1选择题
已知函数 f(x) = x³ - 3x，则下列关于 f(x) 的单调性描述正确的是 ( )
- A. 在 (-∞, -1) 和 (1, +∞) 上单调递增，在 (-1, 1) 上单调递减
- B. 在 (-∞, -1) 和 (1, +∞) 上单调递减，在 (-1, 1) 上单调递增
- C. 在 (-∞, 0) 上单调递增，在 (0, +∞) 上单调递减
- D. 在 (-∞, +∞) 上单调递增
答案：A
解析：本题考查利用导数研究函数单调性。f'(x)=3x²-3=3(x-1)(x+1)，令 f'(x)>0 得 x<-1 或 x>1，函数递增；令 f'(x)<0 得 -1<x<1，函数递减。易错点：导数为零的点 x=±1 是单调性改变的临界点，需结合导数符号变化判断，不能直接认为导数为零处是极值点。
2选择题
已知 α 是第三象限角，且 sinα = -(3)/(5)，则 tanα 的值为 ( )
- A. (3)/(4)
- B. -(3)/(4)
- C. (4)/(3)
- D. -(4)/(3)
答案：A
解析：本题考查三角函数在象限中的符号及基本关系。由 α 在第三象限，cosα < 0，且 sin²α + cos²α = 1，得 cosα = -√(1-(-(3)/(5))²) = -(4)/(5)，故 tanα = (sinα)/(cosα) = (-3/5)/(-4/5) = (3)/(4)。易错点：第三象限角正弦、余弦均为负，计算 cosα 时易漏掉负号导致符号错误。
3选择题
已知等差数列 {a_n} 的前 n 项和为 S_n，若 a₃ + a₇ = 10，则 S₉ 的值为 ( )
答案：A
解析：本题考查等差数列的性质与求和公式。由等差数列性质，a₃ + a₇ = 2a₅ = 10，得 a₅ = 5。则 S₉ = (9(a₁ + a₉))/(2) = (9 × 2a₅)/(2) = 9a₅ = 45。易错点：混淆等差数列求和公式中下标关系，或误用 a₃ + a₇ = a₁ + a₉ 的性质。
4选择题
函数 f(x) = sin(2x + (π)/(3)) 的最小正周期和初相分别是 ( )
- A. π, (π)/(3)
- B. 2π, (π)/(3)
- C. π, (π)/(6)
- D. 2π, (π)/(6)
答案：A
解析：本题考查三角函数 y=sin(ω x + φ) 的周期与初相。周期 T = (2π)/(|ω|) = (2π)/(2) = π；初相即 x=0 时的相位 φ = (π)/(3)。易错点：误将 ω 当作周期，或将初相与 x 的系数混淆。
5填空题
已知函数 f(x) = x³ - 3x，则 f(x) 在 x=1 处的切线方程为 ______。
答案：y = -2（或 y+2=0）
解析：本题考查导数的几何意义。f'(x)=3x²-3，则 f'(1)=0，切点为 (1, f(1)) = (1, -2)，故切线方程为 y - (-2) = 0 · (x-1)，即 y=-2。易错点：计算 f(1) 时出错，或误认为斜率非零。
6填空题
在 △ ABC 中，a, b, c 分别为角 A, B, C 的对边，若 a=2，b=3，C=60°，则 c= ______。
答案：√(7)
解析：本题考查余弦定理。由余弦定理 c² = a² + b² - 2abcos C = 2² + 3² - 2 × 2 × 3 × cos 60°= 4 + 9 - 6 = 7，故 c = √(7)。易错点：余弦定理公式记忆错误，或 cos 60° 值代入错误。
7解答题
已知等比数列 {a_n} 满足 a₁ + a₂ = 6，a₂ + a₃ = 12。
(1) 求数列 {a_n} 的通项公式；
(2) 设 b_n = log₂ a_n，求数列 {b_n} 的前 n 项和 T_n。
答案：(1) 设公比为 q，则 a₂ = a₁ q，a₃ = a₁ q²。
由 a₁ + a₁ q = 6 ； a₁ q + a₁ q² = 12 ，两式相除得 (a₁ q + a₁ q²)/(a₁ + a₁ q) = (12)/(6) = 2，即 (q(1+q))/(1+q) = q = 2。
代入 a₁ + 2a₁ = 6，得 a₁ = 2。
故 a_n = a₁ qⁿ-1 = 2 · 2ⁿ-1 = 2ⁿ。
(2) b_n = log₂ a_n = log₂ 2ⁿ = n。
T_n = 1 + 2 + ⋯ + n = (n(n+1))/(2)。
解析：本题考查等比数列通项公式及对数运算、等差数列求和。(1) 关键是通过方程组求出首项和公比，注意 q ≠ 0。(2) b_n 构成等差数列，求和时注意公式 T_n = (n(n+1))/(2)。易错点：解方程时约分出错；对数运算法则不熟；求和公式记错。
8解答题
已知函数 f(x) = cos² x - sin² x + 2√(3)sin x cos x。
(1) 求 f(x) 的最小正周期；
(2) 求 f(x) 在区间 [0, (π)/(2)] 上的最大值和最小值。
答案：(1) f(x) = cos² x - sin² x + 2√(3)sin x cos x = cos 2x + √(3) sin 2x = 2((1)/(2)cos 2x + (√(3))/(2)sin 2x) = 2sin(2x + (π)/(6))。
最小正周期 T = (2π)/(2) = π。
(2) 由 x ∈ [0, (π)/(2)]，得 2x + (π)/(6) ∈ [(π)/(6), (7π)/(6)]。
当 2x + (π)/(6) = (π)/(2)，即 x = (π)/(6) 时，f(x) 取得最大值 2 × 1 = 2。
当 2x + (π)/(6) = (7π)/(6)，即 x = (π)/(2) 时，f(x) 取得最小值 2 × (-(1)/(2)) = -1。
解析：本题考查三角恒等变换、三角函数性质。(1) 利用二倍角公式和辅助角公式化简为 y=Asin(ω x+φ) 形式是关键。(2) 求区间最值时，需先确定 ω x+φ 的范围，再结合正弦函数图象求解。易错点：二倍角公式用错；辅助角公式中 A 的值计算错误；区间端点值代入后未正确判断最值。