1选择题
已知集合 A = {x | x² - 3x + 2 = 0}，B = {x | x² - 2x = 0}，则 A ∩ B 等于
- A. {0}
- B. {1}
- C. {2}
- D. {0, 1, 2}
答案：C
解析：易错点：解一元二次方程时漏解或计算错误。集合A的解为1和2，集合B的解为0和2，交集为{2}。
2选择题
函数 f(x) = (√(4 - x²))/(x - 1) 的定义域为
- A. [-2, 1) ∪ (1, 2]
- B. [-2, 2]
- C. (-2, 1) ∪ (1, 2)
- D. [-2, 2)
答案：A
解析：易错点：忽略分母不为零的条件。定义域需同时满足 4 - x² ≥ 0 且 x - 1 ≠ 0，解得 x ∈ [-2, 1) ∪ (1, 2]。
3选择题
下列函数中，既是奇函数又在 (0, +∞) 上单调递增的是
- A. y = x²
- B. y = sin x
- C. y = x³
- D. y = e^x
答案：C
解析：易错点：混淆奇偶性与单调性。y=x²是偶函数；y=sin x在(0, +∞)上不单调；y=e^x非奇非偶。y=x³满足条件。
4填空题
已知等差数列 {a_n} 中，a₃ = 7，a₇ = 19，则其公差 d = ______。
答案：3
解析：易错点：等差数列通项公式应用错误。由 a₇ = a₃ + 4d 得 19 = 7 + 4d，解得 d = 3。
5填空题
已知 sin α = (3)/(5)，且 α 是第二象限角，则 tan α = ______。
答案：-(3)/(4)
解析：易错点：三角函数符号判断错误。第二象限角余弦为负，由 sin²α + cos²α = 1 得 cosα = -(4)/(5)，故 tanα = (sinα)/(cosα) = -(3)/(4)。
6解答题
已知函数 f(x) = x³ - 3x² + 1。
(1) 求 f(x) 的单调递减区间；
(2) 求 f(x) 在区间 [-1, 4] 上的最大值和最小值。
答案：(1) f'(x) = 3x² - 6x = 3x(x - 2)。令 f'(x) < 0，得 0 < x < 2。所以单调递减区间为 (0, 2)。
(2) 由 (1) 知，f(x) 在 [-1, 0) 上递增，在 (0, 2) 上递减，在 (2, 4] 上递增。计算关键点函数值：f(-1) = -3，f(0) = 1，f(2) = -3，f(4) = 17。比较得，最大值为 17，最小值为 -3。
解析：易错点：导数为零的点不一定是极值点，需结合单调性判断。求闭区间最值时，必须比较端点值和极值点的函数值。
7解答题
在 △ ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c，已知 b = 2，c = 3，A = 60°。
(1) 求边 a 的长；
(2) 求 sin B 的值。
答案：(1) 由余弦定理 a² = b² + c² - 2bc cos A = 2² + 3² - 2 × 2 × 3 × cos 60°= 4 + 9 - 6 = 7，所以 a = √(7)。
(2) 由正弦定理 (a)/(sin A) = (b)/(sin B)，得 frac{√(7)}{sin 60° = (2)/(sin B)，即 (√(7))/((√(3))/(2)) = (2)/(sin B)，解得 sin B = (2 × (√(3))/(2))/(√(7)) = (√(3))/(√(7)) = (√(21))/(7)。
解析：易错点：余弦定理公式记忆或计算错误；正弦定理应用时比例关系搞混。
8解答题
已知等比数列 {a_n} 的前 n 项和为 S_n，且 S₃ = 7，a₂ = 2。
(1) 求数列 {a_n} 的通项公式；
(2) 设 b_n = a_n + 2n，求数列 {b_n} 的前 n 项和 T_n。
答案：(1) 设等比数列 {a_n} 的公比为 q。由 a₂ = 2 得 a₁ q = 2。由 S₃ = a₁ + a₂ + a₃ = a₁ + 2 + a₁ q² = 7，代入 a₁ = (2)/(q) 得 (2)/(q) + 2 + (2)/(q) q² = 7，化简得 2q² - 5q + 2 = 0，解得 q = 2 或 q = (1)/(2)。当 q=2 时，a₁=1，a_n = 2ⁿ-1；当 q=(1)/(2) 时，a₁=4，a_n = 4 × ((1)/(2))ⁿ-1 = ((1)/(2))ⁿ-3。所以 a_n = 2ⁿ-1 或 a_n = ((1)/(2))ⁿ-3。
(2) 当 a_n = 2ⁿ-1 时，b_n = 2ⁿ-1 + 2n。T_n = ∑_k=1ⁿ (2^k-1 + 2k) = (1-2ⁿ)/(1-2) + 2 × (n(n+1))/(2) = 2ⁿ - 1 + n(n+1)。当 a_n = ((1)/(2))ⁿ-3 时，b_n = ((1)/(2))ⁿ-3 + 2n。T_n = (4(1-((1)/(2))ⁿ))/(1-(1)/(2)) + n(n+1) = 8(1-2^-n) + n(n+1)。
解析：易错点：等比数列求和时对公比 q 的讨论不完整；数列求和时下标对应错误；分组求和法应用不熟练。