1选择题
为保护湿地生态，某自然保护区沿湖修建了一个平行四边形形状的观测围栏 ABCD，其中 ∠A = 70°。现要在围栏对角线 AC 与 BD 的交点 O 处安装一台水质监测仪。已知 AC = 28 m，BD = 20 m。则下列结论正确的是（ ）
- A. ∠B = 70°，∠C = 110°，AO = 28 m
- B. ∠B = 110°，∠D = 110°，AO = 14 m，BO = 10 m
- C. ∠B = 110°，∠C = 70°，AO = 14 m，BO = 20 m
- D. ∠B = 70°，∠D = 70°，AO = 10 m，BO = 14 m
答案：B
解析：本题考查平行四边形的性质（对角相等、邻角互补、对角线互相平分）。
第一步，求角：平行四边形对角相等，故 ∠C = ∠A = 70°；邻角互补，故 ∠B = 180° - ∠A = 180° - 70° = 110°，又 ∠D = ∠B = 110°。
第二步，求线段：平行四边形对角线互相平分，故 AO = ½AC = ½ × 28 = 14 m，BO = ½BD = ½ × 20 = 10 m。
易错点：一是把「对角相等」误当作「邻角相等」，错选 A 或 D；二是忘记对角线互相平分，把 AO 当成整条 AC 的长（28 m）或把 BO 当成整条 BD 的长（20 m），导致错选 A 或 C。
综上，∠B = 110°，∠D = 110°，AO = 14 m，BO = 10 m。故选 B。
2选择题
某湿地保护站在一片平坦草地上设立了一个四边形鸟类观测区 ABCD。经测量得到下列四组条件，其中能判定四边形 ABCD 是平行四边形的是（ ）
① AB = 50 m，CD = 50 m，且 AB ∥ CD；
② ∠A = 80°，∠C = 80°，∠B = 100°；
③ 对角线 AC 与 BD 相交于点 O，OA = 12 m，OC = 12 m，OB = 9 m，OD = 9 m；
④ AB ∥ CD，AD = BC。
答案：A
解析：本题考查平行四边形的判定定理，需逐条验证条件是否完整。
① 一组对边平行且相等（AB ∥ CD 且 AB = CD）→ 是平行四边形，正确。
② 由 ∠A = 80°，∠B = 100° 得 ∠A + ∠B = 180°，故 AD ∥ BC；又 ∠A = ∠C = 80°，∠B = ∠D = 360° - 80° - 80° - 100° = 100°，两组对角分别相等 → 是平行四边形，正确。
③ 对角线互相平分（OA = OC = 12 m，OB = OD = 9 m）→ 是平行四边形，正确。
④ AB ∥ CD 且 AD = BC，此时可能是平行四边形，也可能是等腰梯形（一组对边平行、另一组对边相等但不平行），条件不足，不能判定，错误。
易错点：一是误以为「一组对边平行、另一组对边相等」就能判定平行四边形，这是判定条件记不全的典型错误，导致错选含④的选项；二是条件②中未通过邻角互补推出对边平行，误判为条件不足。
综上，能判定的是①②③。故选 A。
3选择题
某湿地保护区为监测一块四边形水域 ABCD 的面积，工作人员测得其两条对角线 AC 与 BD 相交于点 O，且 OA = 35 m，OC = 35 m，OB = 24 m，OD = 24 m。若在该水域岸边修建护栏，下列关于四边形 ABCD 的说法正确的是（ ）
- A. 四边形 ABCD 是平行四边形，且 AC ⊥ BD，故它是菱形
- B. 四边形 ABCD 是平行四边形，但既不是矩形也不是菱形
- C. 四边形 ABCD 是矩形，因为它的对角线相等
- D. 四边形 ABCD 不是平行四边形，因为只知道对角线信息无法判定
答案：B
解析：由 OA = OC = 35 m，OB = OD = 24 m，可知对角线 AC 与 BD 互相平分，根据「对角线互相平分的四边形是平行四边形」，可判定 ABCD 是平行四边形。再判断是否为特殊平行四边形：AC = OA + OC = 70 m，BD = OB + OD = 48 m，两条对角线不相等，故不是矩形；又 AC 不垂直于 BD（题中只给出长度，无垂直条件），故不是菱形。因此 ABCD 是平行四边形，但既不是矩形也不是菱形。
易错点：一是误以为「对角线相等」就能判定矩形——判定矩形须先有平行四边形，再加对角线相等；本题两对角线并不相等。二是误以为只要对角线被平分就一定是菱形，混淆了「对角线互相平分」（平行四边形判定）与「对角线互相垂直」（菱形判定）。三是选项 D 忽视「对角线互相平分」本身就是平行四边形的判定方法之一。故选B。
4选择题
某湿地保护区要修建一个菱形观鸟平台，其两条对角线分别沿正东—正西、正南—正北方向铺设。已知东西向对角线长为 24 m，南北向对角线长为 10 m。为加固平台，在两条对角线的交点 O 处向四个顶点分别拉钢索。则任意一条钢索（即从交点 O 到菱形顶点的线段）的长度为（ ）
- A. 12 m
- B. 13 m
- C. √(119) m
- D. 26 m
答案：B
解析：菱形的对角线互相垂直且平分。设东西向对角线为 AC = 24 m，南北向对角线为 BD = 10 m，交点为 O，则 AO = AC ÷ 2 = 12 m，BO = BD ÷ 2 = 5 m，且 AC ⊥ BD，故 △AOB 是直角三角形。由勾股定理得 AB = √(AO² + BO²) = √(12² + 5²) = √(144 + 25) = √169 = 13 m。易错点：一是忘记「平分」，直接用 24、10 作直角边求得 √(24² + 10²) = 26 m（错选 D）；二是忘记「垂直」，用 12 与 5 相加或误认为对角线一半即边长（错选 A）；三是把 √169 算错成 √119 而错选 C。故选 B。
5填空题
为治理河道污染，环保部门在河道旁修建一个平行四边形形状的生态净化池 ABCD。已知净化池的一条对角线 AC 与两条边 AB、AD 分别交于顶点 A，且 ∠DAB = 70°。现测得 ∠ABC 的度数为 ______；若再测得 AB = 60 m，AD = 45 m，则净化池的周长为 ______ m。
答案：第一空：110°。因为四边形 ABCD 是平行四边形，AD ∥ BC，故同旁内角互补：∠DAB + ∠ABC = 180°，所以 ∠ABC = 180° − 70° = 110°。（也可由平行四边形对角相等得 ∠BCD = ∠DAB = 70°，再由邻角互补得 ∠ABC = 110°。）
第二空：210。平行四边形对边相等，故 CD = AB = 60 m，BC = AD = 45 m，周长 = 2 × (AB + AD) = 2 × (60 + 45) = 2 × 105 = 210 m。
解析：本题考查平行四边形的基本性质：对边平行且相等、对角相等、邻角互补。
第一空：由 AD ∥ BC，∠DAB 与 ∠ABC 是同旁内角，互补，得 ∠ABC = 180° − 70° = 110°。易错点：误用「对角相等」，直接写成 ∠ABC = ∠DAB = 70°；或把平行四边形当成矩形，误写 90°。
第二空：由对边相等，CD = AB = 60，BC = AD = 45，周长 = 2 × (60 + 45) = 210 m。易错点：把周长算成 AB + AD = 105 m（少算一组对边）；或误认为相邻两边必须相等（当菱形处理）而写成 4 × 60 = 240 m。
注意：判定与性质不要混用，本题已知是平行四边形，直接用性质即可，无需再判定。
6解答题
为保护一片生态湿地，工作人员沿湿地外围修建了一个平行四边形的围栏 ABCD（按顶点顺序 A、B、C、D 依次相连）。已知信息：
① 围栏对角线 AC 与 BD 相交于点 O，且 OA = 25 m，OB = 7 m；
② 为便于观测水鸟，工作人员在围栏内沿对角线 AC 的垂直平分线方向架设一条观测通道，测得通道两端点分别落在对角线 AC 的两个端点 A、C 处，即通道长度等于 AC，且通道与 AC 垂直；
③ 经测量，∠ABC = 90°。
（1）求围栏对角线 AC 和 BD 的长度；
（2）判断围栏 ABCD 是哪种特殊平行四边形（矩形、菱形或正方形），并说明理由；
（3）若每米围栏造价 60 元，求修建该围栏的总造价。
答案：解：（1）因为四边形 ABCD 是平行四边形，对角线互相平分，所以
AC = 2OA = 2 × 25 = 50（m），
BD = 2OB = 2 × 7 = 14（m）。
（2）围栏 ABCD 是正方形。理由如下：
① 因为 ABCD 是平行四边形，且 ∠ABC = 90°，有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以 ABCD 是矩形；
② 在矩形 ABCD 中，对角线 AC = 50 m，BD = 14 m。但由条件②知，观测通道沿 AC 的垂直平分线方向且两端点为 A、C，说明 BD ⊥ AC，即矩形 ABCD 的对角线互相垂直；
③ 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以 ABCD 又是菱形；
④ 既是矩形又是菱形的四边形是正方形。
故围栏 ABCD 是正方形。
（3）正方形的对角线长为 50 m，设边长为 a m，则由勾股定理：
a² + a² = 50²，即 2a² = 2500，a² = 1250，a = 25√2（m）。
围栏总长（周长）为 4a = 4 × 25√2 = 100√2（m）。
总造价为 60 × 100√2 = 6000√2（元）。
答：AC = 50 m，BD = 14 m；围栏 ABCD 是正方形；修建围栏总造价为 6000√2 元。
解析：本题分三步，重点考查平行四边形与特殊平行四边形的性质、判定及勾股定理的综合运用。
（1）利用平行四边形对角线互相平分求对角线长，这是最基础的一步，注意是「对角线被平分」而不是「对角线相等」。
（2）判定特殊四边形要分层推进：先由一个直角判定矩形，再由对角线垂直判定菱形，最后由「既是矩形又是菱形」得正方形。常见错误有：① 只证明是矩形就下结论，漏掉菱形的判定；② 把「对角线相等」（矩形）与「对角线垂直」（菱形）的性质记混；③ 直接说「四条边相等且四个角是直角」却不给推导过程，判定条件写不全。
（3）由对角线求正方形边长必须用勾股定理：a² + a² = 50²，得 a = 25√2，不能误认为边长等于对角线的一半（那是对角线被平分后的半长，不是边长）。最后求周长与造价时注意单位统一，结果保留根号形式 6000√2 元即可，若取近似值需注明。
7解答题
【自然生态情境】某湿地自然保护区计划修建一个平行四边形的生态观测区ABCD，用于观测候鸟栖息。已知信息：四边形ABCD是平行四边形，AB∥CD，AD∥BC；对角线AC与BD相交于点O，且AC = 20米，BD = 24米；观测区的一条边AD = 13米，∠BAD = 60°。为便于观鸟人员通行，需沿对角线AC铺设一条木栈道。
（1）求OA、OB、OC、OD的长度；
（2）求△AOD的面积；
（3）求木栈道AC所在直线到顶点B、D的距离之和与AC的比值，并据此说明铺设木栈道AC是否平分观测区面积，写出推理过程。
答案：（1）因为四边形ABCD是平行四边形，所以对角线互相平分，即OA = OC = ½AC，OB = OD = ½BD。所以 OA = OC = ½ × 20 = 10（米），OB = OD = ½ × 24 = 12（米）。
（2）在△AOD中，OA = 10米，OD = 12米，AD = 13米。验证：10² + 12² = 100 + 144 = 244，13² = 169，244 ≠ 169，故△AOD不是直角三角形，不能用两直角边乘积的一半求面积。
用海伦公式：半周长 p = (10 + 12 + 13)/2 = 35/2 = 17.5。
S△AOD = √(p(p−OA)(p−OD)(p−AD)) = √(17.5 × 7.5 × 5.5 × 4.5) = √(3248.4375) ≈ 57.0（平方米）。
精确值：S△AOD = √(3248.4375) = (3√3215)/4 平方米（约57.0平方米）。
（3）设点B、D到直线AC的距离分别为h₁、h₂。因为O是BD中点，B、D在AC异侧且到O等距，由对称性（或三角形面积法）可知h₁ = h₂。
又因为OA = OC，OB = OD，所以S△AOB = S△AOD = S△BOC = S△COD，即对角线AC把平行四边形分成面积相等的两个三角形：S△ABC = S△ADC = ½S▱ABCD。
故木栈道AC平分观测区面积，且B、D到AC距离之和 h₁ + h₂ = 2h₁，与AC的比值为 2h₁ : 20 = h₁ : 10，具体数值由（2）面积可求：S△ABC = 2S△AOD ≈ 114.0 平方米，S△ABC = ½ × AC × h₁，故 h₁ = 2 × 114.0 ÷ 20 = 11.4（米），h₁ + h₂ = 22.8（米），比值为 22.8 : 20 = 57 : 50。
解析：本题综合考查平行四边形对角线互相平分的性质、三角形面积计算与推理。
（1）易错点：把对角线长度直接当作半条对角线，忘记除以2；或混淆OA与OB。
（2）易错点：看到10、12、13就误以为是勾股数（常见勾股数是5、12、13），直接套用直角三角形面积公式得60，实际10²+12²≠13²，必须用海伦公式或先求高。这是本题最大的失分点。
（3）易错点：不加推理直接断言「对角线平分面积」，应先由对角线互相平分推出四个小三角形面积相等，再得出结论；计算距离时注意h₁ = 2S△ABC ÷ AC。
运算提示：17.5×7.5×5.5×4.5 计算量较大，可写成 (35/2)(15/2)(11/2)(9/2) = 51975/16，故 S = √(51975/16) = √51975 ÷ 4 = (15√231) ÷ 4 ≈ 57.0 平方米。
8解答题
【自然生态情境】某生态公园要沿湖修建一个正方形观景平台和一个矩形生态监测站。已知信息：正方形观景平台EFGH的面积为 48 m²；矩形生态监测站ABCD的一条对角线AC长 10 m，且两条邻边之差 AB − BC = 2 m（AB > BC）。
（1）求正方形观景平台EFGH的边长和对角线长（结果保留根号）；
（2）求矩形生态监测站的长和宽；
（3）工作人员要从正方形EFGH的一个顶点E沿直线走到矩形ABCD的对角线交点O处检修设备。若两个图形相邻放置，E、O两点间的水平距离为 12 m，竖直距离为 5 m，求E到O的实际直线距离，并判断该距离与正方形对角线的大小关系（写出比较过程）。
答案：（1）设正方形EFGH的边长为 a（a > 0）。由正方形面积得 a² = 48，所以 a = √48 = 4√3（m）。
正方形的对角线相等且互相垂直平分，由勾股定理：对角线 = √(a² + a²) = √(48 + 48) = √96 = 4√6（m）。
（2）设矩形ABCD中 AB = x m，BC = y m（x > y > 0）。由题意：
① x − y = 2；
② 对角线 AC = √(x² + y²) = 10，即 x² + y² = 100。
由①得 x = y + 2，代入②：(y + 2)² + y² = 100，
y² + 4y + 4 + y² = 100，2y² + 4y − 96 = 0，y² + 2y − 48 = 0，
(y + 8)(y − 6) = 0，解得 y = 6 或 y = −8（舍去，边长为正）。
所以 y = 6，x = 8。
答：矩形生态监测站的长 AB = 8 m，宽 BC = 6 m。
（3）E、O 两点水平距离 12 m，竖直距离 5 m，由勾股定理：
EO = √(12² + 5²) = √(144 + 25) = √169 = 13（m）。
比较：正方形对角线为 4√6 m，(4√6)² = 96，13² = 169，因为 169 > 96，且两者均为正数，所以 13 > 4√6，即 EO 大于正方形的对角线长。
答：E到O的实际直线距离为 13 m，大于正方形观景平台的对角线长 4√6 m。
解析：本题融合二次根式化简、勾股定理、矩形与正方形性质，强调完整推理与运算准确。
（1）易错点：√48 未化为最简二次根式（应为 4√3）；求对角线时误写成 2a 或 a√2 计算错误，应为 a√2 = 4√3 × √2 = 4√6。
（2）易错点：列方程时漏掉「对角线长10」这一条件对应的 x² + y² = 100，误把对角线当作边；解一元二次方程时漏掉负根检验，或忘记边长必须为正。另常见错误是把 AB − BC = 2 写成 AB + BC = 2。
（3）易错点：把水平距离与竖直距离直接相加（12 + 5 = 17）而不用勾股定理；比较 13 与 4√6 时直接凭感觉，应比较平方：13² = 169 与 (4√6)² = 96，避免近似值误差。
运算提示：4√6 ≈ 9.8 m，13 m 明显更大，可作验算。