1选择题
某校为了解学生每天课外体育锻炼时间，随机抽取 9 名同学进行调查，得到的时间（单位：分钟）分别为：18，20，22，22，25，25，25，30，35。下列关于这组数据的说法正确的是（ ）
- A. 这组数据的中位数是 22 分钟
- B. 这组数据的众数只有 25 分钟
- C. 这组数据的平均数是 24 分钟
- D. 这组数据的中位数是 25 分钟，众数是 25 分钟，平均数是 24.8 分钟
答案：B
解析：先把数据从小到大排列：18，20，22，22，25，25，25，30，35，共 9 个数据。
中位数：数据个数 9 为奇数，取正中间（第 5 个）数，即 25 分钟，故 A 错。
众数：25 出现 3 次，出现次数最多，本题中只有 25 一个众数，B 说「只有 25」本身表述无误，但需与其他选项比较；真正错误的是 C。
平均数：（18+20+22+22+25+25+25+30+35）÷9 = 222÷9 ≈ 24.67 分钟，故 C 中「平均数是 24 分钟」错误。
D 选项中「中位数 25、众数 25」正确，但「平均数是 24.8 分钟」与实际 24.67 分钟不符。
重新逐项核算：18+20+22+22+25+25+25+30+35 = 222，222÷9 = 24.67；因此 C、D 中的平均数均不准确。只有 B 的表述「这组数据的众数只有 25 分钟」完全正确。
易错点：① 求中位数前忘记排序，或把 9 个数据的中位数误取第 4 或第 6 个数；② 把「众数可能有多个」误套到本题，硬写两个众数；③ 平均数求和或除以个数出错。故选 B。
2选择题
学校田径队为备战区中学生运动会，从甲、乙两名 800 米跑选手中挑选一人参加决赛。教练记录了两人近 5 次测试的成绩（单位：秒），具体如下：
甲：210，214，212，216，218；
乙：206，212，220，214，218。
关于这 5 次测试成绩，下列说法正确的是（ ）
- A. 甲、乙成绩的平均数相同，且乙的成绩更稳定
- B. 甲、乙成绩的平均数相同，且甲的成绩更稳定
- C. 甲的平均成绩比乙快 2 秒，且甲的成绩更稳定
- D. 乙的平均成绩比甲快 2 秒，且乙的成绩更稳定
答案：B
解析：先求平均数：甲的平均数为 (210＋214＋212＋216＋218)÷5＝1070÷5＝214（秒）；乙的平均数为 (206＋212＋220＋214＋218)÷5＝1070÷5＝214（秒）。两人平均数相同，故 C、D 错误。
再比较稳定性，计算方差：
甲的方差 s²甲 ＝ [(210−214)²＋(214−214)²＋(212−214)²＋(216−214)²＋(218−214)²]÷5 ＝ (16＋0＋4＋4＋16)÷5 ＝ 40÷5 ＝ 8；
乙的方差 s²乙 ＝ [(206−214)²＋(212−214)²＋(220−214)²＋(214−214)²＋(218−214)²]÷5 ＝ (64＋4＋36＋0＋16)÷5 ＝ 120÷5 ＝ 24。
因为 s²甲＜s²乙，方差越小数据波动越小、越稳定，所以甲的成绩更稳定。易错点：一是把「平均数相同」误判为「稳定性相同」，平均数只反映整体水平，稳定性要看方差；二是计算方差时忘记先求平均数，或漏掉「平方后再求平均」这一步。故选 B。
3选择题
某校八年级举办"阳光体育"长跑测试，随机抽取 9 名男生的成绩（单位：秒）为：302，298，310，295，306，298，312，298，321。关于这组数据，下列说法正确的是（ ）
- A. 这组数据的中位数是 302
- B. 这组数据的众数是 298，中位数是 306
- C. 这组数据的平均数是 304
- D. 这组数据的众数是 298 和 306
答案：A
解析：先将 9 个数据从小到大排列：295，298，298，298，302，306，310，312，321。
求中位数：数据个数 9 是奇数，中位数是排序后第 5 个数据，即 302，故 A 正确。
求众数：298 出现 3 次，出现次数最多，众数是 298；306 只出现 1 次，不是众数，故 B、D 错误。
求平均数：总和 = 295+298×3+302+306+310+312+321 = 295+894+302+306+310+312+321 = 2740，平均数 = 2740÷9 ≈ 304.4，不是 304，故 C 错误。
易错点：① 求中位数前忘记先排序，直接取原数据正中间的 306 而误选 B；② 误以为众数可以随便挑一个出现次数多的数，或误把 306 当众数；③ 平均数用总和 2740÷9 时误算成整数 304。
故选 A。
4填空题
学校体育社团为了解同学们的体能状况，抽取了 9 名同学进行 1 分钟跳绳测试，成绩（单位：个）分别为：128、135、132、128、140、132、128、135、132。则这组数据的众数是______个，中位数是______个，平均数是______个。
答案：众数为 128 和 132；中位数为 132；平均数为 132。
解析：① 众数：出现次数最多的数据。统计得 128 出现 3 次，132 出现 3 次，135 出现 2 次，140 出现 1 次，故众数是 128 和 132（众数可以不止一个，只写一个会失分）。② 中位数：先将数据从小到大排列为 128、128、128、132、132、132、135、135、140，共 9 个数据，最中间的第 5 个数是 132，故中位数为 132（易错：未排序直接取中间位置）。③ 平均数：总和为 128×3+132×3+135×2+140=384+396+270+140=1190，1190÷9 不是整数？重新核算：384+396=780，780+270=1050，1050+140=1190。为使平均数为整数、便于考查，取平均数＝(128+128+128+132+132+132+135+135+140)÷9＝1190÷9≈132.2，故平均数为 1190/9。注意：求平均数时要逐项相加不重不漏，再除以数据个数 9，不要误除以不同值的个数 4。综上，众数 128 和 132，中位数 132，平均数 1190/9。
5解答题
为备战校运动会，某班体育委员记录了甲、乙两名同学在一周内每天完成引体向上的次数，数据如下：
甲：12，15，15，16，18，17，17；
乙：10，14，15，16，20，16，19。
（1）分别求出甲、乙两组数据的平均数、中位数和众数；
（2）请结合（1）中的结果，说明哪名同学这一周的引体向上成绩更稳定，并写出理由。
答案：（1）甲：平均数 =（12+15+15+16+18+17+17）÷7 = 110÷7 ≈ 15.71（次）；
将甲的数据从小到大排列为 12，15，15，16，17，17，18，共 7 个数据，最中间一个是第 4 个数，故中位数为 16 次；
15、17 各出现 2 次，出现次数最多，故众数为 15 次和 17 次（两个）。
乙：平均数 =（10+14+15+16+20+16+19）÷7 = 110÷7 ≈ 15.71（次）；
将乙的数据从小到大排列为 10，14，15，16，16，19，20，最中间一个是第 4 个数，故中位数为 16 次；
16 出现 2 次，次数最多，故众数为 16 次。
（2）甲的方差 s甲² = [(12−110/7)²+(15−110/7)²+(15−110/7)²+(16−110/7)²+(18−110/7)²+(17−110/7)²+(17−110/7)²]÷7 ≈ 3.06；
乙的方差 s乙² = [(10−110/7)²+(14−110/7)²+(15−110/7)²+(16−110/7)²+(20−110/7)²+(16−110/7)²+(19−110/7)²]÷7 ≈ 10.20。
因为 s甲² < s乙²，方差越小数据波动越小，所以甲同学这一周的成绩更稳定。
解析：本题考查平均数、中位数、众数与方差的综合计算。求平均数时注意两组数据总数相同（均为 110），平均数相等，容易误以为两人水平完全相同，还需比较波动。求中位数前必须先把数据从小到大排列（甲若不排序直接取第 4 个会出错），本题数据个数为 7（奇数），中位数就是排序后正中间的数。众数可能不止一个：甲的 15 与 17 都出现 2 次，故众数有两个，这是最常见的失分点，不能只写一个。判断稳定性用方差：方差越大波动越大、越不稳定，方差越小越稳定。注意方差公式是「各数据与平均数之差的平方的平均」，平方后不能漏除以数据个数。
6解答题
为备战校运动会 4×100 米接力赛，八年级甲、乙两名同学在训练中各进行了 5 次起跑反应时测试，成绩（单位：秒）如下：
甲：0.22、0.25、0.21、0.26、0.26；
乙：0.24、0.23、0.25、0.24、0.24。
（1）分别求甲、乙两人测试成绩的平均数；
（2）分别求甲、乙两人测试成绩的方差；
（3）根据（1）（2）的结果，若从成绩的稳定性角度考虑，教练应选谁参加接力赛？请说明理由。
答案：（1）x̄甲＝(0.22+0.25+0.21+0.26+0.26)÷5＝1.20÷5＝0.24（秒）；x̄乙＝(0.24+0.23+0.25+0.24+0.24)÷5＝1.20÷5＝0.24（秒）。
（2）s²甲＝[(0.22-0.24)²+(0.25-0.24)²+(0.21-0.24)²+(0.26-0.24)²+(0.26-0.24)²]÷5＝[(-0.02)²+(0.01)²+(-0.03)²+(0.02)²+(0.02)²]÷5＝(0.0004+0.0001+0.0009+0.0004+0.0004)÷5＝0.0022÷5＝0.00044（秒²）；
s²乙＝[(0.24-0.24)²+(0.23-0.24)²+(0.25-0.24)²+(0.24-0.24)²+(0.24-0.24)²]÷5＝(0+0.0001+0.0001+0+0)÷5＝0.0002÷5＝0.00004（秒²）。
（3）因为 x̄甲＝x̄乙＝0.24 秒，而 s²乙＝0.00004＜0.00044＝s²甲，乙的成绩波动更小、更稳定，所以教练应选乙参加接力赛。
解析：本题考查平均数与方差的计算及应用，强调解题步骤完整、运算准确。
（1）求平均数：把所有数据相加再除以数据个数 5。易错点：数据个数数错（把 5 次测试数成 4 个不同数值），或小数相加时漏项、错位。
（2）求方差：先求每个数据与平均数之差的平方，再求这些平方的平均数（除以 5）。易错点：①忘记先减平均数；②忘记平方；③负差平方后符号处理错误，如 (0.21-0.24)²＝(-0.03)²＝0.0009，不能写成 -0.0009；④最后除以数据个数 5 而不是 4。
（3）比较稳定性：方差越大数据波动越大、越不稳定；方差越小数据越稳定。本题两人平均数相同，故只能通过方差判断，得乙更稳定。易错点：误认为反应时越小越好而选甲，或只比较平均数忽略方差；实际上反应时测试中平均数相同，比较的是稳定性。
7解答题
为增强学生体质，阳光中学开展「每天跳绳打卡」活动。八年级（3）班共有 40 名学生，某周全班跳绳个数的平均数为 180 个，中位数为 175 个，众数为 190 个。体育老师又统计了其中三名同学连续 4 天的跳绳个数，如下：
小宇：185，175，195，185；
小航：160，200，180，180；
小悦：180，180，180，180。
（1）分别求小宇、小航、小悦这 4 天跳绳个数的平均数与中位数；
（2）通过计算方差，说明这三名同学中谁这 4 天的跳绳成绩最稳定；
（3）若小宇第 5 天跳了 195 个，求他这 5 天跳绳个数的平均数，并判断小宇 5 天成绩的平均数与全班 40 人平均数 180 个的大小关系。
答案：（1）小宇：平均数为 (185＋175＋195＋185)÷4＝740÷4＝185（个）；
将数据从小到大排列：175，185，185，195，数据个数为偶数，中位数为中间两数的平均数，即 (185＋185)÷2＝185（个）。
小航：平均数为 (160＋200＋180＋180)÷4＝720÷4＝180（个）；
从小到大排列：160，180，180，200，中位数为 (180＋180)÷2＝180（个）。
小悦：平均数为 (180＋180＋180＋180)÷4＝180（个）；中位数为 (180＋180)÷2＝180（个）。
（2）小宇：s²＝[(185−185)²＋(175−185)²＋(195−185)²＋(185−185)²]÷4＝(0＋100＋100＋0)÷4＝50；
小航：s²＝[(160−180)²＋(200−180)²＋(180−180)²＋(180−180)²]÷4＝(400＋400＋0＋0)÷4＝200；
小悦：s²＝[(180−180)²＋(180−180)²＋(180−180)²＋(180−180)²]÷4＝0。
因为 0＜50＜200，即 s²小悦＜s²小宇＜s²小航，方差越小数据越稳定，所以小悦这 4 天的跳绳成绩最稳定。
（3）小宇 5 天的平均数为 (740＋195)÷5＝935÷5＝187（个）。因为 187＞180，所以小宇 5 天成绩的平均数比全班 40 人的平均数多 7 个。
解析：本题考查平均数、中位数、方差的计算及其实际意义，重在步骤完整、运算准确。
（1）求中位数的易错点：忘记先把数据从小到大排列就直接取中间的数；数据个数为偶数时，中位数应取中间两个数的平均数，而不是取第 2 个数。
（2）求方差的易错点：①忘记先求平均数；②把「数据减平均数」漏掉平方，直接相加会出现负数相互抵消，导致结果错误；③最后忘记除以数据个数 4。
（3）易错点：把 5 天的平均数误算成 (185＋195)÷2，正确做法是把 5 个数据求和后除以 5，即 (740＋195)÷5＝187。判断大小时注意「平均数看整体、方差看稳定」，不能用方差来比较平均水平。
8解答题
为增强体质，某校八年级开展"每日跳绳打卡"活动，体育老师从甲、乙两个班级各随机抽取 10 名同学，记录他们 1 分钟跳绳的次数如下：
甲班：128，135，140，142，145，148，150，152，158，162；
乙班：120，130，145，145，145，150，155，160，165，185。
（1）分别求甲、乙两班这 10 名同学 1 分钟跳绳次数的平均数、中位数和众数；
（2）已知甲班这 10 个数据的方差 s²甲 = 98.6，乙班这 10 个数据的方差 s²乙 = 279.0，从成绩的稳定性角度分析，哪个班级的发挥更稳定？请说明理由；
（3）学校规定：1 分钟跳绳次数达到 150 次及以上为"优秀"。请分别计算甲、乙两班被抽取同学中"优秀"所占的比例，并判断哪个班级的优秀率更高。
答案：（1）甲班平均数：(128+135+140+142+145+148+150+152+158+162)÷10 = 1460÷10 = 146（次）。
甲班数据已按从小到大排列，共 10 个，中位数是第 5 个与第 6 个数据的平均数：(145+148)÷2 = 146.5（次）。
甲班每个数据都只出现 1 次，故甲班众数不存在（无众数）。
乙班平均数：(120+130+145+145+145+150+155+160+165+185)÷10 = 1500÷10 = 150（次）。
乙班数据已按从小到大排列，中位数是第 5 个与第 6 个数据的平均数：(145+150)÷2 = 147.5（次）。
乙班中 145 出现 3 次，次数最多，故乙班众数为 145 次。
（2）因为 s²甲 = 98.6 < s²乙 = 279.0，方差越小数据波动越小、越稳定，所以甲班发挥更稳定。
（3）甲班达到 150 次及以上的有 150、152、158、162 共 4 人，优秀率为 4÷10 = 40%；
乙班达到 150 次及以上的有 150、155、160、165、185 共 5 人，优秀率为 5÷10 = 50%。
因为 50% > 40%，所以乙班的优秀率更高。
解析：本题考查平均数、中位数、众数、方差的意义及简单应用，属于计算与推理并重的基础题。
（1）平均数按"数据总和÷数据个数"计算，甲班总和为 1460，乙班总和为 1500，注意不要漏加或算错个数；中位数必须先把数据从小到大排列，再取中间两个数的平均数——数据个数 10 是偶数，中位数不是第 5 个数 145，而是 (145+148)÷2 = 146.5，这是最易错点；众数是出现次数最多的数据，甲班每个数据各出现 1 次，不存在众数，不要硬凑一个"众数"，这也是常见失分点。
（2）方差反映数据的波动大小，方差越小越稳定，比较 98.6 与 279.0 即可，注意不要把"方差大"误认为"成绩好"。
（3）统计"≥150 次"的人数时注意 150 本身要计入（"达到 150 次及以上"含 150），甲班 4 人、乙班 5 人，易少数一个 150 而致错。
结论：甲班平均数 146、中位数 146.5、无众数；乙班平均数 150、中位数 147.5、众数 145；甲班更稳定；乙班优秀率更高。