1选择题
下列关于函数性质的说法中，正确的是（ ）
- A. 函数f(x)=x³在R上是减函数
- B. 函数f(x)=sinx在(0, π)上是增函数
- C. 函数f(x)=1/x在(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数
- D. 函数f(x)=lnx在(0,+∞)上是增函数
答案：D
解析：A选项错误，f(x)=x³的导数f'(x)=3x²≥0，且在x=0处导数为0，但函数在R上单调递增。B选项错误，正弦函数在(0, π/2)上递增，在(π/2, π)上递减。C选项错误，函数f(x)=1/x在(-∞,0)和(0,+∞)两个区间上分别递减，但不能说在整个定义域上递减。D选项正确，对数函数在定义域内单调递增。易错点：易忽略函数单调性定义中“区间”的要求，或混淆导数符号与单调性的关系（如A选项）。
2选择题
已知等差数列{aₙ}的公差d=2，且a₁+a₃+a₅=12，则a₆的值为（ ）
答案：B
解析：由等差数列性质，a₁+a₅=2a₃，所以a₁+a₃+a₅=3a₃=12，解得a₃=4。又a₆=a₃+3d=4+3×2=10。但注意计算：a₆=a₃+3d=4+6=10。选项中没有10，检查发现a₁+a₃+a₅=12，a₃=4，a₆=a₃+3d=4+6=10。但选项有10，为B。重新审题：d=2，a₁+a₃+a₅=12，a₃=4，a₆=a₃+3d=10。所以正确答案是B。解析时需注意等差数列下标运算，易错点是将a₆误算为a₃+2d。
3填空题
函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0, |φ|<π/2)的最小正周期为π，且图像关于直线x=π/12对称，则ω=______，φ=______。
答案：ω=2，φ=π/3
解析：由最小正周期T=π，得ω=2π/T=2。图像关于直线x=π/12对称，则f(π/12)=±2，即2sin(2×π/12+φ)=±2，所以sin(π/6+φ)=±1。因为|φ|<π/2，所以π/6+φ=π/2，解得φ=π/3。易错点：误将周期公式写为T=ω/2π，或忽略对称轴对应函数取极值的条件。
4填空题
在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a=2，b=3，C=60°，则c=______，△ABC的面积S=______。
答案：c=√7，S=(3√3)/2
解析：由余弦定理：c²=a²+b²-2abcosC=4+9-2×2×3×cos60°=13-6=7，所以c=√7。面积S=(1/2)absinC=(1/2)×2×3×sin60°=3×(√3/2)=(3√3)/2。易错点：余弦定理公式记忆错误，或计算cos60°时误用√3/2。
5解答题
已知函数f(x)=x³-3x²+1。
（1）求f(x)的单调区间；
（2）求f(x)在区间[-1, 4]上的最大值和最小值。
答案：（1）f'(x)=3x²-6x=3x(x-2)。令f'(x)=0，得x=0或x=2。当x<0或x>2时，f'(x)>0，f(x)递增；当0<x<2时，f'(x)<0，f(x)递减。所以单调递增区间为(-∞,0)和(2,+∞)，单调递减区间为(0,2)。
（2）由（1）知，在[-1,4]上，f(x)在[-1,0]递增，在[0,2]递减，在[2,4]递增。计算关键点函数值：f(-1)=(-1)³-3×(-1)²+1=-1-3+1=-3；f(0)=0-0+1=1；f(2)=8-12+1=-3；f(4)=64-48+1=17。比较得最大值f(4)=17，最小值f(-1)=f(2)=-3。
解析：（1）求导后需正确解不等式确定单调区间，易错点是忽略导数为0的点需检验左右变号，或错误划分区间。（2）闭区间求最值需比较所有极值点和端点值，易错点是漏算端点值或计算错误。
6解答题
已知等比数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，且a₁=1，S₃=7。
（1）求数列{aₙ}的通项公式；
（2）设bₙ=aₙ+2n，求数列{bₙ}的前n项和Tₙ。
答案：（1）设公比为q，则S₃=a₁+a₁q+a₁q²=1+q+q²=7，解得q²+q-6=0，(q-2)(q+3)=0，解得q=2或q=-3。因为等比数列各项符号一致，若q=-3，则a₂=-3，a₃=9，符号变化，但题目未限制，两种情况均可。通常取正项，q=2。所以aₙ=2^(n-1)。
（2）bₙ=2^(n-1)+2n。Tₙ=(1+2+4+...+2^(n-1))+(2+4+6+...+2n)=(2ⁿ-1)+n(1+n)=2ⁿ+n²+n-1。
解析：（1）解等比数列前n项和方程时易漏解，需检验公比是否合理（如是否导致项为零或符号混乱）。（2）求和时易错点：等比数列求和公式误用为(1-qⁿ)/(1-q)时符号错，等差数列求和项数错。
7计算题
一个质点沿直线运动，其速度v(m/s)与时间t(s)的关系为v(t)=t²-4t+3。
（1）求质点在t=0到t=4s内的位移；
（2）求质点在t=0到t=4s内的路程。
答案：（1）位移s=∫₀⁴ v(t)dt=∫₀⁴ (t²-4t+3)dt=[t³/3-2t²+3t]₀⁴=(64/3-32+12)-0=64/3-20=64/3-60/3=4/3 m。
（2）路程需计算速度绝对值的积分。令v(t)=0，即t²-4t+3=0，解得t=1或t=3。当0≤t<1时，v(t)>0；1<t<3时，v(t)<0；3<t≤4时，v(t)>0。所以路程L=∫₀¹ v(t)dt+|∫₁³ v(t)dt|+∫₃⁴ v(t)dt。计算：∫₀¹ (t²-4t+3)dt=[t³/3-2t²+3t]₀¹=(1/3-2+3)=4/3；∫₁³ (t²-4t+3)dt=[t³/3-2t²+3t]₁³=(9-18+9)-(1/3-2+3)=0-4/3=-4/3，绝对值为4/3；∫₃⁴ (t²-4t+3)dt=[t³/3-2t²+3t]₃⁴=(64/3-32+12)-(9-18+9)=4/3-0=4/3。所以L=4/3+4/3+4/3=4 m。
解析：（1）位移是速度的定积分，直接计算即可。（2）路程是速度绝对值的积分，需先确定速度变号点（即速度为零的时刻），分段积分再相加。易错点：忽略速度方向变化，直接积分导致路程计算错误；或积分计算错误。
8计算题
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD，PA=2。
（1）求证：BD⊥PC；
（2）求二面角P-BD-A的大小。
答案：（1）证明：因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥BD。又底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD。因为PA∩AC=A，所以BD⊥平面PAC。因为PC⊂平面PAC，所以BD⊥PC。
（2）解：设AC与BD交于点O，连接PO。因为BD⊥AC，BD⊥PA，所以BD⊥平面PAO，所以BD⊥AO，BD⊥PO，则∠POA是二面角P-BD-A的平面角。在Rt△PAO中，PA=2，AO=√2（正方形对角线一半），所以tan∠POA=PA/AO=2/√2=√2，所以∠POA=arctan√2。即二面角P-BD-A的大小为arctan√2。
解析：（1）证明线线垂直常通过线面垂直转化，易错点是忽略线面垂直判定定理的条件（需两条相交直线垂直）。（2）求二面角关键是找到其平面角，易错点是找不准平面角，或计算三角函数值时边长关系错误。