1选择题
已知函数 f(x) = x³ - 3x，则下列说法正确的是（ ）
- A. f(x) 在 (-∞, -1) 上单调递减
- B. f(x) 在 (-1, 1) 上单调递增
- C. f(x) 在 x = -1 处取得极大值
- D. f(x) 在 x = 1 处取得极小值
答案：C
解析：求导得 f'(x) = 3x² - 3，令 f'(x) = 0，解得 x = ±1。当 x < -1 或 x > 1 时，f'(x) > 0，函数单调递增；当 -1 < x < 1 时，f'(x) < 0，函数单调递减。因此，x = -1 是极大值点，x = 1 是极小值点。易错点：容易混淆单调区间与极值点的对应关系，或误认为导数为0的点一定是极值点，需验证左右导数符号变化。
2选择题
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 a = 2，b = 3，C = 60°，则 c = （ ）
答案：A
解析：由余弦定理 c² = a² + b² - 2ab·cosC = 4 + 9 - 2×2×3×(1/2) = 13 - 6 = 7，所以 c = √7。易错点：余弦定理公式记忆错误，或计算 cos60° 出错。
3填空题
已知等差数列 {a_n} 的前 n 项和为 S_n，若 a₃ = 5，S₅ = 25，则公差 d = ______。
答案：1
解析：由 a₃ = a₁ + 2d = 5，S₅ = 5a₁ + 10d = 25，联立解得 a₁ = 3，d = 1。易错点：等差数列通项公式与求和公式混淆，或计算下标时出错。
4填空题
函数 f(x) = sin(2x + π/6) 的最小正周期是 ______；其图像关于直线 x = ______ 对称。
答案：π；π/6（或 π/6 + kπ/2，k∈Z）
解析：周期 T = 2π/|ω| = 2π/2 = π。对称轴满足 2x + π/6 = π/2 + kπ，解得 x = π/6 + kπ/2，k∈Z。易错点：周期公式记错，或对称轴方程求解时未考虑 kπ。
5解答题
已知函数 f(x) = e^x - ax (a∈R)。
（1）当 a = 1 时，求曲线 y = f(x) 在点 (0, f(0)) 处的切线方程；
（2）讨论 f(x) 的单调性。
答案：（1）当 a = 1 时，f(x) = e^x - x，f'(x) = e^x - 1。f(0) = 1，f'(0) = 0。切线方程为 y = 1。
（2）f'(x) = e^x - a。当 a ≤ 0 时，f'(x) > 0 恒成立，f(x) 在 R 上单调递增。当 a > 0 时，令 f'(x) = 0，得 x = ln a。当 x < ln a 时，f'(x) < 0，f(x) 单调递减；当 x > ln a 时，f'(x) > 0，f(x) 单调递增。
解析：（1）求导后代入点坐标计算斜率，注意切点坐标与导数的关系。
（2）对参数 a 进行分类讨论，利用导数符号判断单调性。易错点：忽略 a ≤ 0 的情况；对数函数定义域出错。
6解答题
在等比数列 {a_n} 中，a₁ = 2，a₄ = 16。
（1）求数列 {a_n} 的通项公式；
（2）设 b_n = a_n + n，求数列 {b_n} 的前 n 项和 T_n。
答案：（1）设公比为 q，则 a₄ = a₁·q³ = 2q³ = 16，解得 q = 2。所以 a_n = 2·2^(n-1) = 2ⁿ。
（2）b_n = 2ⁿ + n。T_n = (2 + 2² + ... + 2ⁿ) + (1 + 2 + ... + n) = (2^(n+1) - 2) + n(n+1)/2。
解析：（1）利用等比数列通项公式求公比。
（2）数列求和时，将 b_n 拆分为等比数列与等差数列分别求和。易错点：等比数列求和公式首项与公比混淆；等差数列求和项数错误。
7解答题
如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，PA ⊥ 底面 ABCD，PA = AB = 2，E 是 PB 的中点。
（1）求证：AE ⊥ 平面 PBC；
（2）求三棱锥 E-PCD 的体积。
答案：（1）证明：∵ PA ⊥ 底面 ABCD，BC⊂底面 ABCD，∴ PA ⊥ BC。又∵ 底面 ABCD 是正方形，∴ AB ⊥ BC。且 PA ∩ AB = A，∴ BC ⊥ 平面 PAB。∵ AE⊂平面 PAB，∴ BC ⊥ AE。在△PAB 中，PA = AB = 2，E 是 PB 中点，∴ AE ⊥ PB。且 PB ∩ BC = B，∴ AE ⊥ 平面 PBC。
（2）由（1）知 AE ⊥ 平面 PBC，且 AE = √2。点 E 到平面 PCD 的距离即为点 E 到直线 PC 的距离。在△PBC 中，PB = 2√2，PC = 2√2，BC = 2，可求得点 E 到 PC 的距离为 √6/2。又 S△PCD = (1/2)·CD·PD = (1/2)·2·2√2 = 2√2。所以 V_E-PCD = (1/3)·S△PCD·(√6/2) = (2√3)/3。
解析：（1）利用线面垂直的判定定理，需证明 AE 与平面 PBC 内两条相交直线垂直。
（2）求体积时，需找到或计算出点 E 到平面 PCD 的距离，可利用等体积法或几何关系。易错点：线面垂直条件找不全；距离计算错误。
8解答题
已知函数 f(x) = 2sin(ωx + φ) (ω > 0, |φ| < π/2) 的最小正周期为 π，且其图像关于直线 x = π/12 对称。
（1）求 ω 和 φ 的值；
（2）若 x ∈ [0, π/2]，求 f(x) 的值域。
答案：（1）由 T = π，得 ω = 2π/T = 2。又图像关于 x = π/12 对称，所以 2×(π/12) + φ = π/2 + kπ，k∈Z。解得 φ = π/3 + kπ。由 |φ| < π/2，得 φ = π/3。
（2）由（1）知 f(x) = 2sin(2x + π/3)。当 x ∈ [0, π/2] 时，2x + π/3 ∈ [π/3, 4π/3]。所以 sin(2x + π/3) ∈ [-√3/2, 1]。故 f(x) 的值域为 [-√3, 2]。
解析：（1）利用周期求 ω，利用对称轴求 φ，注意 φ 的取值范围限制。
（2）利用整体代换法，先求出内层函数 2x + π/3 的范围，再求正弦函数值域。易错点：对称轴方程求解错误；区间端点值计算错误。