1选择题
已知集合 A={x | x²-3x+2=0}，B={x | x²-ax+a-1=0}，若 B⊆A，则实数 a 的值为（ ）。
答案：C
解析：易错点：忽略空集是任何集合的子集。A={1,2}。当B=∅时，Δ=a²-4(a-1)=a²-4a+4=(a-2)²<0不成立，故B非空。当B={1}时，由韦达定理1+1=a，1×1=a-1，得a=2。当B={2}时，2+2=a，2×2=a-1，得a=4且a=5矛盾。当B={1,2}时，1+2=a，1×2=a-1，得a=3。综上a=2或3。
2填空题
函数 f(x)=x³-6x 的单调递减区间是________。
答案：(-√2, √2)
解析：f'(x)=3x²-6。令f'(x)<0，解得-√2<x<√2。易错点：误将导数为0的点x=±√2包含在区间内，单调区间应为开区间。
3填空题
已知等比数列{a_n}中，a₂=2，a₅=16，则公比 q=________。
答案：2
解析：由等比数列通项公式a_n=a₁·q^(n-1)。a₂=a₁·q=2，a₅=a₁·q⁴=16。两式相除得q³=8，故q=2。易错点：计算q³=8时，可能误算为q=±2，但需结合a₂=2>0，若q=-2则a₁=-1，a₅=-16矛盾。
4解答题
已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ) (ω>0, |φ|<π/2) 的最小正周期为 π，且其图象关于直线 x=π/3 对称。
(1) 求 ω 和 φ 的值；
(2) 求 f(x) 在区间 [0, π/2] 上的最大值和最小值。
答案：(1) 由最小正周期T=π，得ω=2π/T=2。因为图象关于直线x=π/3对称，所以f(π/3)=±2，即2sin(2·π/3+φ)=±2，sin(2π/3+φ)=±1。故2π/3+φ=kπ+π/2，k∈Z。解得φ=kπ-π/6，k∈Z。又|φ|<π/2，所以φ=-π/6。
(2) f(x)=2sin(2x-π/6)。当x∈[0, π/2]时，2x-π/6∈[-π/6, 5π/6]。由正弦函数图象，在[-π/6, π/2]上单调递增，在[π/2, 5π/6]上单调递减。所以当2x-π/6=π/2，即x=π/3时，f(x)取最大值2；当2x-π/6=-π/6，即x=0时，f(x)取最小值-1。
解析：易错点：1. 求φ时，由对称轴得ωx+φ=kπ+π/2，易漏解或误用kπ。2. 求区间最值时，未先确定整体角2x-π/6的范围，或未结合正弦函数单调性判断。
5解答题
已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=2a_n-2 (n∈N*)。
(1) 求数列{a_n}的通项公式；
(2) 设b_n=(2n-1)·a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n。
答案：(1) 当n=1时，S₁=a₁=2a₁-2，解得a₁=2。当n≥2时，S_n=2a_n-2，S_n-1=2a_n-1-2。两式相减得a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，即a_n=2a_n-1。所以{a_n}是以2为首项，2为公比的等比数列，故a_n=2·2ⁿ-1=2ⁿ。
(2) 由(1)得b_n=(2n-1)·2ⁿ。T_n=1·2¹+3·2²+5·2³+...+(2n-1)·2ⁿ。 ①
2T_n=1·2²+3·2³+5·2⁴+...+(2n-3)·2ⁿ+(2n-1)·2ⁿ+1。 ②
①-②得 -T_n=2+2·2²+2·2³+...+2·2ⁿ-(2n-1)·2ⁿ+1=2+2·(2²+2³+...+2ⁿ)-(2n-1)·2ⁿ+1=2+2·(4(2ⁿ-1-1)/(2-1))-(2n-1)·2ⁿ+1=2+2ⁿ+2-8-(2n-1)·2ⁿ+1=(3-2n)·2ⁿ+1-6。所以T_n=(2n-3)·2ⁿ+1+6。
解析：易错点：1. 用S_n与a_n关系求通项时，未验证n=1是否符合n≥2的公式。2. 用错位相减法求和时，对齐项出错，或计算等比数列和时公式用错。
6解答题
如图，在正三棱柱 ABC-A₁B₁C₁ 中，AB=AA₁=2，D 是 BC 的中点。
(1) 求证：AD⊥平面 B₁BCC₁；
(2) 求三棱锥 B₁-ABC₁ 的体积。
答案：(1) 因为△ABC是正三角形，D是BC中点，所以AD⊥BC。又因为三棱柱是直三棱柱，所以BB₁⊥底面ABC，从而BB₁⊥AD。因为BC∩BB₁=B，BC⊂平面B₁BCC₁，BB₁⊂平面B₁BCC₁，所以AD⊥平面B₁BCC₁。
(2) 由(1)知AD⊥平面B₁BCC₁，所以AD是三棱锥A-B₁BC₁的高，且AD=√3/2·AB=√3。又S_△B₁BC₁=1/2·B₁B·BC=1/2·2·2=2。所以V_B₁-ABC₁=V_A-B₁BC₁=1/3·S_△B₁BC₁·AD=1/3·2·√3=2√3/3。
解析：易错点：1. 证明线面垂直时，漏证一条线与平面内两条相交直线垂直。2. 求体积时，未正确选择底面和高，或计算正三角形高时出错。
7解答题
已知函数 f(x)=e^x - ax (a∈R)。
(1) 当 a=1 时，求曲线 y=f(x) 在点 (1, f(1)) 处的切线方程；
(2) 讨论函数 f(x) 的单调性。
答案：(1) 当a=1时，f(x)=e^x - x，f'(x)=e^x - 1。f(1)=e-1，f'(1)=e-1。所以切线方程为 y-(e-1)=(e-1)(x-1)，即 y=(e-1)x。
(2) f'(x)=e^x - a。①当a≤0时，f'(x)>0恒成立，f(x)在R上单调递增。②当a>0时，令f'(x)=0，得x=lna。当x<lna时，f'(x)<0，f(x)单调递减；当x>lna时，f'(x)>0，f(x)单调递增。综上，当a≤0时，f(x)在R上递增；当a>0时，f(x)在(-∞, lna)上递减，在(lna, +∞)上递增。
解析：易错点：1. 求切线时，误将f(1)当作切点纵坐标，或导数计算错误。2. 讨论单调性时，忽略对参数a的分类讨论，或分类不完整（如未考虑a≤0）。
8解答题
已知函数 f(x)=x³ - 3x。
(1) 求 f(x) 的极值；
(2) 若对任意 x₁∈[-1, 2]，总存在 x₂∈[0, 3]，使得 f(x₁) ≤ g(x₂) 成立，其中 g(x)=x² - 2x + m，求实数 m 的取值范围。
答案：(1) f'(x)=3x²-3=3(x-1)(x+1)。令f'(x)=0，得x=-1或x=1。当x<-1时，f'(x)>0；当-1<x<1时，f'(x)<0；当x>1时，f'(x)>0。所以f(x)在x=-1处取得极大值f(-1)=2，在x=1处取得极小值f(1)=-2。
(2) “对任意x₁∈[-1,2]，总存在x₂∈[0,3]，使得f(x₁)≤g(x₂)”等价于“f(x)在[-1,2]上的最大值 ≤ g(x)在[0,3]上的最大值”。由(1)及端点值f(-1)=2, f(2)=2，得f(x)在[-1,2]上的最大值为2。g(x)=(x-1)²+m-1，在[0,3]上，当x=3时取最大值g(3)=4+m-1=m+3。所以2 ≤ m+3，解得m ≥ -1。故m的取值范围是[-1, +∞)。
解析：易错点：1. 求极值时，未列表或分析导数符号变化，直接由f'(x)=0得极值，可能遗漏或误判。2. 理解“任意-存在”问题时，转化为函数最值关系出错，应为f_max ≤ g_max。