1选择题
已知集合 A = {x | x² - 2x - 3 ≤ 0}，B = {x | x > 1}，则 A ∩ B =
- A. {x | 1 < x ≤ 3}
- B. {x | -1 ≤ x ≤ 3}
- C. {x | x > 1}
- D. {x | x ≥ -1}
答案：A
解析：解不等式 x² - 2x - 3 ≤ 0 得 -1 ≤ x ≤ 3，即 A = [-1, 3]。B = (1, +∞)。取交集得 A ∩ B = (1, 3]。易错点：解二次不等式时符号或端点出错，以及交集运算时端点取舍不当。
2选择题
函数 f(x) = ln(x² - 2x - 3) 的单调递减区间是
- A. (-∞, -1)
- B. (-1, 1)
- C. (1, 3)
- D. (3, +∞)
答案：A
解析：函数定义域为 x² - 2x - 3 > 0，即 x < -1 或 x > 3。令 u = x² - 2x - 3，则 f(x) = ln u。由于 y = ln u 在 u > 0 时单调递增，故 f(x) 的单调性与 u = x² - 2x - 3 的单调性相同。u 在 (-∞, -1) 上单调递减，在 (3, +∞) 上单调递增。因此 f(x) 在 (-∞, -1) 上单调递减。易错点：忽略函数定义域，或误认为复合函数单调性规则是“同增异减”而选错区间。
3选择题
已知等差数列 {aₙ} 的前 n 项和为 Sₙ，若 a₃ + a₇ = 10，则 S₉ =
答案：B
解析：由等差数列性质，a₃ + a₇ = 2a₅ = 10，得 a₅ = 5。S₉ = 9(a₁ + a₉)/2 = 9 * 2a₅ / 2 = 9a₅ = 45。易错点：不熟悉等差数列的性质，或错误使用求和公式。
4选择题
已知函数 f(x) = eˣ - e⁻ˣ，则下列结论正确的是
- A. f(x) 是偶函数
- B. f(x) 在 R 上单调递减
- C. f(x) 的值域为 (0, +∞)
- D. f(x) 的图像关于原点对称
答案：D
解析：f(-x) = e⁻ˣ - eˣ = - (eˣ - e⁻ˣ) = -f(x)，故 f(x) 为奇函数，图像关于原点对称，D正确，A错误。f'(x) = eˣ + e⁻ˣ > 0，故 f(x) 在 R 上单调递增，B错误。当 x → -∞ 时，f(x) → -∞；当 x → +∞ 时，f(x) → +∞，值域为 R，C错误。易错点：混淆奇偶性判断，或忽略指数函数值域为 (0, +∞) 导致对 f(x) 值域判断错误。
5填空题
已知等比数列 {aₙ} 满足 a₂ = 2，a₅ = 16，则公比 q = ________。
答案：2
解析：由 a₅ = a₂ * q³，得 16 = 2 * q³，解得 q³ = 8，故 q = 2。易错点：指数运算错误，或误用 a₅ = a₁ * q⁴ 而未利用已知条件。
6填空题
已知函数 f(x) = x³ - 3x，则 f(x) 的极大值为 ________。
答案：2
解析：f'(x) = 3x² - 3。令 f'(x) = 0，得 x = ±1。当 x < -1 时，f'(x) > 0；当 -1 < x < 1 时，f'(x) < 0；当 x > 1 时，f'(x) > 0。故 f(x) 在 x = -1 处取得极大值 f(-1) = (-1)³ - 3*(-1) = -1 + 3 = 2。易错点：误将极小值当作极大值，或求导后解方程出错。
7解答题
已知函数 f(x) = 2sin(ωx + φ) (ω > 0, 0 < φ < π) 的最小正周期为 π，且图像关于直线 x = π/3 对称。
(1) 求 ω 和 φ 的值；
(2) 求 f(x) 在区间 [0, π/2] 上的最大值和最小值。
答案：(1) 由最小正周期 T = π，得 ω = 2π/T = 2π/π = 2。所以 f(x) = 2sin(2x + φ)。因为图像关于直线 x = π/3 对称，所以 2*(π/3) + φ = kπ + π/2, k∈Z。即 φ = kπ + π/2 - 2π/3 = kπ - π/6。由 0 < φ < π，取 k=1，得 φ = π - π/6 = 5π/6。故 ω = 2，φ = 5π/6。
(2) 由 (1) 知 f(x) = 2sin(2x + 5π/6)。当 x ∈ [0, π/2] 时，2x + 5π/6 ∈ [5π/6, 11π/6]。令 t = 2x + 5π/6，则 t ∈ [5π/6, 11π/6]。函数 y = 2sin t 在 [5π/6, 3π/2] 上单调递减，在 [3π/2, 11π/6] 上单调递增。当 t = 3π/2 时，y 取最小值 -2；当 t = 5π/6 时，y = 2sin(5π/6) = 1；当 t = 11π/6 时，y = 2sin(11π/6) = -1。比较端点值，最大值为 1，最小值为 -2。故 f(x) 在 [0, π/2] 上的最大值为 1，最小值为 -2。
解析：(1) 易错点：由对称轴求 φ 时，误认为 2*(π/3) + φ = π/2（忽略了周期性），或未利用 0 < φ < π 的条件筛选 k 值。
(2) 易错点：在求最值时，未正确分析 t = 2x + 5π/6 的范围，或误认为正弦函数在 [5π/6, 11π/6] 上单调，导致最值判断错误。需结合单位圆或正弦曲线图像分析单调性。
8解答题
已知数列 {aₙ} 的前 n 项和 Sₙ = 2aₙ - 2。
(1) 求数列 {aₙ} 的通项公式；
(2) 设 bₙ = (2n+1)aₙ，求数列 {bₙ} 的前 n 项和 Tₙ。
答案：(1) 当 n=1 时，S₁ = a₁ = 2a₁ - 2，解得 a₁ = 2。当 n ≥ 2 时，Sₙ = 2aₙ - 2，Sₙ₋₁ = 2aₙ₋₁ - 2。两式相减得 aₙ = Sₙ - Sₙ₋₁ = (2aₙ - 2) - (2aₙ₋₁ - 2) = 2aₙ - 2aₙ₋₁，整理得 aₙ = 2aₙ₋₁。所以数列 {aₙ} 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列，故 aₙ = 2 * 2ⁿ⁻¹ = 2ⁿ。
(2) 由 (1) 知 aₙ = 2ⁿ，所以 bₙ = (2n+1) * 2ⁿ。Tₙ = 3*2¹ + 5*2² + 7*2³ + ... + (2n+1)*2ⁿ。①
2Tₙ = 3*2² + 5*2³ + ... + (2n-1)*2ⁿ + (2n+1)*2ⁿ⁺¹。②
①-②得 -Tₙ = 3*2¹ + 2*2² + 2*2³ + ... + 2*2ⁿ - (2n+1)*2ⁿ⁺¹
= 6 + 2*(2² + 2³ + ... + 2ⁿ) - (2n+1)*2ⁿ⁺¹
= 6 + 2*( (4*(2ⁿ⁻¹-1))/(2-1) ) - (2n+1)*2ⁿ⁺¹
= 6 + 2*(2ⁿ⁺¹ - 4) - (2n+1)*2ⁿ⁺¹
= 6 + 2ⁿ⁺² - 8 - (2n+1)*2ⁿ⁺¹
= (2 - 2n - 1)*2ⁿ⁺¹ - 2
= (1 - 2n)*2ⁿ⁺¹ - 2。
所以 Tₙ = (2n - 1)*2ⁿ⁺¹ + 2。
解析：(1) 易错点：由 Sₙ 与 aₙ 的关系求通项时，忽略 n=1 的验证，或未正确进行递推关系的推导。
(2) 易错点：数列求和时，错位相减法的步骤不熟练，特别是中间等比数列求和部分（2² + 2³ + ... + 2ⁿ）的项数判断错误，或最后整理化简出错。