1选择题
《九章算术》中记载了多种测量体积的方法。某校数学兴趣小组仿照古法，用一个圆柱形铜制量筒测量一枚不规则形状的古铜钱的体积。已知信息：量筒从里面量得底面直径是12厘米，量筒内原有水深7厘米；将古铜钱完全浸没在水中后，水面上升到9厘米（水面始终低于量筒口，水未溢出）。这枚古铜钱的体积是多少立方厘米？（π取3.14）
- A. 226.08立方厘米
- B. 254.34立方厘米
- C. 113.04立方厘米
- D. 1130.4立方厘米
答案：A
解析：古铜钱完全浸没后，它排开水的体积就等于自身的体积，这是排水法测体积的核心原理（等积变形）。量筒底面半径 r = 12 ÷ 2 = 6（厘米），底面积 S = πr² = 3.14 × 6² = 3.14 × 36 = 113.04（平方厘米）。水面上升的高度是 9 − 7 = 2（厘米），所以古铜钱体积 V = S × 上升高度 = 113.04 × 2 = 226.08（立方厘米）。易错点：①忘记把直径除以2求半径，误算成 3.14 × 12² × 2；②误用最终水深9厘米或初始水深7厘米参与计算，而不是水面上升的2厘米；③把底面积公式误记为 πr²h 之外的形式，或用直径直接算面积。B 项是把半径错记为 12 时的错误结果，C 项是忘记乘上升高度2厘米，D 项是把高度误算成 10 厘米（9+1）之类。故选A。
2选择题
某地依托古运河发展旅游，去年接待游客50万人次。今年该地举办"运河文化节"后，接待游客比去年增加了三成五，其中外地游客占今年游客总数的40%。今年接待外地游客多少万人次？
- A. 17.5万人次
- B. 20万人次
- C. 27万人次
- D. 67.5万人次
答案：C
解析：第一步，把成数转化为百分数："增加三成五"就是增加了35%，即今年游客数是去年的 1 + 35% = 135%。第二步，求今年游客总数：50 × 1.35 = 67.5（万人次）。第三步，求外地游客数：67.5 × 40% = 67.5 × 0.4 = 27（万人次）。易错点：①把"三成五"误当成 3.5 或 0.35 直接相乘，得到 50 × 3.5 之类的错误结果；②只算出 50 × 35% = 17.5，忘了加到原数上（A 项正是此错）；③算出今年总数 67.5 后忘了再乘 40%，直接选 D；④把 40% 理解成增加四成，用 67.5 × (1 + 40%) 得到错误结果。B 项是误把 50 × 40% 当作答案。故选C。
3选择题
古时候的「铜钱」多为圆柱形。一枚仿古铜钱柱形坯料，从里面量底面直径是 6 厘米，高是 2 厘米。工匠要在它的侧面贴一圈装饰箔，并在上下两个圆形底面各刻一圈花纹。已知信息：贴箔面积等于圆柱的侧面积，刻花纹面积等于两个底面积之和。工匠一共需要处理的面积是多少平方厘米？（π 取 3.14）
- A. 94.2 平方厘米
- B. 131.88 平方厘米
- C. 150.72 平方厘米
- D. 37.68 平方厘米
答案：A
解析：本题考查圆柱表面积的计算及对实际问题中「算哪几个面」的判断。底面半径 r = 6 ÷ 2 = 3（厘米）。侧面积 = 底面周长 × 高 = 3.14 × 6 × 2 = 37.68（平方厘米）；两个底面积之和 = 2 × 3.14 × 3² = 2 × 28.26 = 56.52（平方厘米）。一共需要处理的面积 = 37.68 + 56.52 = 94.2（平方厘米）。易错点：①把直径 6 厘米直接当半径代入 πr²，算出 3.14 × 6² = 113.04，导致错选 C；②只算侧面积（选 D）或只算一个底面（选 B 为只算一个底面时 37.68 + 28.26 = 65.94 的干扰变形思路）；③侧面积误用 πr × h。本题是「贴侧面 + 刻两底面」，即完整的圆柱表面积，故选 A。
4解答题
我国古代数学名著《九章算术》中记载了大量与体积、容积有关的实际问题。某校数学兴趣小组仿照古法，制作了一件仿古青铜圆柱形笔筒（无盖，即上面开口，下面有一个底面），准备在校园数学文化节上展出。
已知信息：笔筒底面直径是 12 厘米，高是 15 厘米，制作时在笔筒外壁均匀刷一层防锈漆（笔筒的内壁和底面下侧均不刷漆，接口处损耗不计）。
(1) 求刷漆部分的面积是多少平方厘米？（π 取 3.14）
(2) 展出时，同学们往笔筒里注入清水，水面高度是 10 厘米。求笔筒中水的体积是多少立方厘米？（π 取 3.14）
(3) 若将笔筒中的水全部倒入一个底面直径是 20 厘米的圆柱形水盂中（水盂足够深），求水盂中水面的高度是多少厘米？
答案：(1) 笔筒无盖，刷漆部分 = 侧面积 + 1 个底面积。
底面半径 r = 12 ÷ 2 = 6（厘米）
底面周长 C = πd = 3.14 × 12 = 37.68（厘米）
侧面积 = C × h = 37.68 × 15 = 565.2（平方厘米）
底面积 = πr² = 3.14 × 6² = 3.14 × 36 = 113.04（平方厘米）
刷漆面积 = 565.2 + 113.04 = 678.24（平方厘米）
答：刷漆部分的面积是 678.24 平方厘米。
(2) 水的形状是底面直径 12 厘米、高 10 厘米的圆柱。
水的体积 = πr²h = 3.14 × 6² × 10 = 3.14 × 36 × 10 = 1130.4（立方厘米）
答：笔筒中水的体积是 1130.4 立方厘米。
(3) 水盂底面半径 = 20 ÷ 2 = 10（厘米）
水盂底面积 = 3.14 × 10² = 3.14 × 100 = 314（平方厘米）
水面高度 = 水的体积 ÷ 底面积 = 1130.4 ÷ 314 = 3.6（厘米）
答：水盂中水面的高度是 3.6 厘米。
解析：本题围绕圆柱表面积与体积的综合应用设问，突出解题步骤的完整性。
(1) 关键是审题判断：笔筒无盖，只需侧面积 + 1 个底面积，若误按完整表面积（加两个底）会多算 113.04 平方厘米；求底面周长应用直径 πd = 3.14 × 12，若误用半径会算成 18.84，结果全错。
(2) 易错点是误用笔筒全高 15 厘米，而题中水面高度只有 10 厘米，水的体积应按 10 厘米计算。
(3) 本问考查「等积变形」：水的体积不变，倒进新容器后 V = S×h，故 h = V ÷ S。易错点有二：一是先求水盂半径时忘记 20 ÷ 2 = 10，误用直径 20 直接算面积；二是误以为水盂中水面高度与笔筒中相同（10 厘米），忽略了底面积变大后水面会降低。计算 1130.4 ÷ 314 = 3.6 时注意小数点位置。
本题三小问层层递进，把圆柱的侧面积、底面积、体积与「体积不变」思想串成体系，正是整理与复习所要求的系统梳理。
5解答题
为弘扬传统文化，某市举办「国学经典诵读」活动，并对参赛单位给予奖励与补贴。
已知信息：
① 甲书院组织师生乘车前往活动会场，包车费用共 1200 元，按参加人数平均分摊，每人分摊 20 元；
② 乙书院获得活动奖金 8000 元，按规定需按 5% 的税率缴纳个人所得税（计税依据为奖金全额）；
③ 丙书院用所得经费购买一批仿古竹简作为奖品，每套竹简进价 60 元，商店按进价加价二成（即 20%）标价，标价后又打八折出售给书院。
请根据以上信息，分步解答下列问题：
(1) 甲书院共有多少人参加活动？
(2) 乙书院缴税后实际得到奖金多少元？
(3) 丙书院购买一套竹简实际付款多少元？这套竹简的售价与进价相比，是赚了还是亏了？相差多少元？
(4) 把 8000 元奖金按 3∶5 的比分给诵读组和书法组，两组各得多少元？
答案：(1) 参加人数 = 包车总费用 ÷ 每人分摊费用 = 1200 ÷ 20 = 60（人）
答：甲书院共有 60 人参加活动。
(2) 应缴税额 = 8000 × 5% = 400（元）
实际得到 = 8000 - 400 = 7600（元）
答：乙书院缴税后实际得到奖金 7600 元。
(3) 标价 = 60 × (1 + 20%) = 60 × 1.2 = 72（元）
实际付款 = 72 × 80% = 72 × 0.8 = 57.6（元）
因为 57.6 < 60，所以是亏了。
相差 = 60 - 57.6 = 2.4（元）
答：实际付款 57.6 元；亏了，比进价少 2.4 元。
(4) 总份数 = 3 + 5 = 8
诵读组 = 8000 × 3/8 = 3000（元）
书法组 = 8000 × 5/8 = 5000（元）
答：诵读组得 3000 元，书法组得 5000 元。
解析：本题以传统文化活动为情境，把整数除法、税率、成数与折扣、按比分配四个知识点串联，突出计算步骤的完整性。
(1) 易错点：误把 1200 ÷ 20 写成 20 ÷ 1200，或漏写单位「人」。
(2) 易错点：忘记先按税率算出应缴税额再相减，直接写 8000 × (1 - 5%) 也可以，但若写成 8000 × 5% = 400 元当作「实际所得」就错了；本题计税依据是奖金全额，不存在扣除免征额的问题，不要生搬硬套工资个税的算法。
(3) 易错点：一是把「加价二成」误当成进价的 20 元，正确是 60 × 20% = 12 元，标价 72 元；二是打八折时误用进价 60 × 0.8 = 48 元，正确是在标价基础上打折；三是只算出 57.6 元不下结论，题目要求判断赚亏并求差额，必须与进价 60 元比较。
(4) 易错点：把 3∶5 的和误算成 3 × 5 = 15，正确是 3 + 5 = 8；或按 3∶5 直接分成 3 份和 5 份却忘了先求每份量。本小问与税率计算共同检验「求一个数的几分之几/百分之几是多少」这一核心技能，是整理与复习中数与运算部分的典型综合题。
6解答题
古代有一种圆柱形的「粮囤」，用来储粮，上面没有盖子。已知信息：这个粮囤从外面量底面直径是 2 米，高是 1.5 米，粮囤壁厚 0.1 米，粮囤底面厚 0.1 米。（π 取 3.14）
（1）粮囤的内壁（侧面积）和内底面都需要抹上防潮的桐油，抹桐油的面积是多少平方米？
（2）这个粮囤最多能装粮食多少立方米？
（3）如果每立方米粮食重 750 千克，这个粮囤装满后，粮食一共重多少千克？
（4）李大爷把卖粮所得的 12000 元存入银行，定期两年，年利率是 2.25%。到期时他一共可以取回多少元？
答案：（1）内底面直径 = 2 − 0.1 × 2 = 1.8（米），内底面半径 r = 1.8 ÷ 2 = 0.9（米）。
粮囤内高 = 1.5 − 0.1 = 1.4（米）。
内底面积 = 3.14 × 0.9² = 3.14 × 0.81 = 2.5434（平方米）。
内侧面积 = 底面周长 × 高 = 3.14 × 1.8 × 1.4 = 7.9128（平方米）。
抹桐油面积 = 2.5434 + 7.9128 = 10.4562（平方米）。
答：抹桐油的面积是 10.4562 平方米。
（2）容积 = 内底面积 × 内高 = 2.5434 × 1.4 = 3.56076（立方米）。
答：最多能装粮食约 3.56 立方米（3.56076 立方米）。
（3）粮食总重 = 3.56076 × 750 = 2670.57（千克）。
答：粮食一共重 2670.57 千克。
（4）利息 = 本金 × 年利率 × 存期 = 12000 × 2.25% × 2 = 540（元）。
本息和 = 12000 + 540 = 12540（元）。
答：到期时一共可以取回 12540 元。
解析：本题综合考查圆柱表面积、圆柱体积（容积）、单位与数量关系以及利息计算，突出解题步骤的完整性与运算准确性。
（1）关键在于「从外面量」到「里面量」的换算：壁厚 0.1 米是四周都有，所以直径要减去 2 个壁厚，即 2 − 0.2 = 1.8 米；粮囤无盖，抹桐油面积 = 1 个内底面 + 1 个内侧面，切不可加两个底面。易错：直接用外直径 2 米算内底面积；把壁厚只减一次；漏算底面。
（2）体积用内尺寸，V = πr²h，代入内半径 0.9 米和内高 1.4 米。易错：用外尺寸算容积；把体积公式误记为底面周长 × 高。
（3）用容积 × 每立方米重量，注意 3.56076 × 750 的进位要准确。
（4）牢记利息公式：利息 = 本金 × 利率 × 时间，不要漏乘存期 2 年；题目问「一共取回多少元」，求的是本息和，不能只答利息 540 元。若误用 12000 ×（1 + 2.25%）会得到 12270 元，属典型错误。
整体易错点：单位统一（米、千克）、无盖图形只算一个底面、利息与本息和混淆、小数乘法进位出错。
7解答题
为弘扬传统文化，某市博物馆举办「宋代钱币」专题展览，并同步推出文创纪念品。纪念品商店的活动规则如下：
规则一：一套宋代钱币仿制纪念册标价 240 元，现按「打八折」出售；
规则二：若同时购买两套及以上，可在打折价的基础上再享受「满 200 元减 30 元」的优惠（按实付金额达标后计算）。
张老师代表学校购买纪念册，她先买了 2 套，准备作为年级读书活动的奖品。
(1) 只买 1 套时，现价是多少元？比标价便宜了多少元？
(2) 张老师买 2 套，按规则一打折后应付多少元？她实际能享受规则二的优惠吗？若能，实付多少元？
(3) 商店统计当天共售出纪念册 60 套，全部按规则一的八折价成交（当天无人享受规则二），这一天纪念册的销售额是多少元？比按标价售出少了多少元？
(4) 该纪念册的标价中，成本占标价的 55%，其余为利润。若某天全部按八折售出 60 套，这一天的总利润是多少元？
答案：(1) 打八折即现价是标价的 80%。
现价 = 240 × 80% = 192（元）
便宜的钱 = 240 − 192 = 48（元）
答：现价 192 元，比标价便宜 48 元。
(2) 2 套打折后：240 × 80% × 2 = 192 × 2 = 384（元）
384 元 ≥ 200 元，可以享受「满 200 元减 30 元」。
实付 = 384 − 30 = 354（元）
答：打折后应付 384 元，能享受优惠，实付 354 元。
(3) 销售额 = 240 × 80% × 60 = 192 × 60 = 11520（元）
按标价售出为 240 × 60 = 14400（元）
少得 = 14400 − 11520 = 2880（元）
（或 240 × (1 − 80%) × 60 = 48 × 60 = 2880 元）
答：销售额 11520 元，比按标价售出少 2880 元。
(4) 成本 = 240 × 55% = 132（元）
每套利润 = 192 − 132 = 60（元）
总利润 = 60 × 60 = 3600（元）
答：这一天的总利润是 3600 元。
解析：本题以宋代钱币文创纪念册为情境，综合考查折扣与百分数的计算。
(1) 关键是把「打八折」转化为「现价是标价的 80%」，注意「八折」是 80% 而不是 8%；求「便宜了多少元」要用原价减现价，不能直接用 240 × 80% 以外的错误比例。
(2) 先算打折价 384 元，再判断是否达到「满 200 元」的门槛，注意减 30 元只减一次，不是每套减 30 元。
(3) 易错点：把 60 套的差价算成 240 × 20% = 48 元（漏乘套数）；正确应为 48 × 60 = 2880 元。
(4) 易错点：把利润误算成 240 × (1 − 55%) = 108 元（用标价算利润）。因为实际是打折售出，利润 = 现价 − 成本 = 192 − 132 = 60 元。此问区分度较高，考查学生能否在打折情境下正确建立「利润 = 售价 − 成本」的数量关系。
全题强调分步计算、单位统一与数量关系清晰，避免概念混淆。
8解答题
「天工开物」中记载了古代用圆木制作器物的方法。某校数学兴趣小组据此开展了一次综合实践活动，把学过的数与运算、图形知识串起来进行整理与复习。请按要求完成下列各题。
已知信息：
① 一根圆柱形木料，底面直径是 6 分米，高是 2 米（π 取 3.14）；
② 这根木料的横截面（圆形）被工匠沿直径锯开，得到两个完全一样的半圆形木板，其中一块半圆形木板用来做一个圆形器物的底托（不计损耗）。
(1) 先统一单位，再求这根圆柱形木料的底面积和它的侧面积分别是多少平方分米？
(2) 求这根圆柱形木料的体积是多少立方分米？
(3) 工匠要把这根木料的侧面（曲面部分）均匀地刷上一层桐油，每平方分米需要桐油 25 克，一共需要桐油多少千克？
(4) 用一块半圆形木板做一个圆锥形底托的底面时发现不够圆整，于是改用其中一块半圆形木板围成一个圆柱形小盒的侧面（接缝处忽略不计）。若这个小盒的高是 2 分米，求这个小盒的底面半径是多少分米？（提示：半圆形木板的弧长恰好等于小盒底面的周长）
答案：统一单位：2 米 = 20 分米。
(1) 底面半径 = 6 ÷ 2 = 3（分米）
底面积 = πr² = 3.14 × 3² = 3.14 × 9 = 28.26（平方分米）
侧面积 = 底面周长 × 高 = πd × h = 3.14 × 6 × 20 = 376.8（平方分米）
答：底面积是 28.26 平方分米，侧面积是 376.8 平方分米。
(2) 体积 = 底面积 × 高 = 28.26 × 20 = 565.2（立方分米）
答：体积是 565.2 立方分米。
(3) 桐油总量 = 376.8 × 25 = 9420（克）
9420 克 = 9.42 千克
答：一共需要桐油 9.42 千克。
(4) 半圆形木板的弧长 = 整个圆周长的一半 = πd ÷ 2 = 3.14 × 6 ÷ 2 = 9.42（分米）
设小盒底面半径为 r，则底面周长 2πr = 9.42
r = 9.42 ÷ (2 × 3.14) = 9.42 ÷ 6.28 = 1.5（分米）
答：小盒的底面半径是 1.5 分米。
解析：本题以《天工开物》古代木工制作器物为情境，把「数与运算」和「图形与统计」中的圆柱知识串联起来，考查单位统一、圆柱底面积/侧面积/体积公式的综合运用。
(1) 易错点：不统一单位，直接把 2 米当 2 代入，导致侧面积算成 3.14 × 6 × 2 = 37.68 平方分米。正确做法是先把 2 米化成 20 分米，再计算。另外底面积用 r²，不要误用 d²。
(2) 体积 = 底面积 × 高，注意是立方分米，不要与侧面积单位混淆。
(3) 易错点：刷桐油刷的是侧面积（曲面），不是表面积，也不含两个底面；另外克与千克的换算要正确，9420 克 = 9.42 千克，不是 94.2 千克。
(4) 本问区分度最高，考查「把半圆弧长围成圆柱底面周长」的逆向推理。易错点：误把半圆的直径（6 分米）当作底面周长，或把弧长算成整个圆周长 18.84 分米。正确思路：弧长 = πd ÷ 2 = 9.42 分米 = 底面周长，再由 2πr = 9.42 反求 r = 1.5 分米。
全题强调解题步骤完整、单位统一、运算准确，体现「温故知新、系统梳理」的总复习要求。