2024年北京市初三数学中考模拟试卷（下册）

解析：①审题：根据数轴信息判断 a、b 的正负及绝对值大小关系，已知 a<0，b>0，且 |a|>|b|，求 |a+b| - |a-b|。②思路：利用绝对值的几何意义和代数定义进行化简。|a+b| 看 a+b 的符号，|a-b| 看 a-b 的符号。③推导：由数轴知，a < -b < 0 < b，故 a+b < 0，所以 |a+b| = -(a+b) = -a-b。a-b < 0，所以 |a-b| = -(a-b) = -a+b。原式 = (-a-b) - (-a+b) = -a-b+a-b = -2b。④结论：选 C，结果为 -2b。选项 A、B、D 在给定条件下均不成立。

解析：①审题：将958.7万（即9,587,000）用科学记数法表示。②思路：科学记数法形式为 a×10ⁿ，其中1≤|a|<10，n为整数。③推导：958.7万 = 9,587,000 = 9.587 × 1,000,000 = 9.587 × 10⁶。④结论：选 B。选项 A 中 a 不符合1≤|a|<10；选项 C 中 a 不符合1≤|a|<10；选项 D 中 10⁷ 对应一千万，数字过大。

解析：①审题：根据二次函数图像特征（开口向下、对称轴、与y轴交点、特殊点）判断系数符号及代数式符号。②思路：开口向下 → a<0；对称轴 x=-b/(2a)在1右侧 → -b/(2a) > 1；与y轴正半轴相交 → c>0；x=-1时函数值 y=a-b+c。③推导：由a<0，-b/(2a)>1，两边同乘2a（负数）不等号反向 → -b < 2a → 2a + b > 0，故 C 正确。但图像不过原点，c>0，abc < 0，故 A 错。图像与x轴有两个交点，Δ=b²-4ac>0，故 B 错。当x=-1时，y=a-b+c，由图像知此点在x轴下方，故 a-b+c < 0，D正确。④结论：选 D。C 也正确，但题目为单选题，需根据选项唯一性及图像信息（图像未过原点，c>0）综合判断，D是图像明确反映的结论。

解析：①审题：在Rt△ABC中，D是斜边AB中点，CE⊥CD，判断结论是否成立。②思路：利用直角三角形斜边中线性质、等腰三角形判定与性质、相似三角形。③推导：∠ACB=90°，D为AB中点，则 CD=AD=DB，∠A=∠ACD。由CE⊥CD，∠DCE=90°，则∠ACE=∠ACD+∠DCE=∠A+90°。又∠ACE=∠A+∠E，故∠E=∠A+90° -∠A=90°，这与CE⊥CD矛盾？重新审图：CE⊥CD，即∠DCE=90°。∠ACE=∠ACD+∠DCE。∠ACD=∠A，所以∠ACE=∠A+90°。在△ACE中，∠ACE+∠A+∠E=180°，即(∠A+90°)+∠A+∠E=180°，得2∠A+∠E=90°。无法直接推出∠A=∠E。应用相似：△ACD与△ECD？或利用“8”字型。由CD=DB，∠DCB=∠DBC。∠DCB+∠BCE=90°，∠DBC+∠E=90°，所以∠BCE=∠E，得BE=BC。又∠A+∠ABC=90°，∠ABC=∠DBC=∠DCB，∠DCB+∠BCE=90°，可得∠A=∠BCE，故∠A=∠E，B成立。由∠A=∠E，得AC=CE，C成立。在Rt△CDE中，CD不一定等于DE，A不一定成立。△BCD中，只有当∠ABC=60°时才是等边三角形，D不一定成立。④结论：选 D。A、B、C 在给定条件下均成立。

解析：①审题：化简分式，然后代入 x=√2+1 求值。②思路：先算括号内减法，再算除法，除法转化为乘法并因式分解约分。③推导：原式 = [(x+1)/(x+1) - 1/(x+1)] ÷ [(x-1)(x+1)/(x+1)²] = [x/(x+1)] ÷ [(x-1)/(x+1)] = [x/(x+1)] × [(x+1)/(x-1)] = x/(x-1)。当 x = √2+1 时，原式 = (√2+1) / (√2+1-1) = (√2+1)/√2 = 1 + 1/√2 = 1 + √2/2。④结论：化简结果为 x/(x-1)，代入结果为 1+√2/2。检验：原分式中 x≠-1，且 x-1≠0，即 x≠1，x=√2+1 满足条件。

解析：①审题：销量与售价的关系，利润公式，求满足利润和成本条件的 x。②思路：销量 = 初始销量 - 减少量；利润 = (售价 - 进价) × 销量；列出方程求解，并检验成本条件。③推导：（1）售价上涨 x 元，则每月销量减少 10x 个，为 180-10x 个。售价为 30+x 元，进价 20 元，每个利润为 (30+x)-20 = 10+x 元。（2）总利润 = (10+x)(180-10x) = 2000。整理得：1800 - 100x + 180x - 10x² = 2000 → -10x² + 80x - 200 = 0 → x² - 8x + 20 = 0。解得 x = 4。进货成本 = 20 × (180-10x) ≤ 5000，代入 x=4 得成本=20×140=2800≤5000，符合。④结论：x=4 满足所有要求。

解析：①审题：已知两交点坐标，求两个函数解析式、解集和三角形面积。②思路：先由 A 点求反比例函数，再由 A、B 求一次函数。解集看图像交点。面积用割补法或坐标法。③推导：（1）将 A(1,4) 代入 y=m/x 得 m=4，故 y=4/x。将 B(4,n) 代入 y=4/x 得 n=1。将 A(1,4), B(4,1) 代入 y=kx+b 得 k+b=4, 4k+b=1，解得 k=-1, b=5，故 y=-x+5。（2）从图像看，当一次函数图像在反比例函数图像上方时，y一次>y反比例，对应 x<0 或 1<x<4。（3）设直线 y=-x+5 与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 D。令 y=0，得 x=5，则 C(5,0)。令 x=0，得 y=5，则 D(0,5)。S△AOB = S△COD - S△AOD - S△BOC = (1/2×5×5) - (1/2×5×1) - (1/2×5×1) = 25/2 - 5/2 - 5/2 = 15/2。④结论：面积为 15/2。

解析：①审题：已知三点求抛物线；利用对称性求最短路径；平行四边形存在性问题。②思路：用交点式求解析式；A、B关于对称轴对称，故PA=PB，PA+PC=PB+PC，当B、P、C共线时最小；平行四边形需分AC为边或对角讨论。③推导：（1）设 y = a(x+1)(x-3)，将 C(0,-3) 代入得 -3 = a×1×(-3)，a=1，故 y = (x+1)(x-3) = x² - 2x - 3。（2）对称轴 x=1。连接 BC 交对称轴于 P，则 P 为所求。设 BC: y=kx-3，代入 B(3,0) 得 k=1，BC: y=x-3。当 x=1 时，y=-2，故 P(1,-2)。（3）存在。①当 AC 为边时，AM 平行且等于 CN，或 AN 平行且等于 CM。由 A(-1,0)，C(0,-3)，平移向量为 (1,-3) 或 (-1,3)。设 M(m, m²-2m-3)，则 N 点坐标由平移得。代入对称轴 x=1 可求 m。②当 AC 为对角线时，AC 中点即 MN 中点。AC 中点 (-1/2, -3/2)。设 M(m, m²-2m-3)，N(1, n)，由中点公式得 m+1=2×(-1/2), m²-2m-3+n=2×(-3/2)，解得 m=-2，n=2。代入验证，得 M(-2,5)。经检验，符合平行四边形的点 M 坐标为 (2,-3)， (-2,5)， (4,5)。④结论：解析式为 y=x²-2x-3；点 P(1,-2)；存在点 M，坐标为 (2,-3)， (-2,5)， (4,5)。