1选择题
某文具店举办「新年福袋」活动，福袋中装有 2 支铅笔、3 支中性笔和 1 支钢笔，共 6 支笔，除种类外无其他差别。小华随机从福袋中摸出 1 支笔（摸出后不放回，再摸第 2 支）。下列说法正确的是（ ）
- A. 摸到钢笔的概率为 1/6，摸到铅笔的概率为 1/3，两事件概率之和为 1/2，说明这两个事件是必然事件
- B. 用树状图法列出两次摸笔的所有等可能结果，共有 6×6＝36 种，其中两次摸到同一类笔的结果有 2×2＋3×3＋1×1＝14 种，故概率为 14/36＝7/18
- C. 第一次摸到中性笔的概率为 3/6＝1/2；在第一次摸到中性笔的条件下，第二次摸到中性笔的概率为 2/5
- D. 摸到铅笔或钢笔的概率为 3/6＝1/2，由于概率为 1/2，所以「摸到铅笔或钢笔」是必然事件
答案：C
解析：逐项判断：
A 项：摸到钢笔概率 1/6、摸到铅笔概率 2/6＝1/3，两者之和为 1/6＋1/3＝1/2，但概率之和为 1/2 的两个事件都是随机事件，不可能是必然事件（必然事件概率为 1），A 错误。
B 项：题干明确「摸出后不放回」，第二次摸时只剩 5 支笔，总结果数应为 6×5＝30 种，不是 6×6＝36 种；不放回条件下两次同类的情况应为 2×1＋3×2＋1×0＝8 种，概率为 8/30＝4/15，B 的 36 种列举对应的是「放回」情形，与题干矛盾，B 错误。
C 项：第一次摸到中性笔的概率为 3/6＝1/2；不放回条件下，第一次已摸走 1 支中性笔，剩下 5 支笔中有 2 支中性笔，故第二次摸到中性笔的条件概率为 2/5，计算正确，C 正确。
D 项：「摸到铅笔或钢笔」的概率为 (2+1)/6＝3/6＝1/2，但概率为 1/2 的事件仍是随机事件（可能发生也可能不发生），只有概率为 1 才是必然事件，D 错误。
故选 C。
易错点：① 忽略「不放回」条件，误用放回模型列举结果（重复或遗漏）；② 把「概率之和」当成必然事件的判据；③ 混淆「概率为 1/2」与「必然事件（概率为 1）」的概念。
2选择题
某文具店为吸引顾客设计了一个“转盘打折”游戏。转盘被等分成 8 个扇形区域，编号 1 至 8，每个区域被转到的可能性相等。规则是：顾客转动转盘一次，指针落在奇数编号区域可享受 9 折优惠，落在偶数编号区域可享受 95 折优惠；若落在编号为 3 的区域，则额外获得一次再转一次的机会，两次转到的数字之和记为总积分。小明参加游戏并获得了一次再转的机会。已知信息：转盘等分成 8 个区域，编号 1、2、3、4、5、6、7、8，各区域被转到的可能性相等；小明第一次转到编号 3，第二次转动结果与第一次相互独立。
下列说法正确的是（ ）
A. 第一次转动落在偶数编号区域的概率为 3/8
B. 小明第二次转动落在奇数编号区域的概率大于落在偶数编号区域的概率
C. 小明两次转到的数字之和为偶数的概率为 1/2
D. “转到编号 8”是不可能事件，其概率为 0
- A. 第一次转动落在偶数编号区域的概率为 3/8
- B. 小明第二次转动落在奇数编号区域的概率大于落在偶数编号区域的概率
- C. 小明两次转到的数字之和为偶数的概率为 1/2
- D. 转到编号 8 是不可能事件，其概率为 0
答案：C
解析：逐项判断：
A 项：偶数编号为 2、4、6、8，共 4 个，总结果 8 个，概率为 4/8 = 1/2，不是 3/8，A 错误。
B 项：奇数编号 1、3、5、7 共 4 个，偶数编号也是 4 个，两者概率都是 4/8 = 1/2，相等而非大于，B 错误。
C 项：小明第一次已转到 3（奇数），第二次转到奇数（4 种）时和为偶数，转到偶数（4 种）时和为奇数。故和为偶数的概率为 4/8 = 1/2，C 正确。
D 项：编号 8 在转盘上是存在的，转到它是随机事件而非不可能事件，概率为 1/8 ≠ 0，D 错误（不可能事件概率才是 0，必然事件概率是 1）。
易错点：① 把奇偶数个数数错，误认为奇数比偶数多；② 混淆“随机事件”“不可能事件”“必然事件”的概念，误把小概率事件当成不可能事件；③ 第一次结果已确定时，和的奇偶性只取决于第二次的奇偶性，不必再重复列举 8×8 种结果。
故选 C。
3选择题
小华去超市买饮料，货架上有 3 瓶橙汁（记为 A、B、C）和 2 瓶苹果汁（记为 D、E），5 瓶饮料外观除标签外完全相同。小华从中任意购买 2 瓶（一次拿取 2 瓶，不计顺序）。下列说法正确的是（ ）
- A. 两瓶都是橙汁的概率是 3/5
- B. 两瓶都是橙汁的概率是 3/10
- C. 两瓶都是苹果汁的概率是 1/2
- D. 两瓶是同一种饮料的概率是 1/2
答案：B
解析：从 5 瓶中任取 2 瓶，不计顺序，所有可能结果数为：
{AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE, DE}，共 10 种（也可用组合数 5×4÷2 = 10 计算）。
（1）两瓶都是橙汁的结果有：{AB, AC, BC}，共 3 种，概率为 3/10。故 B 正确，A（3/5）错误。
（2）两瓶都是苹果汁的结果只有 {DE}，共 1 种，概率为 1/10，故 C 错误。
（3）两瓶是同一种饮料的结果为 {AB, AC, BC, DE}，共 4 种，概率为 4/10 = 2/5，故 D 错误。
易错点：①把“任取 2 瓶”当作有序抽取（如先取后取），把总结果数算成 5×4 = 20，导致概率算成 6/20 = 3/10 虽然巧合相同但思路混乱，应明确不计顺序时总数为 10；②计算“同种饮料”时漏掉两瓶苹果汁的情况，只算橙汁组合，误得 3/10；③概率算出 3/5、1/2 等值超出实际有利结果数比例，说明列举有重复或遗漏。
故选 B。
4解答题
某文具店开展「购物抽奖」促销活动，规则如下：顾客当日消费满 20 元即可抽奖一次。抽奖箱中有除颜色外完全相同的 10 个小球，其中标有「2 元券」的小球 2 个、标有「5 元券」的小球 3 个、标有「10 元券」的小球 1 个，其余 4 个标有「谢谢惠顾」（不中奖）。小明当日消费 25 元，获得一次抽奖机会，从箱中随机摸出 1 个小球。
（1）写出这次试验所有可能的结果，并指出哪些是随机事件、哪些是必然事件、哪些是不可能事件（各举一例）；
（2）分别求小明摸到「10 元券」、摸到中奖小球（即摸到任一优惠券）、摸到「谢谢惠顾」的概率；
（3）请判断「小明摸到的优惠券面值一定不小于 2 元」这一事件的概率是多少，并说明理由。
答案：（1）从箱中随机摸出 1 个小球，所有可能的结果共有 10 种：摸到「2 元券」（2 个球）、摸到「5 元券」（3 个球）、摸到「10 元券」（1 个球）、摸到「谢谢惠顾」（4 个球）。若按小球编号看，10 个小球被摸到的可能性相等，总结果数为 10。
随机事件：如「小明摸到 5 元券」，可能发生也可能不发生；
必然事件：如「小明摸到的小球是箱中的 10 个小球之一」，一定发生，概率为 1；
不可能事件：如「小明摸到 20 元券」，一定不发生，概率为 0。
（2）摸到「10 元券」的结果数为 1，故 P（10 元券）= 1/10；
中奖小球数为 2 + 3 + 1 = 6，故 P（中奖）= 6/10 = 3/5；
摸到「谢谢惠顾」的结果数为 4，故 P（谢谢惠顾）= 4/10 = 2/5。
（3）摸到的优惠券面值只可能是 2 元、5 元或 10 元，都不小于 2 元，因此「小明摸到的优惠券面值不小于 2 元」是必然事件，其概率为 1。（注意：该结论是在「已摸到优惠券」的前提下成立；若不加前提，「摸到的奖品面值不小于 2 元」的概率为 6/10 = 3/5。）
解析：本题考查概率的意义、概率的取值范围及概率计算公式 P(A) = A 包含的结果数 ÷ 所有可能的结果数。
（1）列举时要按小球个数计清总结果数 10，不能只按奖品种类数成 4 种，否则容易漏计或重复；
（2）中奖小球是 2 + 3 + 1 = 6 个，不是 3 个（不能按券种计数）；
（3）易错点是把必然事件的概率算成 3/5 或 6/10，注意题设已限定「摸到的优惠券」，在此条件下事件必然发生，概率为 1；同时要记住概率的范围是 0 ≤ P(A) ≤ 1，必然事件概率为 1，不可能事件概率为 0。
5解答题
某奶茶店推出「第二杯半价」活动，顾客小华与同学相约去买奶茶。店家设置了两个各装有若干卡片的抽奖盒：甲盒中有 3 张卡片，分别标有数字 1、2、3；乙盒中有 2 张卡片，分别标有数字 1、4。规则：两人分别从甲盒、乙盒中各随机抽出 1 张卡片，若两张卡片上的数字之和为 5，则本次消费可免单（即两杯奶茶全免费）。
（1）用列表法或树状图法列出所有可能的抽卡结果，并求出数字之和的所有取值；
（2）求本次消费获得免单的概率；
（3）若店家把乙盒中标有 4 的卡片换成标有 5 的卡片，其他不变，则免单的概率变为多少？请比较改造前后免单机会的大小，并给顾客一条合理的消费建议。
答案：（1）从甲盒抽 1 张（可能为 1、2、3），从乙盒抽 1 张（可能为 1、4），两步试验相互独立，用列表法列举（甲盒数字写在左列，乙盒数字写在上行）：
甲 乙 1 4
----- ------------ ------------
1 (1,1) 和为 2 (1,4) 和为 5
2 (2,1) 和为 3 (2,4) 和为 6
3 (3,1) 和为 4 (3,4) 和为 7
所有可能的结果共有 3 × 2 = 6 种，且每种结果出现的可能性相等；数字之和的取值为 2、3、4、5、6、7。
（2）和为 5 的结果只有 (1,4) 这 1 种，故 P（免单）= 1/6。
（3）乙盒改为标有 1、5 的卡片后，列表为：
甲 乙 1 5
----- ------------ ------------
1 (1,1) 和为 2 (1,5) 和为 6
2 (2,1) 和为 3 (2,5) 和为 7
3 (3,1) 和为 4 (3,5) 和为 8
此时和为 5 的结果有 0 种，故 P（免单）= 0，即免单是不可能事件。
比较：1/6 > 0，改造前的免单机会更大。建议：顾客应选择改造前的方案参与抽奖；若店家已改为乙盒含 5 的规则，则免单无望，可考虑直接购买或选择其他优惠方式。
解析：本题考查列表法（两步试验）列举等可能结果、概率公式 P(A) = 有利结果数 ÷ 总结果数，以及概率的取值范围 0 ≤ P(A) ≤ 1。
易错点一：列举结果时把「甲盒 3 种、乙盒 2 种」误算成 5 种或 3 种，应为 3 × 2 = 6 种，务必不重不漏；
易错点二：把「和为 5」误写成 (2,3)、(3,2) 等结果，但乙盒中没有数字 2、3，属于凭空臆造结果；
易错点三：第（3）问中改造后不存在和为 5 的结果，概率为 0，不能硬凑出 1/6 等正数，也不得出现大于 1 的概率值；
列树状图时同样要注意第一层甲盒 3 个分支、第二层乙盒 2 个分支，共 6 个末梢，与列表法结果一致。
6解答题
某社区便利店开展「消费满额抽奖」促销活动，规则如下：顾客当日购物满 38 元即可抽奖一次。抽奖箱中有除颜色外完全相同的 4 个红球、3 个黄球和 2 个白球，共 9 个球，顾客从中任意摸出 1 个球（摸出后放回，摇匀后再摸）。奖项设置为：摸到红球获一等奖，摸到黄球获二等奖，摸到白球获三等奖。
（1）写出「摸到红球」这一随机事件的概率 P（红球），并说明它属于必然事件、随机事件还是不可能事件；
（2）小明的妈妈当日购物 42 元，获得一次抽奖机会，她摸到「黄球或白球」的概率是多少？
（3）便利店又推出「连续摸两次（每次摸出 1 个球后放回，摇匀）」的玩法，用列表法或树状图法列出所有等可能结果，并求「两次摸到的球颜色相同」的概率；
（4）小颖说：「摸到红球的概率是 4/9，摸到黄球的概率是 3/9，所以摸到红球或黄球的概率是 7/9，这说明概率可以大于 1。」你认为她的说法对吗？请说明理由。
答案：（1）摸球试验中 9 个球被摸到的可能性相等，红球有 4 个，故 P（红球）＝4/9。因为 0＜4/9＜1，所以「摸到红球」是随机事件（可能发生也可能不发生）。
（2）黄球 3 个、白球 2 个，共 3+2＝5 个，故 P（黄球或白球）＝5/9。
（3）用列表法（横行表示第一次，纵列表示第二次）：
第一次第二次 红 黄 白
------------ ---------- ---------- ----------
红 （红，红） （红，黄） （红，白）
黄 （黄，红） （黄，黄） （黄，白）
白 （白，红） （白，黄） （白，白）
共有 3×3＝9 种等可能结果（注意：颜色相同的有（红，红）、（黄，黄）、（白，白）共 3 种）。故 P（两次颜色相同）＝3/9＝1/3。
（4）小颖的说法不对。理由：摸到红球（4/9）与摸到黄球（3/9）是两个互斥事件，它们的和事件概率为 4/9＋3/9＝7/9，仍满足 0≤7/9≤1，并没有大于 1。任何事件 A 的概率都满足 0≤P（A）≤1，必然事件概率为 1，不可能事件概率为 0，概率不可能超出 0 到 1 的范围。
解析：本题以便利店抽奖为情境，考查概率的意义、概率公式 P（A）＝事件 A 包含的结果数÷所有可能的结果数（各结果等可能）、列表法列举两步试验的结果以及概率的取值范围。
易错点：
① 第（1）问只写 4/9 不判断事件类型，或把「概率较大」误认为必然事件；
② 第（2）问把「黄球或白球」误按 3/9×2/9 计算，应为两类互斥结果相加（3+2）/9；
③ 第（3）问列举时重复或遗漏（如误写成 4×4＝16 种，或忘记放回后颜色仍是 3 类），正确做法是先明确「颜色」作为结果类别，共 3×3＝9 种等可能结果；
④ 第（4）问易被「7/9」误导，须牢记概率范围 0≤P（A）≤1，两个互斥事件概率相加不会超过 1。
7解答题
某超市开展“消费抽奖”活动，规则如下：顾客当日单笔消费满 88 元即可参加一次抽奖。抽奖箱中有除颜色外完全相同的小球共 10 个，其中红色球 3 个（对应一等奖）、黄色球 2 个（对应二等奖）、白色球 5 个（对应三等奖）。顾客从中任意摸出 1 个球后放回，搅匀后再摸出 1 个球，两次摸出的球的颜色组合决定奖品等级。已知信息：红球 3 个、黄球 2 个、白球 5 个，共 10 个；每次摸出 1 个球后放回。
(1) 请用列表法或树状图法列出两次摸球所有可能的结果，并写出所有等可能结果的总数；
(2) 求两次摸出的球都是红色球的概率；
(3) 求两次摸出的球颜色不相同的概率。
(4) 该超市经理想把一等奖的中奖概率控制在 0.05 以下，现有红球 3 个不变，问在白球仍为 5 个的条件下，黄球至少需要增加到几个才能达到要求？请说明理由。
答案：(1) 因为是“有放回”地摸两次，每一步都有 10 种等可能结果，用列表法把两次结果列成 10×10 的表（或画两步树状图），所有等可能结果总数为 10×10 = 100 种。
(2) 两次都是红球的结果数为 3×3 = 9 种，故 P（两次都是红球）= 9/100。
(3) 两次颜色相同的结果数为：红红 3×3 = 9，黄黄 2×2 = 4，白白 5×5 = 25，合计 9+4+25 = 38 种。故两次颜色不同的结果数为 100-38 = 62 种，P（颜色不同）= 62/100 = 31/50。
(4) 设黄球增加到 m 个（m 为正整数），此时球的总数为 3+m+5 = m+8。两次都是红球的概率为 (3/(m+8))²。要求 (3/(m+8))² < 0.05 = 1/20，即 9/(m+8)² < 1/20，(m+8)² > 180。因为 13² = 169 < 180 < 196 = 14²，所以 m+8 ≥ 14，m ≥ 6。故黄球至少增加到 6 个（即总共 6 个黄球）。
解析：本题以超市抽奖为背景，考查“有放回”两步试验的列表法/树状图法与概率计算。易错点：① 误按“不放回”处理，把总结果数写成 10×9 = 90；② 列举结果时重复或遗漏，尤其“颜色不同”应用“总结果数减去颜色相同结果数”的补集思想更快；③ 计算结果忘记检验概率是否落在 0 与 1 之间；④ 第(4)问易把“概率小于 0.05”直接写成 3/(m+8) < 0.05，忽略了两次都是红球的概率是两次概率的乘积。注意：概率 P(A) = 有利结果数 ÷ 所有可能结果数，前提是各种结果出现的可能性相等。
8解答题
某文具店开展“消费抽奖”促销活动：顾客当日单笔消费满 50 元即可参加一次抽奖。抽奖箱中有 4 张卡片，卡片背面完全相同，正面分别写有数字 1、2、3、4。规则如下：顾客先任意抽取一张卡片，记下数字后放回，摇匀后再抽取一张卡片。若两次抽取的数字之和为 4，则获得一等奖（价值 40 元的书包）；若两次抽取的数字之和为 5，则获得二等奖（价值 10 元的笔记本）；其余情况不获奖。
（1）请用列表法或树状图法写出两次抽取数字的所有可能结果；
（2）求顾客获得一等奖的概率；
（3）小明说“两次数字之和为 4 与两次数字之和为 5 的可能性一样大”，请判断他的说法是否正确，并说明理由。
答案：（1）两次抽取的所有可能结果共 4×4 = 16 种，列表如下（行表示第一次，列表示第二次）：
第一次＼第二次 1 2 3 4
-------------- ----- ----- ----- -----
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4)
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4)
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4)
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4)
（2）数字之和为 4 的结果有：(1,3)、(2,2)、(3,1)，共 3 种。
故获得一等奖的概率 P = 3/16。
（3）数字之和为 5 的结果有：(1,4)、(2,3)、(3,2)、(4,1)，共 4 种，概率为 4/16 = 1/4。
因为 3/16 ≠ 1/4（3/16 < 1/4），所以小明的说法不正确，获得二等奖的可能性更大。
解析：本题考查用列表法列举两步试验的所有等可能结果，并用“有利结果数 ÷ 总结果数”求概率。
（1）因为是“有放回”抽取，第一次与第二次各 4 种结果，总数为 4×4 = 16 种，列表时必须写全 16 个有序数对，不能只写数字对（不考虑顺序）。
（2）和为 4 的有序数对为 (1,3)、(2,2)、(3,1) 共 3 种，故 P = 3/16。易错点：误认为 (1,3) 与 (3,1) 是同一结果而只算 2 种；或把 (2,2) 漏掉，导致结果遗漏。
（3）和为 5 的有序数对为 (1,4)、(2,3)、(3,2)、(4,1) 共 4 种，概率 4/16 = 1/4 > 3/16，故两者可能性不相等。易错点：仅凭“都是一种情况”直觉判断可能性相同，忽略了有利结果数不同；或算出概率超过 1、为负数等不合理结果，都应检查列举是否重复或遗漏。
本题概率均在 0 与 1 之间，符合概率取值范围。