1选择题
已知集合 A={x | x²-2x-3≤0}，B={x | x>1}，则 A∩B=（ ）
- A. (1, 3]
- B. [1, 3]
- C. (-1, 3]
- D. (1, +∞)
答案：A
解析：解不等式 x²-2x-3≤0 得 (x-3)(x+1)≤0，解集为 A=[-1, 3]。与 B=(1, +∞) 取交集得 (1, 3]。易错点：解二次不等式时符号判断错误，或交集端点取舍出错。
2选择题
函数 f(x)=x³-3x 的单调递减区间是（ ）
- A. (-∞, -1)
- B. (-1, 1)
- C. (1, +∞)
- D. (-∞, -1) 和 (1, +∞)
答案：B
解析：求导得 f'(x)=3x²-3，令 f'(x)<0 得 x²<1，即 -1<x<1。单调递减区间为 (-1, 1)。易错点：误将导数为零的点直接当作单调区间的分界点，但未验证左右导数符号变化；或误将递增区间当作递减区间。
3选择题
若 sinθ·cosθ = 1/8，且 θ∈(π/4, π/2)，则 cosθ - sinθ =（ ）
- A. √3/2
- B. -√3/2
- C. √3/4
- D. -√3/4
答案：B
解析：由 (cosθ - sinθ)² = cos²θ + sin²θ - 2sinθcosθ = 1 - 2*(1/8) = 3/4。因为 θ∈(π/4, π/2)，所以 cosθ < sinθ，故 cosθ - sinθ = -√(3/4) = -√3/2。易错点：忽略 θ 所在象限导致开方后符号判断错误。
4选择题
已知等比数列 {aₙ} 的前 n 项和为 Sₙ，若 S₃=7，S₆=63，则公比 q=（ ）
答案：A
解析：利用等比数列性质：S₆/S₃ = 1 + q³ = 63/7 = 9，解得 q³=8，q=2。易错点：误用公式 Sₙ = a₁(1-qⁿ)/(1-q) 时，未注意 q≠1 的条件；或计算 S₆/S₃ 时下标对应错误。
5填空题
已知函数 f(x)=lnx - ax (a>0)，若 f(x) 在 (0, +∞) 上单调递减，则 a 的取值范围是________。
答案：[1, +∞)
解析：f'(x)=1/x - a。由 f(x) 单调递减，得 f'(x)≤0 在 (0, +∞) 上恒成立，即 1/x ≤ a 对任意 x>0 成立，故 a ≥ (1/x)max = 1，所以 a≥1。易错点：忽略“恒成立”条件，或误以为 f'(x)<0 才单调递减（实际 f'(x)≤0 且不恒为0即可）。
6填空题
在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若 a=√3，b=1，B=30°，则角A=________。
答案：60° 或 120°
解析：由正弦定理 a/sinA = b/sinB，得 sinA = (a sinB)/b = (√3 * 1/2)/1 = √3/2。因为 a>b，所以 A>B，A 可能为锐角或钝角，故 A=60° 或 120°。易错点：忽略“大边对大角”的隐含条件，未检验两解是否都成立。
7解答题
已知函数 f(x)=x³ - 3x² + 2。
（1）求 f(x) 的单调区间；
（2）求 f(x) 在区间 [-1, 3] 上的最大值和最小值。
答案：（1）f'(x)=3x²-6x=3x(x-2)。令 f'(x)=0 得 x=0 或 x=2。
当 x<0 或 x>2 时，f'(x)>0，f(x) 递增；
当 0<x<2 时，f'(x)<0，f(x) 递减。
故单调递增区间为 (-∞,0) 和 (2,+∞)，单调递减区间为 (0,2)。
（2）由（1）知，f(x) 在 [-1,0] 递增，在 [0,2] 递减，在 [2,3] 递增。
计算关键点函数值：f(-1)=(-1)³-3×(-1)²+2=-2；
f(0)=2；f(2)=2³-3×2²+2=-2；f(3)=3³-3×3²+2=2。
比较得，最大值为 2，最小值为 -2。
解析：（1）求导后解不等式确定单调区间，注意区间写法用“和”连接。（2）闭区间求最值需比较极值点和端点函数值。易错点：①求导后因式分解错误；②单调区间端点包含与否不影响最值，但书写时需规范；③计算 f(2) 时易算错符号。
8解答题
已知数列 {aₙ} 满足 a₁=1，aₙ₊₁=2aₙ+1 (n∈N*)。
（1）证明：数列 {aₙ+1} 是等比数列；
（2）求数列 {aₙ} 的通项公式；
（3）求数列 {aₙ} 的前 n 项和 Sₙ。
答案：（1）由 aₙ₊₁=2aₙ+1，得 aₙ₊₁+1=2aₙ+2=2(aₙ+1)。
又 a₁+1=2≠0，故数列 {aₙ+1} 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列。
（2）由（1）得 aₙ+1=2·2ⁿ⁻¹=2ⁿ，故 aₙ=2ⁿ-1。
（3）Sₙ = (2¹+2²+…+2ⁿ) - n = (2(2ⁿ-1))/(2-1) - n = 2ⁿ⁺¹ - 2 - n。
解析：（1）构造等比数列是解决递推数列的常用方法，需验证首项非零。（2）利用等比数列通项公式求出 aₙ+1，再解出 aₙ。（3）求和时注意是等比数列求和减去常数项求和。易错点：①证明等比数列时未说明公比不为零；②求和时误将等比数列求和公式记错；③计算 2(2ⁿ-1) 时忘记乘以 2。