1选择题
为保护湿地，工作人员把一段圆柱形木料沿与底面平行的方向横切一刀，又沿底面直径纵切一刀，研究它的截面形状。已知信息：这段圆柱形木料的底面直径是 6 厘米，高是 10 厘米。下面关于这两次切割所得截面的说法，正确的是（ ）。
- A. 横切得到的截面是椭圆形，纵切得到的截面是正方形
- B. 横切得到的截面是与底面相同的圆形，纵切得到的截面是长 10 厘米、宽 6 厘米的长方形
- C. 横切得到的截面是扇形，纵切得到的截面是长 6 厘米、宽 6 厘米的正方形
- D. 横切得到的截面是与底面相同的圆形，纵切得到的截面是长 10 厘米、宽 3 厘米的长方形
答案：B
解析：本题考查圆柱的横截面与纵截面，属于概念辨析题。
第一步，沿与底面平行的方向横切：因为圆柱上下两个底面是完全相同的圆，平行于底面切开后得到的截面形状、大小都与底面相同，是圆形（不是椭圆、不是扇形）。据此排除 A、C。
第二步，沿底面直径纵切：纵切是指沿着圆柱的高切开，切面是一个长方形。长方形的长等于圆柱的高 10 厘米，宽等于圆柱的底面直径 6 厘米（不是半径 3 厘米）。
易错点一：误以为纵切截面一定是正方形。只有当高等于底面直径时才是正方形，本题高 10 厘米 ≠ 直径 6 厘米，所以是长方形。
易错点二：把纵切长方形的「宽」误认为是底面半径 3 厘米。沿直径切开，切面宽度就是直径 6 厘米，据此排除 D。
易错点三：把横切截面误认为椭圆或扇形，源于空间想象不足，可动手用萝卜、橡皮泥模拟切割帮助理解。
故选 B。
2选择题
在「植树造林、防风固沙」活动中，同学们把运来的沙土堆成一个近似圆锥形的沙堆。已知这个沙堆的底面半径是 3 米，高是 1.5 米。下面关于这个沙堆的说法，正确的是（ ）。（π 取 3.14）
- A. 这个沙堆的体积是 42.39 立方米
- B. 这个沙堆的体积是 14.13 立方米
- C. 与这个沙堆等底等高的圆柱，体积也是 14.13 立方米
- D. 圆锥体积的计算方法是「底面积 × 高」，与圆柱完全一样
答案：B
解析：先算底面积：S = πr² = 3.14 × 3² = 3.14 × 9 = 28.26（平方米）。
再算圆锥体积：V锥 = (1/3) × S × h = (1/3) × 28.26 × 1.5 = 14.13（立方米），所以 B 正确。
逐项判断：
A 选项 42.39 立方米是 28.26 × 1.5 的结果，即忘记除以 3，把圆锥当成了圆柱，错误。
C 选项：等底等高的圆柱体积应为 28.26 × 1.5 = 42.39 立方米，是圆锥体积的 3 倍，不是 14.13 立方米，错误。
D 选项：圆锥体积必须再除以 3，即 V = (1/3)Sh，与圆柱的 V = Sh 不同，错误。
易错点：一是圆锥体积忘记除以 3；二是误认为等底等高的圆柱与圆锥体积相等，实际是 3 倍关系。故选 B。
3填空题
某自然保护区用回收塑料制作圆柱形与圆锥形两种昆虫标本收纳筒，用来开展生态科普。已知信息：两种收纳筒的底面完全相同（底面直径都是6厘米），高都是10厘米；圆柱形收纳筒上下都有底，圆锥形收纳筒只有一个圆形底面，顶上是尖的。π取3.14。
（1）圆柱形收纳筒的底面半径是____厘米，底面积是____平方厘米。
（2）圆柱形收纳筒的侧面积是____平方厘米，它的表面积是____平方厘米。
（3）圆柱形收纳筒的容积是____立方厘米。
（4）圆锥形收纳筒的容积是____立方厘米，它与圆柱形收纳筒容积的比是____∶____。
（5）一个上小下大的塑料桶，上下两个底面大小不等，它____（填「是」或「不是」）圆柱。
答案：（1）半径 6 ÷ 2 = 3（厘米）；底面积 3.14 × 3² = 3.14 × 9 = 28.26（平方厘米）。
（2）侧面积 = 底面周长 × 高 = 3.14 × 6 × 10 = 188.4（平方厘米）；表面积 = 侧面积 + 两个底面积 = 188.4 + 28.26 × 2 = 188.4 + 56.52 = 244.92（平方厘米）。
（3）容积 = 底面积 × 高 = 28.26 × 10 = 282.6（立方厘米）。
（4）圆锥容积 = 底面积 × 高 ÷ 3 = 28.26 × 10 ÷ 3 = 94.2（立方厘米）；圆锥与圆柱容积的比 = 1∶3。
（5）不是。
解析：本题把圆柱与圆锥的特征、表面积、体积放在同一情境中对比考查。易错点：①圆柱表面积漏算一个底面（本题圆柱收纳筒有上下两个底，应加两个底面积）；②圆锥体积忘记除以3，直接用底面积×高；③把直径6厘米直接当半径代入 πr²；④侧面积误用底面积×高；⑤第（5）问受生活经验干扰，误认为「桶状」就是圆柱——圆柱要求两个底面是完全相同且平行的圆，上下底不等的是圆台，不是圆柱。
4解答题
某湿地保护区要新建一个圆柱形生态蓄水池，用来收集雨水供候鸟饮用。已知信息：蓄水池的底面直径是4米，池深1.5米；池底和内壁都要抹上防水水泥，池口敞开（即蓄水池有底无盖）。
（1）这个蓄水池的底面半径是多少米？
（2）抹水泥的面积就是蓄水池的表面积吗？请判断并说明理由。
（3）求抹水泥部分的面积是多少平方米。（π取3.14，结果保留两位小数）
（4）若每平方米防水水泥的材料费是35元，抹完这个蓄水池共需材料费多少元？
答案：（1）底面半径 r = 4 ÷ 2 = 2（米）。
（2）不是。圆柱的表面积 = 侧面积 + 两个底面积，而这个蓄水池池口敞开，只需要抹一个底面和侧面（内壁），所以抹水泥的面积比表面积少算了一个底面积，二者不相等。
（3）底面积 = πr² = 3.14 × 2² = 3.14 × 4 = 12.56（平方米）。
侧面积 = 底面周长 × 高 = πd × h = 3.14 × 4 × 1.5 = 18.84（平方米）。
抹水泥面积 = 12.56 + 18.84 = 31.40（平方米）。
（4）31.4 × 35 = 1099（元）。
答：底面半径是2米；抹水泥面积不等于表面积，因为蓄水池无盖，只算一个底面和侧面；抹水泥面积是31.40平方米；共需材料费1099元。
解析：本题考查圆柱表面积在实际情境中的应用，关键是先判断要算哪几个面。易错点有三：①把「表面积」与「抹水泥面积」混为一谈，直接套用「侧面积＋两个底面积」，多算了一个底面（蓄水池无盖）；②把直径4米直接当作半径代入 πr²，导致底面积算错；③侧面积误用「底面积 × 高」，正确应为「底面周长 × 高」，即 πd × h 或 2πrh。第（4）问还要注意单位与数量关系：总价 = 单价 × 面积。
5解答题
某自然保护区为了给一条人工溪流做护岸，需要用铁皮制作一段圆柱形的无盖引水管。已知信息：这段引水管的底面直径是 4 分米，长（高）是 15 分米，管子两端都不封底，只围出侧面。
（1）做这样一个引水管，至少需要铁皮多少平方分米？（接口处不计）
（2）小林说：「圆柱的表面积等于侧面积加两个底面积，所以这段引水管的用铁皮量就是侧面积加两个底面积。」他说得对吗？请结合实际情况说明理由，并指出他错在哪里。
（3）若把这段引水管竖直放置并一端封底做成一个无盖水桶（桶的深度仍为 15 分米），需要铁皮多少平方分米？
答案：（1）引水管只有侧面，没有底面。
底面周长 = πd = 3.14 × 4 = 12.56（分米）
侧面积 = 底面周长 × 高 = 12.56 × 15 = 188.4（平方分米）
答：至少需要铁皮 188.4 平方分米。
（2）小林说得不对。圆柱的表面积公式「侧面积加两个底面积」只适用于两个底面都完整的圆柱（如圆柱形罐头盒）。这段引水管两端都不封底，实际上一个底面也没有，所以只需算侧面积，不能加两个底面积。小林错在没有根据物体的实际情况判断需要计算哪几个面，直接套用了表面积公式。
（3）无盖水桶有侧面和 1 个底面。
底面半径 r = 4 ÷ 2 = 2（分米）
底面积 = πr² = 3.14 × 2² = 3.14 × 4 = 12.56（平方分米）
需要铁皮 = 侧面积 + 1 个底面积 = 188.4 + 12.56 = 200.96（平方分米）
答：需要铁皮 200.96 平方分米。
解析：本题考查圆柱表面积公式的灵活运用，核心是「根据物体实际情况判断要算哪几个面」。
易错点一：看到「圆柱」就直接套用「侧面积＋两个底面积」，忽略引水管两端通空、无底面的事实，多算 2 个底面积。
易错点二：计算侧面积时误用半径求周长。周长应为 πd 或 2πr，本题 d = 4 分米，周长 = 3.14 × 4 = 12.56 分米，若误写成 3.14 × 2 就会算错一半。
易错点三：第（3）问无盖水桶只算 1 个底面，学生容易忘加底面或重复加两个底面。
本题数据单位已统一为分米，若遇到厘米、米混用时须先统一单位再计算。
对比记忆：通风管（无底）→ 只算侧面积；无盖水桶 → 侧面积 + 1 个底；圆柱形罐头盒 → 侧面积 + 2 个底。
6解答题
某自然保护区要修建一个圆柱形蓄水池，用来储存雨水浇灌树苗。已知信息：蓄水池从里面量底面直径是4米，深2米，池壁厚度不计。
（1）这个蓄水池最多能蓄水多少立方米？（π取3.14）
（2）保护区管理员说：「蓄水池的容积就是它的表面积乘深。」你认为这种说法对吗？请说明理由，并写出正确的求法。
（3）如果要在蓄水池的内侧面和底面涂上防水涂料，需要涂多少平方米？（π取3.14）
答案：（1）底面半径 r = 4 ÷ 2 = 2（米），底面积 S = πr² = 3.14 × 2² = 3.14 × 4 = 12.56（平方米）。容积 V = S × h = 12.56 × 2 = 25.12（立方米）。答：最多能蓄水 25.12 立方米。
（2）这种说法不对。「容积 = 表面积 × 深」混淆了表面积与底面积：表面积是面积的总和（含侧面和两个底面），单位仍是平方米，乘深得到的并不是体积。正确的求法是：容积 = 底面积 × 高（深），即 V = πr²h。
（3）涂防水涂料只需涂内侧面和底面（不涂上面）。侧面积 = 底面周长 × 高 = 3.14 × 4 × 2 = 25.12（平方米），底面积 = 12.56（平方米），共 25.12 + 12.56 = 37.68（平方米）。答：需要涂 37.68 平方米。
解析：本题考查圆柱体积公式的实际应用，同时辨析「表面积」与「底面积」这对易混概念。
（1）易错点：把直径 4 米直接当成半径代入公式；把体积公式误记为「底面周长 × 高」。应先用 d ÷ 2 求半径，再用 V = πr²h。
（2）易错点：认为「表面积 × 高」也能求体积。表面积包含侧面和两个底面，与「底面积」不是同一概念，体积只能由底面积 × 高得到；这也说明「圆柱表面积漏算底面」「把底面积与表面积混为一谈」是常见错误。
（3）易错点：涂防水涂料的情境中误把两个底面都算上（蓄水池上面是开口的），或忘记算侧面。应审清「内侧面和底面」这一条件。
7解答题
某湿地公园用沙土堆一个圆锥形的小沙丘，供小动物栖息。已知信息：沙丘底面直径是6分米，高是4分米（π取3.14）。
（1）求这个圆锥形沙丘的体积。
（2）小林说：「圆锥体积就是底面积乘高，不用再除以3。」你同意吗？请说明理由。
（3）如果把这些沙土改堆成一个与沙丘等底等高的圆柱形沙堆，这个圆柱形沙堆的体积是多少立方分米？圆锥形沙丘的体积是它的几分之几？
答案：（1）底面半径 r = 6 ÷ 2 = 3（分米），底面积 S = πr² = 3.14 × 3² = 3.14 × 9 = 28.26（平方分米）。圆锥体积 V = S × h ÷ 3 = 28.26 × 4 ÷ 3 = 37.68（立方分米）。答：沙丘体积是 37.68 立方分米。
（2）不同意。圆锥体积公式是 V = 底面积 × 高 ÷ 3，必须除以 3；「底面积 × 高」求出的是与它等底等高的圆柱的体积，不是圆锥的体积。忘记除以 3 会把圆锥体积算成实际的 3 倍。
（3）等底等高的圆柱体积 = 28.26 × 4 = 113.04（立方分米）。圆锥体积是它的 1/3，即 113.04 ÷ 3 = 37.68（立方分米），与（1）结果一致。答：圆柱形沙堆体积是 113.04 立方分米，圆锥体积是它的 1/3。
解析：本题重点辨析圆柱与圆锥体积关系这一易混概念。
（1）易错点：忘记除以 3，直接用底面积 × 高；或把直径 6 分米当成半径。牢记口诀「圆柱体积底乘高，圆锥记得除以三」。
（2）易错点：误认为圆锥体积等于底面积乘高。应指出「底面积 × 高」是等底等高圆柱的体积，圆锥只有它的 1/3。
（3）易错点：把圆锥与圆柱的体积比误当作底面积比或高的比；或误以为「等底等高」时两者体积相等。等底等高时圆柱体积是圆锥的 3 倍，圆锥是圆柱的 1/3，这是本题的核心结论。
8解答题
为保护湿地生态，某自然保护区在湖边建了一个近似圆锥形的生态观测沙堆模型。工作人员测得这个沙堆模型的底面周长是 12.56 分米，高是 1.2 分米。
（1）请算出这个沙堆模型的底面半径和它的体积。（π 取 3.14）
（2）小明说：「如果把这个沙堆模型改成与它等底等高的圆柱，体积还是不变的。」小明说得对吗？请判断并说明理由，写出改后的圆柱体积是多少。
（3）如果每立方分米这样的沙子约重 1.5 千克，那么这个圆锥形沙堆模型里的沙子约重多少千克？
答案：（1）底面半径：12.56 ÷ 3.14 ÷ 2 = 2（分米）
圆锥体积：V = (1/3) × 3.14 × 2² × 1.2 = (1/3) × 3.14 × 4 × 1.2 = 5.024（立方分米）
答：底面半径是 2 分米，体积是 5.024 立方分米。
（2）小明说得不对。等底等高的圆柱体积是圆锥体积的 3 倍，圆锥体积只是等底等高圆柱体积的三分之一，所以改成圆柱后体积会变大。
改后的圆柱体积：V柱 = 3.14 × 2² × 1.2 = 15.072（立方分米）
（也可用 5.024 × 3 = 15.072 立方分米）
（3）沙子重量：5.024 × 1.5 = 7.536（千克）
答：这堆沙子约重 7.536 千克。
解析：本题综合考查圆锥体积公式 V = (1/3)πr²h 以及「等底等高时圆锥体积是圆柱体积的三分之一」这一核心关系。
（1）已知底面周长求半径是常见链条，正确做法是 r = C ÷ 2π = 12.56 ÷ 3.14 ÷ 2 = 2 分米。易错点：直接用周长除以 π 就当半径，漏除以 2；或先求半径时公式记混。
（2）这是概念辨析题。易错点：误认为「等底等高」则体积相等，混淆圆柱体积公式 V = Sh 与圆锥体积公式 V = (1/3)Sh，忘记圆锥体积要除以 3。正确说法是圆柱体积是圆锥的 3 倍。
（3）求重量属于「体积 × 单位体积重量」的应用，注意单位要写清「千克」，不要把立方分米与千克混为一谈。
（4）计算过程中若忘记乘 1/3，会把圆锥体积错算成 15.072 立方分米，这是最典型的错误。