1选择题
2023年广东省常住人口约为126568000人，将126568000用科学记数法表示为（ ）
- A. 1.26568×10⁸
- B. 1.26568×10⁹
- C. 12.6568×10⁷
- D. 0.126568×10⁹
答案：A
解析：科学记数法要求形式为 a×10ⁿ，其中1≤|a|<10，n为整数。126568000=1.26568×10⁸。易错点：选项C中a=12.6568>10，不符合要求；选项D中a=0.126568<1，也不符合要求。
2选择题
实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
（图示：数轴上原点左侧有a点，原点右侧有b点，且|a|>|b|）
- A. a+b>0
- B. a-b>0
- C. ab>0
- D. |a|>|b|
答案：D
解析：由数轴可知a<0，b>0，且|a|>|b|。A：a+b的符号取决于绝对值较大的a，故a+b<0，错误；B：a-b=a+(-b)<0，错误；C：异号相乘得ab<0，错误；D：由数轴直接得出|a|>|b|，正确。易错点：忽略绝对值大小比较，误判a+b的符号。
3填空题
计算：|1-√2| + (√2-1) = ______。
答案：0
解析：因为√2≈1.414>1，所以1-√2<0，根据绝对值性质，|1-√2| = -(1-√2) = √2-1。原式 = (√2-1) + (√2-1) = 2√2-2。易错点：去绝对值时未先判断1-√2的正负，直接写成|1-√2|=1-√2导致错误。
4填空题
若关于x的方程 (k-1)x² + 2x - 1 = 0 是一元二次方程，则k的取值范围是______。
答案：k ≠ 1
解析：一元二次方程要求二次项系数不为0，即k-1 ≠ 0，解得k ≠ 1。易错点：忽略二次项系数不为0的条件，或错误地认为k-1>0。
5解答题
解分式方程： (x)/(x-2) - 1 = (8)/(x²-4)
答案：解：方程两边同乘以(x+2)(x-2)，得
x(x+2) - (x²-4) = 8
x² + 2x - x² + 4 = 8
2x + 4 = 8
2x = 4
x = 2
检验：当x=2时，(x+2)(x-2)=0，所以x=2是增根，原方程无解。
解析：解分式方程的关键步骤是去分母化为整式方程，并必须检验。去分母时，注意每一项都要乘以最简公分母(x+2)(x-2)，常数项1不要漏乘。解出x=2后，代入原分母x-2和x²-4，发现分母为0，故x=2是增根，原方程无解。易错点：去分母时漏乘常数项1；忘记检验或检验后仍将增根作为解。
6解答题
先化简，再求值： (a² - 4)/(a² + 4a + 4) ÷ (a - 2)/(a + 2) - (2)/(a + 2)，其中a = √3 - 2。
答案：解：原式 = [(a+2)(a-2)]/[(a+2)²] × (a+2)/(a-2) - 2/(a+2)
= (a-2)/(a+2) × (a+2)/(a-2) - 2/(a+2)
= 1 - 2/(a+2)
= (a+2)/(a+2) - 2/(a+2)
= (a+2-2)/(a+2)
= a/(a+2)
当a = √3 - 2时，
原式 = (√3 - 2)/(√3 - 2 + 2) = (√3 - 2)/√3 = 1 - (2√3)/3。
解析：本题考查分式的化简求值。先对分子分母因式分解，将除法转化为乘法，进行约分，再通分合并。最后代入求值时，注意运算顺序和分母有理化。易错点：因式分解错误；除法变乘法时，第二个分式未颠倒分子分母；代入计算时符号或运算出错。
7解答题
某校计划购买A、B两种型号的篮球共20个，已知A型篮球单价为80元/个，B型篮球单价为120元/个。若总费用不超过1800元，且购买B型篮球的数量不少于A型篮球数量的2倍，问共有几种购买方案？
答案：解：设购买A型篮球x个，则购买B型篮球(20-x)个。
根据题意，得：
① 80x + 120(20-x) ≤ 1800
② 20-x ≥ 2x
解不等式①：80x + 2400 - 120x ≤ 1800
-40x ≤ -600
x ≥ 15
解不等式②：20 ≥ 3x
x ≤ 20/3 ≈ 6.67
∴ 15 ≤ x ≤ 6.67
因为x是整数，所以不等式组无解。
答：不存在满足条件的购买方案。
解析：本题考查一元一次不等式组的应用。关键在于根据题意列出两个不等式：总费用不超过1800元，B型数量不少于A型数量的2倍。解不等式组时，注意不等号方向。最后根据x为整数，判断解集是否存在。易错点：第二个不等式列错（如写成20-x > 2x）；解不等式时，两边同除以负数忘记变号；忽略x为整数的隐含条件。
8解答题
如图，一次函数y₁ = kx + b的图象与反比例函数y₂ = m/x的图象交于A(-2, 1)、B(1, n)两点。
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出当y₁ < y₂时，x的取值范围。
答案：解：（1）∵ 点A(-2, 1)在反比例函数y₂ = m/x图象上，
∴ 1 = m/(-2)，解得m = -2。
∴ 反比例函数解析式为 y₂ = -2/x。
∵ 点B(1, n)在反比例函数图象上，
∴ n = -2/1 = -2，即B(1, -2)。
∵ 点A(-2, 1)和B(1, -2)在一次函数y₁ = kx + b图象上，
∴ {-2k + b = 1
{k + b = -2
解得：{k = -1
{b = -1
∴ 一次函数解析式为 y₁ = -x - 1。
（2）由图象可知，当y₁ < y₂时，x的取值范围是 x < -2 或 0 < x < 1。
解析：（1）利用待定系数法求解析式。先由点A求出反比例函数m值，再求出点B坐标，最后联立A、B坐标求一次函数解析式。（2）比较两个函数值大小，观察交点两侧图象的上下关系。易错点：求m值时符号错误；联立方程组解错；观察图象时，忽略反比例函数的不连续性，将x< -2和0<x<1的范围写错或合并。