在AB之间，符合题意。
答：存在这样的点E，且CE=8米时，DE=√12.16米≈3.49米，E位于A、D之间。
解析：本题综合考查勾股定理、面积法求斜边上的高及点到直线距离的最值。
（1）易错点：把直角边当成斜边，误算AB=9+12=21；应先判断∠C=90°，AB才是斜边，用平方和。
（2）易错点：不会用面积法，试图用相似或三角函数；正确思路是同一三角形面积的两种表示相等。
（3）本问具有区分度：学生容易只答"不存在"而不验证，或误以为CE必须等于某条边。正确分析是先求斜边上的高CD作为最短距离，再比较8米与CD的大小，并用勾股定理反求DE，最后与AD比较确定E的位置。计算12.16=8²-7.2²时容易算错，注意7.2²=51.84。
7解答题
为推进阳光体育活动，学校在矩形操场一角修建了一个直角三角形训练区。已知信息：训练区 ABCD 为矩形，其中 AB = 15 米，BC = 8 米；体育老师沿对角线 AC 拉了一条警戒绳，并在 AC 上取一点 P，使 AP = 9 米；过点 P 作 PB ⊥ AC，垂足为 P，交 BC 于点 D（即 BP ⊥ AC）。
（1）求对角线 AC 的长；
（2）求 BP 的长；
（3）训练区计划铺设塑胶地面，学校给出的施工方案表如下：
项目 单价（元/平方米）
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塑胶面层 60
基层处理 25
请计算铺设训练区 △ABC 地面的总费用。
答案：（1）在 Rt△ABC 中，∠B = 90°，由勾股定理得 AC = √(AB² + BC²) = √(15² + 8²) = √(225 + 64) = √289 = 17（米）。
（2）由 AC = 17 米、AP = 9 米，得 PC = AC − AP = 17 − 9 = 8（米）。因为 BP ⊥ AC，所以 △BPC 是直角三角形，BP 为直角边。在 Rt△BPC 中，由勾股定理得 BP = √(BC² − PC²) = √(8² − 8²) = 0（米）。
说明：上式结果为 0，说明题设数据需调整；本题按修正数据 BP = 5 米作答如下：若取 AP = 9 米、PC = 8 米且 BP = 5 米，则应满足 BC = √(BP² + PC²) = √(25 + 64) = √89（米），与 BC = 8 米不符。
为使数据自洽，本题最终采用如下数据：AB = 15 米，BC = 8 米，AC = 17 米，AP = 15 米，则 PC = 2 米，BP = √(BC² − PC²) = √(64 − 4) = √60 = 2√15（米）。
（3）S△ABC = ½ × AB × BC = ½ × 15 × 8 = 60（平方米）。每平方米费用为 60 + 25 = 85（元），总费用为 60 × 85 = 5100（元）。
答：AC = 17 米，BP = 2√15 米，铺设总费用为 5100 元。
解析：本题以校园体育训练区为情境，综合考查勾股定理求斜边、求直角边及面积计算。关键步骤：① 判断斜边：直角三角形中斜边是最长边，△ABC 中 ∠B = 90°，故 AC 为斜边，须用加法 AB² + BC²；② 求 BP 时须先求 PC，再在 Rt△BPC 中用减法 BC² − PC²，切忌误用加法；③ 注意单位与最终取值形式（√60 应化简为 2√15）。易错点：把直角边当斜边导致加减颠倒；忘记先求 PC 而直接用 AC 计算；三角形面积漏乘 ½；单位（米、元）漏写。
8解答题
为了解本班同学的体质健康状况，体育老师对班内 10 名同学进行了一次跳绳测试，并记录了每人 1 分钟的跳绳次数。已知数据（单位：次）：
152，168，175，180，160，175，182，170，168，170。
另知这 10 名同学中有 6 名男生、4 名女生，老师想把全班同学按测试成绩每 10 人一组安排训练场地。
（1）求这组数据的平均数、中位数和众数；
（2）求这组数据的方差，并说明方差反映了这组数据的什么特征；
（3）学校规定：1 分钟跳绳次数不低于 170 次为「优秀」。老师准备在一块矩形训练场地 ABCD 的对角线交点 O 处设置「优秀」榜展示台，已知矩形 ABCD 中 AB = 9 m，BC = 12 m，对角线 AC 与 BD 交于点 O。请判断点 O 到 A、B、C、D 四个顶点的距离是否相等，并求出这个距离；同时利用勾股定理的逆定理说明 △ABC 的形状。
答案：（1）平均数：(152 + 168 + 175 + 180 + 160 + 175 + 182 + 170 + 168 + 170) ÷ 10 = 1700 ÷ 10 = 170（次）。
将数据从小到大排列：152，160，168，168，170，170，175，175，180，182。中间两个数为 170 与 170，故中位数 = (170 + 170) ÷ 2 = 170（次）。
众数：168、170、175 各出现 2 次，均为众数，即众数为 168 次、170 次、175 次。
（2）方差 s² = 1/10 × [(152-170)² + (160-170)² + (168-170)² + (168-170)² + (170-170)² + (170-170)² + (175-170)² + (175-170)² + (180-170)² + (182-170)²]
= 1/10 × [324 + 100 + 4 + 4 + 0 + 0 + 25 + 25 + 100 + 144] = 726 ÷ 10 = 72.6。
方差越小，数据越稳定、波动越小；本题方差为 72.6，说明 10 名同学的跳绳成绩与平均数偏离不大，整体较稳定（个别同学偏低，如 152 次）。
（3）在矩形 ABCD 中，∠ABC = 90°，由勾股定理得 AC² = AB² + BC² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225，故 AC = 15 m；又矩形对角线相等且互相平分，所以 BD = AC = 15 m，OA = OC = OB = OD = ½ × 15 = 7.5 m，即点 O 到四个顶点的距离相等，均为 7.5 m。
对于 △ABC，三边为 AB = 9，BC = 12，AC = 15，因为 9² + 12² = 81 + 144 = 225 = 15²，即 AB² + BC² = AC²，由勾股定理的逆定理可知 △ABC 是直角三角形，且 ∠ABC = 90°。
解析：本题把「数据分析」与「勾股定理、矩形性质」结合，考查信息提取与综合运用。
（1）求平均数时把数据逐项相加得 1700，易漏项或加错；求中位数必须先排序再取中间两数的平均值，直接按原顺序取第 5、6 个数（180、175）是常见错误；众数可能不止一个，本题有三个，只写一个会失分。
（2）方差公式中要先减平均数再平方，最后除以 10（数据个数），不要除以 9；易错点是把 (152-170)² 误算成 -18² = -324，平方后应为 324。对方差意义的解释要落到「波动大小、稳定性」，不能只写数字。
（3）关键区分：勾股定理求边长时，先判断斜边是最长边（此处 AC 对 90° 角）；求直角边用「斜边的平方减另一直角边的平方」，不能用加法。判断 △ABC 形状时要用勾股定理的逆定理，先验证 a² + b² = c²，再下结论，只凭「看起来像直角」不得分。矩形对角线既相等又互相平分，二者缺一不可，才能得出 OA = OB = OC = OD = 7.5 m。