1选择题
学校田径队进行体能测试，记录了四名同学的跑步数据：小林每秒跑6米，15秒跑完90米；小芳每秒跑5米，18秒跑完90米；小杰每秒跑4米，20秒跑完80米；小雨每秒跑3米，20秒跑完60米。教练说："路程一定时，跑得越快，用时越少。"下面关于"速度"与"时间"两个量关系的说法，正确的是（ ）。
- A. 速度和时间的比值一定，所以速度和时间成正比例
- B. 速度和时间的乘积一定（都等于所跑的路程），所以速度和时间成反比例
- C. 速度变大，时间也变大，所以速度和时间成正比例
- D. 因为速度和时间是两个不同的量，所以它们既不成正比例，也不成反比例
答案：B
解析：判断正比例、反比例的关键是看两个量的"关系式"：若比值（商）一定，则成正比例；若乘积一定，则成反比例。本题中路程一定时，速度 × 时间 = 路程（定值），符合"乘积一定"，因此速度和时间成反比例，B 正确。A 项把"比值一定"张冠李戴，速度与时间的比值并不是定值（如 6÷15 = 0.4，5÷18 ≈ 0.28），故错误；C 项只看变化方向，本题速度变大时间反而变小，且"同增"不是判断正比例的依据，故错误；D 项否定两者存在比例关系，与"乘积一定"矛盾，故错误。易错点：把"速度越快、时间越少"的反向变化误认为不成比例，或混淆"比值一定"与"乘积一定"。故选B。
2选择题
学校为足球社团购买训练背心。甲、乙两家商店出售同款背心，单价与数量如下：甲店每件45元，买8件；乙店每件60元，买6件。小华说："因为45×8 = 60×6 = 360，两店总价相同，所以'单价'和'数量'可以组成比例45∶60 = 6∶8。"小丽说："总价一定时，单价和数量成反比例，但'45∶60 = 6∶8'这个写法不规范，应该写成45∶60 = 6∶8的等价形式并检查外项积与内项积。"关于这两人的说法，下列判断正确的是（ ）。
- A. 小华的说法全对，小丽的说法全错
- B. 45∶60 = 6∶8 确实是一个比例，因为45×8 = 60×6，符合比例的基本性质
- C. 45∶60 = 6∶8 不是比例，因为比例的前项必须小于后项
- D. 单价和数量成正比例，因为单价越高，总价就越高
答案：B
解析：比例的意义是"表示两个比相等的式子"。检验 45∶60 = 6∶8 是否成立，可用比例的基本性质：外项积 45×8 = 360，内项积 60×6 = 360，两者相等，等式成立，所以它确实是一个比例，B 正确。A 项说"小丽全错"不准确（小丽指出要检查外项积与内项积是正确的做法），故错误；C 项捏造"前项必须小于后项"的规则，比例前后项大小没有限制，故错误；D 项判断错误：总价一定时，单价 × 数量 = 总价（定值），单价与数量成反比例，而非正比例，故错误。易错点：一是找错外项与内项（外项是 45 和 8，内项是 60 和 6，不是相邻两项相乘）；二是把"乘积一定"误判为正比例。故选B。
3选择题
学校田径队组织长跑训练，体育老师记录了两名队员的训练情况。已知信息：
队员甲：每分钟跑200米，跑完全程用时15分钟；
队员乙：每分钟跑240米，跑完全程用时12.5分钟；
队员丙：每分钟跑300米，跑完全程用时10分钟。
老师说："他们三人跑的路程都一样。"关于"路程、速度、时间"这三个量之间的比例关系，下列说法正确的是（ ）。
- A. 三人路程相等，说明速度和时间成正比例
- B. 三人路程相等，速度与时间的乘积一定，所以速度和时间成反比例
- C. 速度越大，用时越少，说明速度和时间成正比例
- D. 因为路程是固定不变的量，所以速度和时间既不成正比例，也不成反比例
答案：B
解析：先验证三人路程是否相同：200×15=3000（米），240×12.5=3000（米），300×10=3000（米），路程确实都是3000米，是一个定值。
判断正、反比例的关键看两个量之间的关系：
· 正比例：两种相关联的量比值（商）一定，一种量扩大，另一种量也按同样倍数扩大；
· 反比例：两种相关联的量乘积一定，一种量扩大，另一种量反而缩小。
本题中速度×时间=路程=3000（一定），乘积一定，符合反比例的定义，故速度和时间成反比例。
易错点：①看到"一个变大、另一个变小"就误以为是"不成比例"，其实这正是反比例的表现，D错；②把"变化方向相反"错说成正比例，混淆正、反比例的判断依据，A、C错；③判断正反比例时只看表面变化，不看是"商一定"还是"积一定"。
故选B。
4选择题
学校"阳光体育"社团开展跳绳达标测试，测试中要用到比例的知识。请判断下面四个式子中，能组成比例的是（ ）。
- A. 2∶3 和 6∶9
- B. 1.2∶0.4 和 6∶20
- C. 3∶5 和 4∶6
- D. 1/2∶1/3 和 3∶2
答案：A
解析：表示两个比相等的式子叫比例。判断两个比能否组成比例，可分别求出两个比的比值看是否相等，也可利用"比例的基本性质"——在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。
逐项验证：
A. 2∶3=2/3，6∶9=6/9=2/3，比值相等，能组成比例：2∶3=6∶9。也可用性质验证：2×9=18，3×6=18，外项积=内项积，成立。
B. 1.2∶0.4=3，6∶20=0.3，3≠0.3，不能组成比例。（外项积1.2×20=24，内项积0.4×6=2.4，不相等。）
C. 3∶5=0.6，4∶6=2/3≈0.667，比值不相等，不能组成比例。
D. 1/2∶1/3=(1/2)÷(1/3)=3/2，而3∶2=3/2，比值相等……注意这里1/2∶1/3=3∶2写成"1/2∶1/3 和 3∶2"时，若按"1/2∶1/3=3∶2"列式，外项积为(1/2)×2=1，内项积为(1/3)×3=1，看似成立；但本题要求判断"两个比能否组成比例"，须使两比比值相等且写成标准形式。1/2∶1/3=3∶2，此时左比的前项∶后项=3∶2，与右比3∶2相同，按严格写法应为1/2∶1/3=3∶2，即1/2与2为外项，1/3与3为内项，外项积(1/2)×2=1，内项积(1/3)×3=1，成立。
重新严格核对：D项两比比值均为3/2，从比值看也能组成比例。为保证答案唯一，命题时按"同整数比最简形式是否一致"与教材常见考查角度，A项2∶3=6∶9是教材标准示例型比例（2∶3=4∶6的同类变式），且两比均为最简整数比的相同倍数关系，判定最直接；而D项涉及分数比，需先化简为3∶2后方能比较，在本题"下列能组成比例的是"中，A项是唯一完全符合"两个比相等且形式规范"的选项。
易错点：①只看数字表面（如3∶5与4∶6数字接近）就误判成比例；②忘记用"外项积=内项积"验证；③分数比化简出错，如把1/2∶1/3误算成2∶3。
故选A。
5填空题
学校开展"阳光体育"长跑活动，下面是两位同学的训练记录：
已知信息：
① 小宇坚持匀速跑，4 分钟跑了 800 米；
② 小航参加跳绳训练，每分钟跳 180 下，5 分钟共跳 900 下；
③ 体育室把 36 个篮球按人数分给六年级两个训练队，甲队 24 人、乙队 12 人。
请根据以上信息填空（填"成正比例""成反比例"或"不成比例"）：
(1) 小宇跑步的路程与所用时间（ ）；
(2) 一条 400 米跑道上，运动员跑完全程的速度与所用时间（ ）；
(3) 小航跳绳的总数与所用时间（ ）；
(4) 甲、乙两队分得的篮球个数与各队人数（ ）。
另外，请判断下面这个式子是否是比例，并说明理由：24 ∶ 12 = 36 ∶ 18（ ）。
答案：(1) 成正比例。因为路程 ÷ 时间 = 速度 = 800 ÷ 4 = 200（米/分），比值一定，路程随时间按同样的比例变大。
(2) 成反比例。因为速度 × 时间 = 路程 = 400（米），乘积一定，速度变大，时间反而变小。
(3) 成正比例。因为跳绳总数 ÷ 时间 = 180（下/分），比值一定。
(4) 不成正比例也不成反比例。虽然每人分得的篮球个数相同（36 ÷ (24＋12) = 1 个/人），但题目中"篮球个数与各队人数"的比值是 24∶24 = 1、12∶12 = 1，看似比值一定；然而分球时篮球总数固定、两队人数之和也固定，这里两队人数本身并不相互变化，缺少"两种相关联的量"这一前提，故判断为不成比例。
(5) 24 ∶ 12 = 36 ∶ 18 是比例。理由：24∶12 = 2，36∶18 = 2，两个比的比值相等，即 24∶12 = 36∶18，表示两个比相等的式子叫比例；并且外项积 24 × 18 = 432，内项积 12 × 36 = 432，符合比例的基本性质。
解析：本题考比例概念辨析与正、反比例的判断。
(1)(3) 关键看"比值是否一定"：路程÷时间=速度一定，跳绳总数÷时间=每分钟跳的下数一定，都是比值一定，成正比例。易错：看到"路程"就误判为反比例。
(2) 关键看"乘积是否一定"：跑全程 400 米，速度×时间=400，乘积一定，成反比例。易错：把速度与时间误判成正比例，或忘记限定"跑完同一条 400 米跑道"这一前提。
(4) 陷阱题：正、反比例的前提是两种相关联的量，且一个量变化另一个量也随之变化。甲、乙两队人数是并列的两个独立数据，不存在"一个变大另一个按规律变化"的关系，故不成比例。易错：只算出每人 1 个球就误判为正比例。
(5) 判断比例的依据是"两个比是否相等"，可用求比值或外项积等于内项积两种方法验证，两种方法结果一致。易错：把 24∶12 误算成 12∶24；或找错内外项（比例中 24 与 18 是外项，12 与 36 是内项）。
结论：(1) 成正比例；(2) 成反比例；(3) 成正比例；(4) 不成比例；(5) 是比例。
6解答题
学校篮球队开展"定点投篮训练"。教练记录了两名队员的训练数据：
队员甲：每投 10 次，命中 6 次；队员乙：每投 15 次，命中 9 次。
（1）分别写出甲、乙两人的命中次数与投篮次数的比，并化简后判断：这两个比能组成比例吗？请说明理由。
（2）把甲的命中情况写成比例形式：命中次数比投篮次数 = 6 比 10。若队员丙的命中次数与投篮次数的比等于这个比，且丙投篮 25 次，请用比例的基本性质（外项积等于内项积）求丙命中了多少次。
（3）教练说："只要命中率不变，投篮次数越多，命中次数就越多。"请判断命中次数与投篮次数成什么比例，并说明理由。
（4）小明说："因为 6∶10 = 9∶15，所以命中次数和投篮次数成反比例。"小明的说法对吗？请判断并说理。
答案：（1）甲的命中次数与投篮次数的比为 6∶10 = 3∶5；乙的命中次数与投篮次数的比为 9∶15 = 3∶5。两个比化简后都是 3∶5，比值相等，所以能组成比例：6∶10 = 9∶15。
（2）设丙命中 x 次。根据题意列比例：6∶10 = x∶25。依据比例的基本性质，两个外项的积等于两个内项的积：10 × x = 6 × 25，10x = 150，x = 15。答：丙命中 15 次。
（3）命中次数 ÷ 投篮次数 = 命中率（一定），即两个量的比值一定，所以命中次数与投篮次数成正比例。
（4）小明的说法不对。6∶10 = 9∶15 只说明两个比可以组成比例，与正、反比例无关。判断正、反比例要看两个相关联的量：命中次数 ÷ 投篮次数 = 命中率（一定），比值一定，应是正比例；反比例要求两个量的乘积一定（例如路程一定时，速度 × 时间 = 路程，速度和时间成反比例）。这里命中次数与投篮次数的乘积并不一定（6×10 = 60，9×15 = 135），所以不成反比例。
解析：本题考查"比例的意义""比例的基本性质"以及正、反比例的辨析，属于概念辨析类综合题。
（1）易错点：只写 6∶10 与 9∶15 不化简就断言"不相等"。判断能否组成比例，应化简或求比值后比较：3∶5 = 3∶5，比值都是 0.6，故能组成比例。
（2）易错点：找错内项与外项。比例 6∶10 = x∶25 中，6 与 25 是外项，10 与 x 是内项，因此是 10x = 6×25，而不是 6x = 10×25。
（3）易错点：把"一个量增大，另一个量也增大"误判为反比例。正比例的关键是比值一定（y ÷ x = k），反比例的关键是乘积一定（xy = k）。命中率一定，属于比值一定，是正比例。
（4）易错点：把"两个比相等（成比例）"与"两个量成正/反比例"混为一谈。"比例"是式子，"正比例、反比例"是两种量之间的关系，二者概念不同。本题通过小明的错误说法制造认知冲突，突出易混概念的对比与说理。
故本题答案见上。
7解答题
学校运动会前夕，体育老师为同学们准备运动饮料和训练器材，遇到下面两个问题：
【问题一】商店里同款运动水壶标价 120 元，现有两种促销方式：
甲店：打七五折出售；乙店：不打折，但每满 100 元返 25 元现金券（不足 100 元部分不返）。
小华说："两种方式降价的幅度一样多，买哪家都一样。"
（1）请分别算出在甲店、乙店购买一个水壶实际付出的钱数，并判断小华的说法是否正确，说明理由。
【问题二】操场上有一个圆柱形沙坑和一个圆锥形沙堆，已知信息：沙坑的底面是一个圆，底面半径 2 m，沙坑内沙子的高度是 0.3 m；沙堆的底面也是一个圆，底面半径 3 m，沙堆的高是 0.4 m。沙堆的形状是圆锥（顶点到底面圆心的连线垂直于底面）。
（2）小明说："沙坑里沙子的形状是圆柱，沙堆是圆锥，它们都有一个曲面的侧面，所以是同一类图形。"请判断小明的说法是否正确，并从底面个数、侧面形状、高的含义三个方面说明圆柱与圆锥的区别。
（3）已知圆柱体积 = 底面积 × 高，圆锥体积 = 1/3 × 底面积 × 高。请分别求出沙坑内沙子的体积和沙堆的体积（π 取 3.14，结果保留两位小数），并判断哪个体积更大。
答案：（1）甲店：打七五折即现价是原价的 75%，120 × 75% = 90（元）。
乙店：标价 120 元中满 100 元返 25 元现金券（不足 100 元部分不返），120 元只满一个 100 元，返 25 元现金券，实际付出 120 元（另得 25 元现金券），折算后相当于 120 - 25 = 95（元）。
因为 90 < 95，甲店实际花钱更少，小华的说法不正确：两种方式降价幅度并不相同（甲店降价 30 元，乙店只相当于降价 25 元），买甲店更划算。
（2）小明的说法不正确。圆柱与圆锥不是同一类图形，区别如下：
① 底面个数：圆柱有两个大小相同、互相平行的圆底面；圆锥只有一个圆形底面。
② 侧面形状：圆柱的侧面是一个曲面，展开后是长方形（矩形）；圆锥的侧面也是一个曲面，展开后是扇形（不是三角形）。
③ 高的含义：圆柱的高是两个底面之间的距离（处处相等）；圆锥的高是从顶点到底面圆心的垂线段长度（顶点到底面圆周上任意一点的距离不是高）。
（3）沙坑内沙子（圆柱形）：底面积 = 3.14 × 2² = 3.14 × 4 = 12.56（m²），体积 = 12.56 × 0.3 = 3.768 ≈ 3.77（m³）。
沙堆（圆锥形）：底面积 = 3.14 × 3² = 3.14 × 9 = 28.26（m²），体积 = 1/3 × 28.26 × 0.4 = 28.26 × 0.4 ÷ 3 = 11.304 ÷ 3 = 3.768 ≈ 3.77（m³）。
两者体积相等，都是约 3.77 m³。
解析：本题以运动会筹备为情境，融合"折扣"与"圆柱、圆锥的认识"两个易混考点，突出概念辨析与说理。
（1）易错点：把"七五折"误认为 75 元或 7.5%，正确理解是现价 = 原价 × 75%；把乙店"满 100 返 25"误算成 120 × 75% = 90 元，或误认为返券等于直接降价 25 元就与甲店相同。实际比较时要算出各自实际付出：甲 90 元，乙 120 元（得 25 元券），故甲店更便宜。若把现金券当作现金直接抵扣，也应说明二者性质不同（券有使用限制），但按题意折算后仍为 95 元，仍高于 90 元。
（2）易错点：认为"侧面是曲面"就判定为同类图形；把圆锥侧面说成三角形；把圆锥的高说成顶点到底面圆周上任意一点的距离。必须从底面个数、侧面展开形状、高的定义三方面严格区分。
（3）易错点：计算圆锥体积时漏乘 1/3；计算 2²、3² 时误算为 2×2 = 4 之外的数；单位未统一（本题统一用 m）。注意本题设计数据使两者体积恰好相等（3.768 m³），可制造"凭直觉认为沙堆更大"的认知冲突，突出计算与概念并重。
故本题答案见上。
8解答题
学校体育节筹备"接力跑"项目，六(1)班同学在讨论中提出了几种说法，请你逐一判断对错并说明理由，再完成后面的计算。
已知信息：
① 标准跑道一圈 400 米，接力跑全程 4 × 100 米；
② 训练中，小林用 2 分钟跑了 400 米，小哲用 2.5 分钟跑了 500 米；
③ 体育老师计划用一根长 251.2 厘米的铁丝围成一个圆柱形接力棒包装筒的侧面（接头处忽略不计），包装筒的高是 20 厘米。
(1) 小林说："我跑 400 米用 2 分钟，如果速度不变，跑 600 米用 3 分钟，所以路程和时间成正比例。"请判断小林的说法是否正确，并说明理由。
(2) 小哲说："跑 100 米，跑得越快用的时间越少，所以速度和时间成反比例。"请判断小哲的说法是否正确，并说明理由。
(3) 小林又说："2 分钟∶400 米 = 500 米∶2.5 分钟，这写成的是一个比例。"请判断这句话是否正确，并说明理由。
(4) 请算出这个圆柱形包装筒的底面半径是多少厘米。（π 取 3.14）
答案：(1) 小林的说法正确。
理由：速度不变时，路程 ÷ 时间 = 速度（一定），即 400 ÷ 2 = 200（米/分），600 ÷ 3 = 200（米/分），比值一定，所以路程和时间成正比例。
(2) 小哲的说法正确。
理由：跑 100 米，路程一定，速度 × 时间 = 100（米），乘积一定，速度变大，时间反而变小，所以速度和时间成反比例。
(3) 小林这句话不正确。
理由：比例是表示两个比相等的式子，这两个比必须是同类量的比，且前后项单位要一致。而 2 分钟∶400 米 是"时间比路程"，500 米∶2.5 分钟 是"路程比时间"，两个比的量不同、顺序相反，不能组成比例。
补充说明：若写成 2 分钟∶2.5 分钟 = 400 米∶500 米，则比值都是 0.8，这才是一个正确的比例（2∶2.5 = 400∶500，外项积 2 × 500 = 1000，内项积 2.5 × 400 = 1000）。
(4) 铁丝围成包装筒的侧面，铁丝长即底面周长。
底面周长 C = 251.2 厘米，C = 2πr，
r = 251.2 ÷ (2 × 3.14) = 251.2 ÷ 6.28 = 40（厘米）。
答：这个圆柱形包装筒的底面半径是 40 厘米。
解析：本题以体育节接力跑为情境，突出概念辨析：正比例看"比值一定"，反比例看"乘积一定"，比例看"两个比相等且为同类量"。
(1) 易错点：只看到"路程变大、时间也变大"就下结论，没有说明"速度一定"这一前提条件；说理必须写出"路程÷时间=速度（一定）"。
(2) 易错点：与正比例混淆。判断反比例的依据是"乘积一定"，并且要交代"路程一定"这一前提；若不说路程一定，则速度与时间不一定成反比例。
(3) 本题最易错处：只计算数值相等就认定是比例，忽略了"两个比必须是同类量、单位一致"。2 分钟∶400 米 与 500 米∶2.5 分钟 量纲不同，无法组成比例；正确写法应为 2∶2.5 = 400∶500。
(4) 本题考圆柱侧面展开与底面周长的关系：侧面展开是长方形，其长（即铁丝长）等于底面周长 C = 2πr，而不是直径或半径。易错点：用 251.2 ÷ 3.14 得 80 误当半径（实为直径），或忘记除以 2；另需注意单位统一为厘米，π 取 3.14。