1选择题
已知集合 A = {x | x² - 2x - 3 < 0}，集合 B = {x | log₂ x < 1}，则 A ∩ B 等于（ ）
- A. {x | -1 < x < 2}
- B. {x | 0 < x < 2}
- C. {x | -1 < x < 3}
- D. {x | 0 < x < 3}
答案：B
解析：易错点：解一元二次不等式 x²-2x-3<0 时，误判解集为 (-3,1)；解对数不等式 log₂ x < 1 时，忽略真数 x>0 的条件。正确解法：A=(-1,3)，B=(0,2)，交集为 (0,2)。
2选择题
函数 f(x) = (e^x - e^-x)/(x²) 的图象大致为（ ）
- A. 关于原点对称
- B. 关于 y 轴对称
- C. 关于直线 y=x 对称
- D. 关于点 (1,0) 对称
答案：A
解析：易错点：误认为分母为 x² 会导致函数非奇非偶。正确解法：定义域为 {x|x≠ 0}，f(-x) = (e^-x-e^x)/((-x)²) = -(e^x-e^-x)/(x²) = -f(x)，故 f(x) 为奇函数，图象关于原点对称。
3填空题
若直线 y=kx+1 是曲线 y=x³+ax 的切线，则实数 a 的值为________。
答案：2 或 -(1)/(4)
解析：易错点：仅考虑切点处导数值等于斜率，忽略切点在曲线上的条件。正确解法：设切点为 (x₀, x₀³+ax₀)，则 f'(x₀)=3x₀²+a=k，且切点在直线上：x₀³+ax₀ = kx₀+1。联立消去 k 得 2x₀³=1，解得 x₀=3√((1)/(2))，代入可得 a=2；同时需考虑 k=0 的情况，此时切线为 y=1，与曲线相切可得 a=-(1)/(4)。
4填空题
已知等差数列 {a_n} 的前 n 项和为 S_n，若 S₃=9，S₆=36，则 a₇+a₈+a₉=________。
答案：63
解析：易错点：误用公式 S_n=na₁+(n(n-1))/(2)d 时计算错误，或未利用等差数列片段和性质。正确解法：由 S₃, S₆-S₃, S₉-S₆ 成等差数列，得 S₆-S₃=27，则 S₉-S₆=45，故 a₇+a₈+a₉=S₉-S₆=45。或直接计算：S₃=3a₂=9 ⇒ a₂=3，S₆=(6(a₁+a₆))/(2)=3(2a₁+5d)=36 ⇒ 2a₁+5d=12，结合 a₁+d=3 解得 d=2，a₁=1，则 a₇+a₈+a₉=3a₈=3(a₁+7d)=3(1+14)=45。
5解答题
已知函数 f(x) = x³ - 3x² + 1。
（1）求 f(x) 的单调区间；
（2）求 f(x) 在区间 [-1, 4] 上的最大值和最小值。
答案：（1）f'(x)=3x²-6x=3x(x-2)。令 f'(x)=0，得 x=0 或 x=2。当 x<0 或 x>2 时，f'(x)>0，f(x) 单调递增；当 0<x<2 时，f'(x)<0，f(x) 单调递减。故单调递增区间为 (-∞,0) 和 (2,+∞)，单调递减区间为 (0,2)。
（2）由（1）知 f(x) 在 [-1,0] 递增，在 [0,2] 递减，在 [2,4] 递增。计算关键点函数值：f(-1)=(-1)³-3(-1)²+1=-3，f(0)=1，f(2)=8-12+1=-3，f(4)=64-48+1=17。比较得最大值为 f(4)=17，最小值为 f(-1)=f(2)=-3。
解析：易错点：（1）求导后因式分解错误，或解不等式 f'(x)>0 时符号判断错误；（2）求最值时遗漏端点函数值，或误认为极值点就是最值点。
6解答题
在 △ ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c，已知 2acos C = 2b - c。
（1）求角 A 的大小；
（2）若 a=√(7)，b=2，求 △ ABC 的面积。
答案：（1）由正弦定理 (a)/(sin A)=(b)/(sin B)=(c)/(sin C)，代入条件得 2sin Acos C = 2sin B - sin C。又 sin B = sin(A+C) = sin Acos C + cos Asin C，代入得 2sin Acos C = 2(sin Acos C + cos Asin C) - sin C，化简得 2cos Asin C = sin C。因为 sin C ≠ 0，所以 cos A = (1)/(2)，故 A = (π)/(3)。
（2）由余弦定理 a² = b² + c² - 2bccos A，得 7 = 4 + c² - 2 · 2 · c · (1)/(2)，即 c² - 2c - 3 = 0，解得 c=3（负值舍去）。故 △ ABC 的面积 S = (1)/(2)bcsin A = (1)/(2) × 2 × 3 × (√(3))/(2) = (3√(3))/(2)。
解析：易错点：（1）正弦定理代入后，三角恒等变换出错，特别是 sin B 的展开；（2）解余弦定理方程时，计算错误或舍去负根不严谨；（3）面积公式中漏乘 (1)/(2) 或 sin A 值记错。
7解答题
已知数列 {a_n} 满足 a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈ ℕ^*）。
（1）证明：数列 {a_n+1} 是等比数列；
（2）求数列 {a_n} 的前 n 项和 S_n。
答案：（1）由 a_n+1=2a_n+1，得 a_n+1+1=2a_n+2=2(a_n+1)。又 a₁+1=2≠ 0，所以 (a_n+1+1)/(a_n+1)=2，故数列 {a_n+1} 是首项为 2，公比为 2 的等比数列。
（2）由（1）得 a_n+1=2· 2ⁿ-1=2ⁿ，所以 a_n=2ⁿ-1。则 S_n = ∑_k=1ⁿ (2^k-1) = ∑_k=1ⁿ 2^k - ∑_k=1ⁿ 1 = (2(1-2ⁿ))/(1-2) - n = 2ⁿ+1 - 2 - n。
解析：易错点：（1）证明等比数列时，未验证首项不为零；（2）求和时，对 ∑_k=1ⁿ 2^k 使用等比数列求和公式出错，或忘记减去 ∑_k=1ⁿ 1 = n。
8解答题
已知函数 f(x) = ln x - ax（a∈ ℝ）。
（1）当 a=1 时，求 f(x) 的极值；
（2）若 f(x) ≤ 0 对 x∈ (0, +∞) 恒成立，求 a 的取值范围。
答案：（1）当 a=1 时，f(x)=ln x - x，定义域为 (0,+∞)。f'(x)=(1)/(x)-1=(1-x)/(x)。令 f'(x)=0，得 x=1。当 0<x<1 时，f'(x)>0，f(x) 单调递增；当 x>1 时，f'(x)<0，f(x) 单调递减。故 f(x) 在 x=1 处取得极大值 f(1)=ln 1 - 1 = -1，无极小值。
（2）f(x)≤ 0 即 ln x ≤ ax。当 x>0 时，分离参数得 a ≥ (ln x)/(x)。令 g(x)=(ln x)/(x)，则 g'(x)=(1-ln x)/(x²)。令 g'(x)=0，得 x=e。当 0<x<e 时，g'(x)>0，g(x) 单调递增；当 x>e 时，g'(x)<0，g(x) 单调递减。故 g(x) 在 x=e 处取得最大值 g(e)=(ln e)/(e)=(1)/(e)。因此，要使 a ≥ g(x) 恒成立，只需 a ≥ (1)/(e)。故 a 的取值范围是 [(1)/(e), +∞)。
解析：易错点：（1）求极值时，未说明“无极小值”；（2）分离参数时，未考虑 x>0 的条件，或误将不等式方向改变；（3）求 g(x) 最大值时，导数符号判断错误，或误将极值点当作最值点。