1选择题
已知函数f(x)=x³-ax在x=1处取得极值，则a的值为（ ）。
答案：C
解析：由题意，f'(x)=3x²-a。因为f(x)在x=1处取得极值，所以f'(1)=3-a=0，解得a=3。此时f'(x)=3x²-3=3(x-1)(x+1)，在x=1左右导数符号由负变正，确为极小值点。易错点：误认为导数为0即极值，需验证左右变号。
2选择题
在△ ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c，若a=2, b=3, C=60°，则c的值为（ ）。
- A. √(7)
- B. √(13)
- C. √(19)
- D. √(37)
答案：A
解析：由余弦定理c²=a²+b²-2abcos C=4+9-2×2×3×(1)/(2)=13-6=7，所以c=√(7)。易错点：余弦定理公式记错，或计算2abcos C时出错。
3填空题
已知集合A={x| x²-3x-4≤ 0}，B={x| x>a}，若A∩ B=∅，则实数a的取值范围是________。
答案：[4, +∞)
解析：解不等式A：x²-3x-4≤ 0得A=[-1, 4]。由A∩ B=∅，即A与B无公共元素，因此B的左端点a必须大于或等于A的右端点，即a≥ 4。易错点：误认为a可以取4，但B是开区间(a, +∞)，当a=4时，A∩ B=∅成立，故a的取值范围为[4, +∞)。
4填空题
函数f(x)=ln(x+√(x²+1))的奇偶性为________。（填“奇函数”、“偶函数”或“非奇非偶函数”）
答案：奇函数
解析：函数定义域为ℝ。计算f(-x)=ln(-x+√((-x)²+1))=ln(-x+√(x²+1))。注意到(√(x²+1)+x)(√(x²+1)-x)=1，所以√(x²+1)-x=(1)/(√(x²+1)+x)。因此f(-x)=ln((1)/(√(x²+1)+x))=-ln(√(x²+1)+x)=-f(x)，故为奇函数。易错点：直接代入后看不出关系，或忽略定义域。
5填空题
已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₅=25，a₃=5，则公差d=________。
答案：1
解析：由等差数列性质，S₅=5a₃=25，与已知一致。设首项为a₁，公差为d，则a₃=a₁+2d=5，S₅=5a₁+(5×4)/(2)d=5a₁+10d=25。两式联立解得d=1。易错点：误用S_n公式或混淆下标。
6填空题
函数f(x)=2sin(2x-(π)/(6))在区间[0, (π)/(2)]上的单调递减区间是________。
答案：[(π)/(3), (π)/(2)]
解析：正弦函数y=sin t的递减区间为[(π)/(2)+2kπ, (3π)/(2)+2kπ]。令t=2x-(π)/(6)，则(π)/(2)+2kπ ≤ 2x-(π)/(6) ≤ (3π)/(2)+2kπ，解得(π)/(3)+kπ ≤ x ≤ (5π)/(6)+kπ。取k=0，得[(π)/(3), (5π)/(6)]。再与[0, (π)/(2)]取交集，得[(π)/(3), (π)/(2)]。易错点：解不等式后忘记与给定区间取交集。
7解答题
已知函数f(x)=x³-3x²-9x+1。
(1) 求f(x)的单调区间；
(2) 求f(x)在区间[-2, 4]上的最大值和最小值。
答案：(1) f'(x)=3x²-6x-9=3(x²-2x-3)=3(x-3)(x+1)。令f'(x)=0，得x=-1或x=3。当x<-1或x>3时，f'(x)>0，函数递增；当-1<x<3时，f'(x)<0，函数递减。所以单调递增区间为(-∞, -1)和(3, +∞)，单调递减区间为(-1, 3)。
(2) 由(1)知，在[-2, 4]上，f(x)在[-2, -1]递增，在[-1, 3]递减，在[3, 4]递增。计算关键点函数值：f(-2)=(-2)³-3(-2)²-9(-2)+1=-8-12+18+1=-1；f(-1)=(-1)³-3(-1)²-9(-1)+1=-1-3+9+1=6；f(3)=3³-3×3²-9×3+1=27-27-27+1=-26；f(4)=4³-3×4²-9×4+1=64-48-36+1=-19。比较得，最大值为f(-1)=6，最小值为f(3)=-26。
解析：本题考查利用导数求函数单调区间和闭区间最值。(1)求导后解不等式；(2)在闭区间上需比较极值点和端点函数值。易错点：单调区间表述不规范（用并集或逗号分隔），或遗漏端点函数值比较导致最值错误。
8解答题
已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n+1。
(1) 证明数列{a_n+1}是等比数列；
(2) 求数列{a_n}的前n项和S_n。
答案：(1) 由a_n+1=2a_n+1，得a_n+1+1=2a_n+2=2(a_n+1)。又a₁+1=2≠0，所以(a_n+1+1)/(a_n+1)=2为常数。故数列{a_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列。
(2) 由(1)得a_n+1=2×2ⁿ-1=2ⁿ，所以a_n=2ⁿ-1。因此S_n=∑_k=1ⁿ (2^k-1)=∑_k=1ⁿ 2^k - ∑_k=1ⁿ 1 = (2(2ⁿ-1))/(2-1) - n = 2ⁿ+1-2-n。
解析：本题考查递推数列构造等比数列及求和。(1)通过递推式构造a_n+1+1与a_n+1的关系；(2)求和时拆分为两个数列求和，注意等比数列求和公式。易错点：构造时忘记验证首项非零；求和时下标或公式出错。