1选择题
某自然保护区在一片滩涂上设置监测样点，工作人员把 23 只孵化不久的小海龟分别放入 5 个保温箱中（每只小海龟都必须放进某个保温箱）。下面关于保温箱中小海龟只数的说法，正确的是（ ）。
- A. 无论怎么放，总有一个保温箱里至少放了 5 只小海龟
- B. 无论怎么放，总有一个保温箱里至少放了 4 只小海龟
- C. 只有把小海龟平均分到各箱时，才会有保温箱里至少放 5 只小海龟
- D. 无论怎么放，总有一个保温箱里至少放了 3 只小海龟
答案：A
解析：小海龟相当于“物体”，保温箱相当于“抽屉”。物体数 23 除以抽屉数 5：23 ÷ 5 = 4……3，商是 4，余数是 3。有余数时，至少数 = 商 + 1 = 4 + 1 = 5（只），即总有一个保温箱里至少放了 5 只小海龟。易错点：一是有余数时忘记“商加一”，误选 B；二是把“至少数”与“平均数”混淆，误以为平均放时才成立，误选 C；三是把至少数算成余数 3，误选 D。结论：故选 A。
2选择题
某湿地公园开展「守护候鸟」志愿活动，共有 13 名同学报名参加。活动当天，他们每人认领一块观测记录牌，每块记录牌上标注了一个观测点编号，编号只有甲、乙、丙、丁四种。关于同学们认领记录牌的情况，下列说法一定正确的是（ ）。
- A. 一定有 4 名同学认领了同一编号的记录牌
- B. 一定有某个编号的记录牌，至少被 4 名同学认领
- C. 一定有某个编号的记录牌，至少被 3 名同学认领
- D. 每个编号的记录牌最多被 3 名同学认领
答案：B
解析：把 13 名同学看作 13 个物体，4 种编号看作 4 个鸽巢。
13 ÷ 4 = 3（名）……1（名），有余数，至少数 = 商 + 1 = 3 + 1 = 4（名）。
即一定存在某个编号的记录牌，至少被 4 名同学认领。
逐项辨析：
A 项「一定有 4 名同学认领了同一编号」表述看似接近，但易被误读为「恰好 4 名」或「某编号恰有 4 名」；鸽巢原理只能保证「至少 4 名」，不能保证「恰好 4 名」（例如 5、3、3、2 也符合条件）。相比之下 B 项「至少被 4 名同学认领」才是原理的准确表述，故 A 不选。
B 项与计算结果一致，正确。
C 项「至少被 3 名同学认领」虽然不假（至少 4 名必然也满足至少 3 名），但不是鸽巢原理给出的最强结论，属于「结论偏小、不精确」，不是本题要选出的准确说法。
D 项「每个编号最多被 3 名同学认领」是错误的，因为 4 × 3 = 12 < 13，13 名同学无法这样分配。
易错点：一是计算至少数时忘记「有余数要商加 1」，误选 C；二是混淆「至少」与「恰好」，误选 A。
故选 B。
3选择题
某自然保护区为开展鸟类环志监测，在一片林地里悬挂了 6 个完全相同的鸟巢观测箱，工作人员把 17 只同种小鸟随机放入这些观测箱中（允许一个箱里放多只，也允许有的箱空着）。下列说法中，一定正确的是（ ）。
- A. 至少有一个观测箱里放了 3 只或更多的小鸟
- B. 至少有一个观测箱里放了 4 只或更多的小鸟
- C. 每个观测箱里都至少放了 2 只小鸟
- D. 一定有 2 个观测箱里的小鸟只数相同
答案：A
解析：本题考查鸽巢问题（抽屉原理）中“至少数”的计算。把 17 只小鸟看作物体，6 个观测箱看作抽屉，用 17 ÷ 6 = 2……5，商是 2、余数是 5。因为有余数，所以至少数 = 商 + 1 = 2 + 1 = 3，即不管怎么放，总有一个观测箱里至少放了 3 只小鸟。选项 B 说“至少 4 只”是把商加错，17 只最多只能保证“至少 3 只”，4 只没有依据，故 B 错。选项 C 说“每个箱都至少 2 只”属于把“至少一个”扩大成“每一个”，抽屉原理只保证存在性，不保证每个抽屉都满足，例如 17 只全部放进一个箱子、其余 5 个空着，C 就不成立，故 C 错。选项 D 与鸽巢原理无关，例如 6 个箱子分别放 1、2、3、4、5、2 只或 0、0、0、0、0、17 只，小鸟只数不一定出现重复，故 D 错。易错点：① 有余数时忘记“商 + 1”；② 把“至少一个抽屉”误当成“每个抽屉”。故选 A。
4填空题
为观测湿地越冬水鸟，某自然保护区把 31 只同种水鸟随机放进 4 个观测棚中（允许有的棚空着，也允许一个棚里放多只）。
（1）根据鸽巢问题（抽屉原理），不管怎样放，总有一个观测棚里至少放了 ______ 只水鸟。
（2）如果保护区又增加了 1 个观测棚，共 5 个观测棚，仍然放入这 31 只水鸟，那么总有一个观测棚里至少放了 ______ 只水鸟。
（3）比较（1）（2）的结果可知：在水鸟总数不变的情况下，观测棚越多，保证的“至少数”就越 ______（填“大”或“小”）。
答案：（1）8；（2）7；（3）小。
解答过程：
（1）31 ÷ 4 = 7……3，商 7、余数 3，有余数，至少数 = 7 + 1 = 8，所以总有一个观测棚里至少放了 8 只水鸟。
（2）31 ÷ 5 = 6……1，商 6、余数 1，有余数，至少数 = 6 + 1 = 7，所以总有一个观测棚里至少放了 7 只水鸟。
（3）由 8 > 7 可知，物体总数不变时，抽屉数越多，平均每个抽屉分得越少，保证的“至少数”就越小。
解析：本题考查鸽巢问题“至少数 = 商 + 1（有余数时）”以及对原理的说理辨析。（1）易错一：把 31 ÷ 4 = 7……3 的商 7 直接当作答案，忘记余数不为 0 时要加 1；易错二：误写成“至少 3 只”，那是把余数当成了至少数。（2）易错：换成 5 个观测棚后仍沿用上一问的 8，没有重新计算，正确应为 31 ÷ 5 = 6……1，至少数 6 + 1 = 7。（3）本问考查概念对比：抽屉数越多，至少数越小，这是抽屉原理中容易被直觉带偏的一点（有人误以为抽屉越多“至少”的数越大）。注意“至少数”永远是“至少有一个抽屉达到”，而不是“每个抽屉都达到”。
5解答题
为保护湿地，某自然保护区把 46 颗东方白鹳的鸟蛋分别放进 6 个孵化箱中孵化（每颗鸟蛋都必须放进某个孵化箱）。
（1）请用鸽巢问题的思路说明：无论怎样放，总有一个孵化箱里至少放了几颗鸟蛋？
（2）小林同学说：“46 ÷ 6 = 7……4，所以至少数是 7 颗。”他的说法对吗？请说明理由。
（3）若想保证“总有一个孵化箱里至少放了 10 颗鸟蛋”，这些鸟蛋总数至少要有多少颗？
答案：（1）物体数为 46（鸟蛋），抽屉数为 6（孵化箱）。46 ÷ 6 = 7……4，商为 7，余数为 4。因为有余数，所以至少数 = 商 + 1 = 7 + 1 = 8（颗）。答：无论怎样放，总有一个孵化箱里至少放了 8 颗鸟蛋。
（2）小林的说法不对。理由：46 ÷ 6 商 7 余 4，余数不为 0，说明 46 颗鸟蛋不能正好平均分成每箱 7 颗，多出的 4 颗还要分到孵化箱中，必然使某个孵化箱达到 8 颗。有余数时“至少数”应是商加一，即 7 + 1 = 8 颗，而不是商 7。
（3）要使“总有一个孵化箱里至少放了 10 颗”，即至少数为 10。由至少数 = 商 + 1（有余数时）知，商最大只能是 9。当鸟蛋总数为 6 × 9 = 54 颗时，54 ÷ 6 = 9，正好每箱 9 颗，至少数为 9，不满足；当鸟蛋总数为 54 + 1 = 55 颗时，55 ÷ 6 = 9……1，至少数为 9 + 1 = 10，满足。答：这些鸟蛋总数至少要有 55 颗。
解析：本题考查鸽巢问题（抽屉原理）中“至少数”的计算方法：用物体数除以抽屉数，若整除，至少数就是商；若有余数，至少数是商加一。第（1）问易错：把 46 ÷ 6 的商 7 当作答案，忘记“商加一”，正确应为 8。第（2）问是概念辨析：余数不为 0 时不能用商作为至少数，因为多出的物体还要再放进抽屉中，必然使某个抽屉增加 1 个。第（3）问是逆向思考：已知至少数为 10，反求最少物体数。关键在于理解“至少”的临界情况：当物体数恰好是抽屉数 ×（至少数 −1）= 6 × 9 = 54 时，至少数只有 9；再多 1 个物体，至少数才升到 10。易错点：直接用 6 × 10 = 60 作为答案，或误以为 54 颗即可满足，忽略了 54 颗时至少数仅为 9。
6解答题
某自然保护区为观测迁徙水鸟，工作人员在一片湿地中设置了 5 个观测投食点（编号甲、乙、丙、丁、戊）。某天清晨，共有 17 只白鹭陆续飞到这 5 个投食点觅食（每只白鹭只选择其中一个投食点）。
（1）不管这些白鹭怎么分配，是否一定存在某个投食点，至少有 4 只白鹭？请说明理由。
（2）保护区计划增设投食点，希望做到「不管白鹭怎么分配，每个投食点最多只有 3 只白鹭」。在白鹭总数仍为 17 只的前提下，至少要设几个投食点？
（3）若把投食点减少到 4 个，其他条件不变，那么一定存在某个投食点，至少有多少只白鹭？
答案：（1）把 5 个投食点看作 5 个「鸽巢」，17 只白鹭看作 17 个「物体」。
17 ÷ 5 = 3（只）……2（只），
因为有余数，所以至少数 = 商 + 1 = 3 + 1 = 4（只）。
答：一定存在某个投食点，至少有 4 只白鹭。
（2）要求「每个投食点最多 3 只」，即要使任意一个投食点的白鹭数都 ≤ 3。
设投食点数为 n，则需满足 3n ≥ 17，
3 × 5 = 15 < 17，3 × 6 = 18 ≥ 17，
所以 n 最小取 6。
答：至少要设 6 个投食点。
（3）投食点为 4 个时，17 ÷ 4 = 4（只）……1（只），
至少数 = 4 + 1 = 5（只）。
答：一定存在某个投食点，至少有 5 只白鹭。
解析：本题考查鸽巢问题（抽屉原理）中「至少数」的计算及逆向思考。
（1）关键步骤是 17 ÷ 5 = 3……2，有余数时至少数为商加 1，即 4 只。易错点一：误把商 3 当作答案，忘记「有余数要加 1」；易错点二：把余数 2 当作至少数。
（2）这是抽屉原理的逆用：要让每个抽屉最多放 3 个物体，抽屉数必须满足 3n ≥ 物体数。易错点是用 17 ÷ 3 = 5……2 直接答「5 个」，忽略了 5 个抽屉最多只能容纳 15 只，还差 2 只，故应取 5 + 1 = 6 个（也可理解为商加 1）。
（3）17 ÷ 4 = 4……1，至少数为 5 只。与（1）对比可知：抽屉越少，至少数越大，这正是鸽巢问题中「抽屉数与至少数成反向变化」的规律，可用于检验答案是否合理。
情境中的「投食点」即鸽巢、「白鹭」即物体，抽象建模是解题第一步。
7解答题
某自然保护区为了监测湿地水质，工作人员在一片水域随机采集了 13 份水样，准备送到 5 个不同的检测室做化验。
小林说：“13 ÷ 5 = 2……3，因为有余数，所以至少有一个检测室要化验 2 份水样。”
小方说：“不对，有余数就说明分不完，商要加一，所以至少有一个检测室要化验 3 份水样。”
（1）请判断小林和小方谁说得对，并说明理由。
（2）如果把水样换成 12 份，检测室仍是 5 个，那么至少有一个检测室要化验多少份水样？请写出计算过程。
答案：（1）小方说得对。
理由：把 13 份水样看作物体，5 个检测室看作抽屉。13 ÷ 5 = 2（份）……3（份），商是 2，余数是 3，余数不为 0，说明 5 个检测室各化验 2 份后还剩 3 份，这 3 份无论放进哪个检测室，都会使某个检测室的份数增加。因此至少数 = 商 + 1 = 2 + 1 = 3（份），即至少有一个检测室要化验 3 份水样。小林错在把“商”当成了至少数，没有在有余数时给商加一。
（2）12 ÷ 5 = 2（份）……2（份），余数不为 0，至少数 = 2 + 1 = 3（份）。
答：至少有一个检测室要化验 3 份水样。
解析：本题考查鸽巢问题（抽屉原理）中“至少数”的计算方法：物体数 ÷ 抽屉数 = 商……余数，有余数时至少数为商＋1，无余数时至少数就是商。
易错点一：把商直接当作至少数，忽略余数需要给商加一（小林的错误）；易错点二：误以为有余数就要把商加二或加余数；易错点三：第（2）问数据改为 12 后，仍有学生机械地答 3 之外的数，其实 12 ÷ 5 商 2 余 2，余数不为 0，答案仍是 2＋1＝3。
注意：若物体数正好是抽屉数的整数倍（如 10 份水样分给 5 个检测室），至少数恰好等于商 2，此时不加一，这是与本题的关键区别。
8解答题
为了宣传低碳生活，学校环保社团开展“旧电池回收”活动。六（1）班有 32 名同学，每人把自己一周内收集的旧电池放进班级回收箱。已知全班一共回收旧电池 128 节。
（1）小明说：“32 名同学就是 32 个抽屉，128 节电池就是 128 只鸽子，128 ÷ 32 = 4，正好分完，所以至少有一名同学收集了 4 节电池。”请判断小明的说法是否正确，并说明理由。
（2）环保小组把回收来的旧电池按每 7 节装一盒，装了若干盒后还剩 3 节。请判断：这些装好的盒子里，是否一定有一盒装了 7 节电池？为什么？
答案：（1）小明的说法不正确。
理由：鸽巢问题中“至少数”表示的是“保证一定有”的最小数量。128 ÷ 32 = 4，正好分完，说明“每人 4 节”是一种刚好平均分的情况，此时可以说“至少有一名同学收集了 4 节”是成立的（因为每人最多 3 节时总数最多只有 96 节，不够 128 节）。但小明说“正好分完，所以至少有一名同学收集了 4 节”这一结论虽然数值正确，他的理由表述有漏洞：平均分时至少数就是商 4，不需加一；更关键的是，题目只说“一共 128 节”，并没有说每人收集的数量一样，因此正确的推理是：假设每人最多收集 3 节，32 × 3 = 96 节 < 128 节，与总数矛盾，所以必定至少有一名同学收集了 4 节或 4 节以上，即至少有一名同学收集了 4 节。结论正确，但不能用“正好分完”作为唯一理由，应使用反证（假设法）说明。
（2）不一定。理由：每 7 节装一盒，装了若干盒后剩 3 节，只能说明这些盒子中每盒都装满了 7 节，剩下的 3 节不足一盒。题目问“是否一定有一盒装了 7 节”，由于装盒规则就是“每 7 节装一盒”，所以每一只装好的盒子都是 7 节，答案是“一定有”。但若把问题理解为“是否有一盒装了超过 7 节”，则不可能，因为一盒最多装 7 节。正确回答：一定有一盒装了 7 节，因为装盒规则是每 7 节装一盒，凡装好的盒子都装满 7 节；剩余 3 节不足一盒，不能单独成盒。
解析：本题考查鸽巢问题中“至少数”与平均分、装盒规则等概念的辨析，属于概念辨析型说理题。
易错点一：把“平均分”与“至少”混为一谈。物体数正好是抽屉数的整数倍时，至少数等于商，不加一，但不能简单用“正好分完”来解释，而要用假设法（反证）：假设每人最多 3 节，则总数最多 96 节，与 128 节矛盾。
易错点二：第（2）问中，学生容易把“剩 3 节”误认为“有一盒只装了 3 节”。实际上，剩的 3 节是未成盒的余数，不构成一盒；凡装好的盒子都按 7 节装满。
易错点三：单位与对象不清，本题涉及“人—电池”“盒—电池”两组抽屉与物体的对应关系，判断时要先分清谁是抽屉、谁是物体。