1选择题
科技节上，六年级同学用边长1分米的小正方形彩色地砖拼图案：第1个图案用1块地砖；第2个图案比第1个图案多用3块地砖；第3个图案比第2个图案多用5块地砖；第4个图案比第3个图案多用7块地砖……每个图案都恰好拼成一个大正方形。学校一共领来121块这样的地砖，如果按这个规律继续拼下去，最多能拼出（ ）个图案。
答案：B
解析：本题是数形结合规律的应用题。每个图案用的小正方形总数依次是1、1＋3＝4、1＋3＋5＝9、1＋3＋5＋7＝16……，恰好是1²、2²、3²、4²……，即第n个图案需要n²块地砖。
现在共有121块地砖，令n² ≤ 121，得n ≤ √121＝11，所以最多拼出11个图案，恰好用完121＝11²块。
易错点：一是把规律误认为第n个图案增加n块地砖，从而算成1＋2＋3＋…的等差数列；二是误把「增加的块数」当成「总数」，只算到奇数之和的项数而未比较与121的大小；三是混淆直径与边长无关的干扰，或忘记本题是平方关系而用加法累加。故选B。
2选择题
六（1）班同学在"数与形"课上用小正方形拼图，并把规律画成点子图：第1个图形是1个点，第2个图形是1＋3＝4个点，第3个图形是1＋3＋5＝9个点……老师让大家算一算 1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15 的值。下面是四位同学的答案与理由，其中正确的是（ ）。
- A. 小丽：一共有8个加数，所以和是 8²＝64
- B. 小刚：末项是15，所以和是 15²＝225
- C. 小芳：一共有7个加数，所以和是 7²＝49
- D. 小强：这是连续奇数相加，和等于（15×2）²＝900
答案：A
解析：规律：从1开始的连续奇数之和，等于项数的平方，关键是数对项数。
本题算式为 1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15，末项是15，项数＝(15＋1)÷2＝8，因此和＝8²＝64，小丽正确。
易错点：
① 项数数错——数成7项（漏掉其中一项），得 7²＝49，这是小芳的错误；
② 把"末项"当成"项数"，直接算 15²＝225，这是小刚的错误；
③ 记错公式，随意凑数算出 900，这是小强的错误。
验算：1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＝64＝8²，与规律一致。
故选A。
3选择题
数学课上，老师用小正方形拼大正方形来研究数与形的规律。同学们把每次拼图所用小正方形的个数记录在下面的表格中（表格中每次新增的小正方形个数用算式表示）：
拼图次数 每次新增小正方形个数 累计小正方形总个数 总个数与平方数的关系
-------- -------------------- ------------------ --------------------
第1次 1 1 1 = 1²
第2次 3 1 + 3 = 4 4 = 2²
第3次 5 1 + 3 + 5 = 9 9 = 3²
第4次 7 1 + 3 + 5 + 7 = 16 16 = 4²
六（1）班的小林看完表格后猜想：从 1 开始连续奇数相加，一直加到 11，所得的和也符合表中的规律。按照小林的猜想，算式 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 的结果是多少？
答案：B
解析：先数项数：1、3、5、7、9、11 一共有 6 个连续奇数。根据表格规律，从 1 开始的连续奇数之和等于项数的平方，所以 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 6² = 36。易错点一是把最后一项 11 误当作项数，直接算 11² = 121（不在选项中，需警惕）；易错点二是项数数错，比如只数到 9 得到 5² = 25，选了 A。故选B。
4填空题
数学兴趣课上，老师用小正方形摆图形找规律：第1个图形用1个小正方形；第2个图形在第1个图形的右边和下边各添1列、1行，共用了1＋3＝4个小正方形，恰好拼成2×2的大正方形；第3个图形再添上5个小正方形，共用了1＋3＋5＝9个小正方形，恰好拼成3×3的大正方形。
老师把每次增加的小正方形个数和拼成的大正方形边长记录在下表中：
图形序号 增加的小正方形个数 小正方形总数 大正方形边长
-------- ------------------ ------------ ------------
1 1 1 1
2 3 4 2
3 5 9 3
4 7 16 4
请根据表格规律填空：
（1）第5个图形增加的小正方形个数是（ ）个，小正方形总数是（ ）个，恰好拼成边长为（ ）的大正方形。
（2）从1开始，连续奇数相加：1＋3＋5＋7＋9＋11＝（ ）。
（3）1＋3＋5＋…＋19＝（ ）。
答案：（1）第5个图形增加的小正方形个数是9个，小正方形总数是25个，恰好拼成边长为5的大正方形。
（2）1＋3＋5＋7＋9＋11是6个连续奇数相加，和为6²＝36。
（3）1＋3＋5＋…＋19中，奇数的项数为(19＋1)÷2＝10项，所以和为10²＝100。
解析：本题考查数形结合思想：从1开始的连续奇数之和等于项数的平方。
（1）从表格看出，每次增加的小正方形个数是连续奇数1、3、5、7…，第5个图形增加9个；总数依次是1²、2²、3²、4²、5²＝25，大正方形边长就是项数5。
（2）这里共6个奇数相加，和为6²＝36。
（3）求1～19中奇数的个数：(19＋1)÷2＝10项，和为10²＝100。
易错点：一是项数数错，误认为1＋3＋…＋19有9项或19项，应先用(末项＋1)÷2算出项数；二是不借助图形或表格，硬算加法容易漏项；三是把「增加的个数」与「总数」混淆。
5解答题
学校数学兴趣小组开展"数与形"探究活动，老师在黑板上用小正方形拼大正方形，并把每次用到的小正方形个数记录在下表中：
图形序号 第1个 第2个 第3个 第4个 第5个
---------------------- ----- ----- ----- ----- -----
外层增加的小正方形个数 1 3 5 7 9
小正方形总个数 1 4 9 16 25
请根据表中数据回答：
（1）观察"外层增加的小正方形个数"这一行，说一说从第2个图形起，每次比前一个多几个小正方形，并写出第6个图形外层增加的小正方形个数；
（2）根据规律求 1＋3＋5＋7＋9＋11＋13 的和，并说明这个和与"项数"之间有什么关系；
（3）小华说："从1开始连续加奇数，加到第99个奇数，和是99²。"请判断他的说法是否正确，并算出这个和是多少。
要求：写出必要的计算过程与思考依据。
答案：（1）观察表格第二行：1、3、5、7、9……后一个数总比前一个数大2，即每次增加2个小正方形（它们是连续奇数）。第5个图形外层增加9个，所以第6个图形外层增加 9＋2＝11（个）。
（2）1＋3＋5＋7＋9＋11＋13 一共有7个加数（连续奇数1到13，项数为7），所以
1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＝7²＝49。
关系：从1开始的连续奇数之和，等于项数的平方；反过来，项数＝(末项＋1)÷2，本题项数为 (13＋1)÷2＝7。
（3）小华的说法正确。从1开始的连续奇数，第99个奇数是 2×99－1＝197，共99项，所以
1＋3＋5＋…＋197＝99²＝9801。
答：（1）每次多2个，第6个图形外层增加11个；（2）和为49，等于项数7的平方；（3）说法正确，和为9801。
解析：本题以校园数学兴趣小组的探究记录为材料，考查"数与形"中"从1开始连续奇数之和等于项数的平方"这一规律。
思路：先从表格中提取"外层增加个数为连续奇数、总个数为平方数"的规律，再迁移到求和与逆用规律。
易错点：
① 项数数错——把 1＋3＋…＋13 误数成6项或8项，正确做法是用 (末项＋1)÷2 计算项数，(13＋1)÷2＝7；
② 不画图硬想，把"外层增加"误当成"总个数"，导致第（1）问写成36而不是11；
③ 第（3）问把"第99个奇数"当成99，实际上应是 2×99－1＝197，项数仍是99，和为99²＝9801，不能写成197²。
6解答题
学校开展校园阅读打卡活动，六（2）班按小组统计打卡情况。已知信息：
第一组：全组同学本学期一共打卡 210 次，其中女生打卡次数占全组的 2/7；
第二组：全组有 24 人，参加读书分享会的人数占全组人数的 3/8；
第三组：同学们用小正方形摆成长方形图案装饰阅读角，图案共排成 4 行，每行小正方形的个数依次是 1、3、5、7（第一行 1 个，第二行 3 个，第三行 5 个，第四行 7 个），每个小正方形的边长是 2 厘米。
请根据以上信息，分别解答下面三个问题：
（1）第一组女生一共打卡多少次？
（2）第二组参加读书分享会的有多少人？
（3）第三组图案中小正方形一共有多少个？请用数与形的规律说明你的算法，并求出这个图案的总面积是多少平方厘米。
答案：（1）全组打卡 210 次，女生占 2/7，则女生打卡次数为 210 × 2/7 = 210 ÷ 7 × 2 = 30 × 2 = 60（次）。
（2）全组 24 人，参加读书分享会的占 3/8，则人数为 24 × 3/8 = 24 ÷ 8 × 3 = 3 × 3 = 9（人）。
（3）每行小正方形个数依次为 1、3、5、7，是从 1 开始的连续奇数，共 4 项。根据数与形的规律，从 1 开始连续奇数之和等于项数的平方，所以总个数为 1 + 3 + 5 + 7 = 4² = 16（个）。
每个小正方形边长为 2 厘米，面积为 2 × 2 = 4（平方厘米），所以图案总面积为 16 × 4 = 64（平方厘米）。
答：（1）第一组女生打卡 60 次；（2）第二组参加读书分享会的有 9 人；（3）小正方形共 16 个，图案总面积 64 平方厘米。
解析：第（1）问考查求一个数的几分之几是多少，用乘法：210 × 2/7，易错点是误写成 210 ÷ 2/7，或忘记约分导致计算出错。第（2）问同样是分数乘法意义的直接应用，24 × 3/8，注意是求人数，结果应为整数，若算出小数说明列式有误。第（3）问是数与形的核心考点：先数项数（1、3、5、7 共 4 项，不能把最后一项 7 当成项数），再用规律「和 = 项数²」得 4² = 16 个；最后别忘了题目问的是面积，需要先求一个小正方形的面积 2 × 2 = 4 平方厘米，再乘 16 得 64 平方厘米。常见失分点：只答出个数没求面积；或把边长 2 厘米直接当面积；或项数数错（如当成 7 项）。
7解答题
学校数学兴趣小组开展"数形结合"探究活动，老师用小正方形拼图形来研究连续奇数相加的规律，并把结果整理成下面的表格：
加法算式 加数的个数 和
------------- ---------- -------
1 1 1 = 1²
1 + 3 2 4 = 2²
1 + 3 + 5 3 9 = 3²
1 + 3 + 5 + 7 4 16 = 4²
请根据表格中呈现的规律回答下面的问题：
（1）照这样接着写两行，把表格补充完整（写出加法算式与和）；
（2）不用逐个相加，直接算出 1 + 3 + 5 + … + 21 的和是多少；
（3）已知 1 + 3 + 5 + … + (2n - 1) = n²（n 为正整数），小马虎在计算"从 1 开始的连续奇数相加"时，误把最后一个加数 25 看成了 23，他算出的和与正确结果相差多少？请说明理由。
答案：（1）第 5 行：1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 5²；第 6 行：1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36 = 6²。
（2）因为 2n - 1 = 21，所以 n = 11，即 1 + 3 + 5 + … + 21 共 11 项，和为 11² = 121。
（3）正确算式为 1 + 3 + 5 + … + 25，此时 2n - 1 = 25，n = 13，和为 13² = 169；他误看成 1 + 3 + 5 + … + 23，此时 2n - 1 = 23，n = 12，和为 12² = 144。相差 169 - 144 = 25。理由：少算了最后一个加数 25，所以和比正确结果少 25。
解析：本题以"数与形"表格为材料，考查从数据中提取"从 1 开始的连续奇数之和 = 项数的平方"这一规律。
（1）关键是先确定第 5 行、第 6 行各加到哪个奇数：第 n 行最后一个加数是 2n - 1，故第 5 行加到 9，第 6 行加到 11，易错点是把第 5 行误写成加到 11（多算一项）。
（2）易错点一：项数数错。由 2n - 1 = 21 解得 n = 11，不是 10；易错点二：把 21 当成项数直接算 21²。正确结果为 11² = 121。
（3）易错点：误以为相差就是 23 - 21 = 2，或直接用 25² 计算。实际上项数由最后一个奇数决定：加到 25 时 n = 13，加到 23 时 n = 12，和分别为 169 与 144，相差 25，恰好就是漏掉的那一项，这正体现了"数缺形时少直观"的数形结合思想。
8解答题
六（2）班布置"数学文化墙"，同学们把小正方形按下面的方式一层一层地拼成大正方形图案，并用算式表示每一层增加的小正方形个数：
层数（从里向外） 这一层增加的小正方形个数 拼成的大正方形中小正方形总个数
---------------- ------------------------ ------------------------------
第 1 层 1 1
第 2 层 3 1 + 3 = 4
第 3 层 5 1 + 3 + 5 = 9
已知：每增加一层，增加的小正方形个数恰好比前一层多 2 个；拼 n 层时，小正方形总个数为 1 + 3 + 5 + … + (2n - 1) = n²。
请根据以上信息回答：
（1）拼第 6 层时，这一层增加多少个小正方形？拼成 6 层后，小正方形一共有多少个？
（2）六（2）班一共有 40 名同学，每人需要 1 个小正方形贴在文化墙上。如果用"从里向外拼正方形"的方式分发，至少要拼到第几层，小正方形的总个数才够全班每人 1 个？
（3）美术老师说："文化墙上的图案是一个边长为 12 分米的大正方形（由若干小正方形拼成），中间挖去一个边长为 8 分米的小正方形，剩下的部分做一个环形展板的边框装饰。"请算出这个环形展板（外正方形减去内正方形后剩下部分）的面积是多少平方分米。
答案：（1）第 6 层增加的小正方形个数为 2 × 6 - 1 = 11（个）；拼成 6 层后总数为 6² = 36（个）。
（2）拼 n 层共有 n² 个小正方形。因为 6² = 36 < 40，7² = 49 > 40，所以至少要拼到第 7 层，才够全班 40 人每人 1 个。
（3）外正方形面积为 12 × 12 = 144（平方分米），内正方形面积为 8 × 8 = 64（平方分米），环形展板面积为 144 - 64 = 80（平方分米）。
解析：本题以班级文化墙"拼正方形"的真实情境呈现数形结合材料，融合"连续奇数之和 = 项数的平方"与"大正方形减小正方形"的面积模型。
（1）易错点：项数数错。第 6 层增加的个数是 2 × 6 - 1 = 11，不是 13（把 6 层误当成第 7 层）；总个数用规律 6² = 36，不必逐个相加。
（2）易错点：只算 6² = 36 就答第 6 层，忽略了 36 < 40 不够分。正确思路是找"第一个不小于 40 的平方数"：6² = 36 不够，7² = 49 够，故至少第 7 层。
（3）易错点一：误把"环形"理解为圆环，套用 π(R² - r²)，本题材料明确是正方形环，应直接用大面积减小面积；易错点二：把边长差 12 - 8 = 4 的平方 16 当作答案，犯了"(大边长 - 小边长)²"的典型错误。正确计算为 12² - 8² = 144 - 64 = 80（平方分米）。